2025高考数学一轮复习-4.6.1-正弦定理和余弦定理-专项训练【含答案】

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基 础 巩固练
1.在△ABC中,若a=3,c=6,B=60°,则b等于( )

A.33B.32C.3D.35
2.在△ABC中,若a=52,c=10,A=30°,则B可能是( )
A.135°B.105°或15°
C.45°或135°D.15°
3.在△ABC中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则角A等于( )
A.150°B.120°C.60°D.30°
4.在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若c2=(a-b)2+6,且C=π3,则△ABC的面积为( )
A.33B.932
C.3D.332
5.(多选题)在△ABC中,已知A=30°,a=4,b=43,则c边的长可能为( )
A.4B.5C.8D.10
6.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列各组条件中,使得△ABC有两个解的有( )
A.a=23,b=4,A=π6
B.a=23,b=4,cs A=35
C.a=23,b=4,C=π6
D.a=23,b=4,B=π6
7.在△ABC中,B=60°,AC=23,BC=4,则△ABC的面积S= .
8.a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边.已知a2+b2=52c2,则cs C的最小值为 .
9.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2=b2+c2-bc.
(1)求角A的大小;
(2)若b=2,c=3,求a的值;
(3)若a2=bc,判断△ABC的形状.
综 合 提升练
10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若角A,B,C依次成等差数列,且a=1,b=3,则S△ABC=( )
A.2B.3C.32D.2
11.若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin 2A=asin B,且c=2b,则ab=( )
A.32B.43C.2D.3
12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinAsinB=ac,(b+a+c)(b+c-a)=3bc,则△ABC的形状为( )
A.直角三角形B.等腰非等边三角形
C.等边三角形D.钝角三角形
13.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=22,b=6,cs A=13,则( )
A.△ABC外接圆的半径为32
B.△ABC外接圆的半径为3
C.c=6
D.c=22
14.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为3,b2-c2=21,cs A=45,则a的值为 .
15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cs2B-cs2C=sin2A+sin Asin B.
(1)求角C的大小;
(2)若A=π6,△ABC的面积为43,M为BC的中点,求AM的长.
创 新 应用练
16.(多选题)如图,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠BAC=π3,∠BAC的平分线AD交BC于点D,且AD=2,则下列说法正确的有( )
A.若c=2,则BD=6−2
B.若c=2,则△ABC的外接圆半径是2
C.3bc=b+c
D.bc≥163
17.在平面四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=30°,∠BCD=60°,AB=4,AD=2,则AC= .
18.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(a-c)(sin A+sin C)=(b-c)sin B.
(1)求角A的大小;
(2)若a=2bcs C,试判断△ABC的形状并给出证明
参考答案
1.A 2.B 3.C 4.D 5.AC 6.AB
7.23 8.35
9.解 (1)在△ABC中,由a2=b2+c2-bc及余弦定理得cs A=b2+c2-a22bc=12.而0所以A=π3.
(2)由b=2,c=3及a2=b2+c2-bc,得a2=22+32-2×3=7,
所以a=7.
(3)由a2=b2+c2-bc及a2=bc,得(b-c)2=0,则b=c,由(1)知A=π3,
所以△ABC为等边三角形.
10.C 11.D 12.C 13.AC 14.13
15.解 (1)由cs2B-cs2C=sin2A+sin Asin B,得sin2C-sin2B=sin2A+sin Asin B.
由正弦定理,得c2-b2=a2+ab,即a2+b2-c2=-ab,
所以cs C=a2+b2-c22ab=-ab2ab=-12.
因为0(2)因为A=π6,所以B=π6,所以△ABC为等腰三角形,且顶角C=2π3.
因为S△ABC=12absin C=34a2=43,
所以a=4.
在△MAC中,AC=4,CM=2,C=2π3,
所以AM2=AC2+CM2-2AC·CMcs C=16+4-2×4×2×-12=28,
所以AM=27.
16.ABD 17.2213
18.解 (1)∵(a-c)(sin A+sin C)=(b-c)·sin B,
∴由正弦定理得(a-c)(a+c)=(b-c)b,
∴b2+c2-a22bc=12,根据余弦定理知cs A=12.又角A为△ABC的内角,∴A=π3.
(2)△ABC为等边三角形.证明如下:
∵a=2bcs C,∴由正弦定理得sin A=2sin Bcs C.
由三角形内角和定理得A=π-(B+C),
故sin A=sin(B+C),
∴sin(B+C)=2sin Bcs C,
整理得sin Bcs C-cs Bsin C=0,∴sin(B-C)=0.
又B-C∈(-π,π),
∴B=C.又由(1)知A=π3,
∴△ABC为等边三角形.