2025高考数学一轮复习-5.3-平面向量的数量积及其应用-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-5.3-平面向量的数量积及其应用-专项训练【含答案】，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1．已知向量a，b的夹角为π6，且|a|＝2，|b|＝1，则a·(b－a)＝( )
A．3－4 B．33－4
C．－2 D．1
2．已知向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，则|a|2－|b|2＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
3．已知向量a＝(1，2)，b＝(4，k)，若a与b垂直，则a与a＋b夹角的余弦值为( )
A．55 B．34
C．23 D．45
4．已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a－b在b上的投影向量为( )
A．－a B．－b
C．a D．b
5．如图，在菱形ABCD中，若AC＝4，则CA·AB＝( )
A．8 B．－8
C．4 D．－4
6．两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为sA＝(4，3)，sB＝(－2，6)，则sB在sA上的投影向量的长度为( )
A．10 B．102
C．1010 D．2
7．(2024·重庆模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝(22，1)，则|3a＋b|＝( )
A．22 B．15
C．32 D．5
8．已知向量a＝(2，m)，b＝(3，1)，若向量a，b的夹角是锐角，则m的取值范围是( )
A．(－6，＋∞)
B．−23，+∞
C．−6，23∪23，+∞
D．−6，−23∪−23，+∞
二、多项选择题
9．设a，b，c是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是( )
A．若|a＋b|＝|a－b|，则a⊥b
B．若|a|＝|b|，则(a＋b)⊥(a－b)
C．若a·c＝b·c，则a－b不与c垂直
D．(b·c)a－(a·c)b不与c垂直
10．已知O为坐标原点，点P1(cs α，sin α)，P2(cs β，－sin β)，P3(cs (α＋β)，sin (α＋β))，A(1，0)，则( )
A．|OP1|＝|OP2|
B．|AP1|＝|AP2|
C．OA·OP3＝OP1·OP2
D．OA·OP1＝OP2·OP3
三、填空题
11．已知O(0，0)，A(1，2)，B(3，－1)，若向量m∥OA，且m与OB的夹角为钝角，写出一个满足条件的m的坐标：________．
12．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝________．
13．已知非零向量AB，AC满足AB·BCAB＝AC·CBAC，且ABAB·ACAC＝12，则△ABC为( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
14．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示的是边长为2的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心O，圆O的半径为1，点P在圆O上运动，则PE·OE的最小值为________．
已知△ABC的面积S满足3≤2S≤3，且AB·BC＝3，AB与BC的夹角为θ，则AB与BC夹角的取值范围为________．
参考答案
1．A [a·(b－a)＝a·b－a2＝2×1×cs π6－22＝3－4，故选A.]
2．B [向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，所以|a|2－|b|2＝(a＋b)·(a－b)＝2×(－2)＋3×1＝－1.故选B.]
3．A [根据题意，设a与a＋b夹角为θ，
因为a与b垂直，所以a·b＝1×4＋2k＝0，解得k＝－2，则b＝(4，－2)，a＋b＝(5，0)，则cs θ＝a·a+baa+b＝512+22×5＝55.故选A.]
4．B [∵|a＋b|＝|a－b|，
∴a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，可得a·b＝0，
∴a－b在b上的投影向量为b·a−bb·bb＝a·b−b2b2·b＝－b.故选B.]
5．B [法一：CA·AB＝－AC·AB＝－AC·ABcs ∠CAB，因为四边形ABCD为菱形，所以2AO＝AC＝4，且AC⊥BO，所以ABcs ∠CAB＝AO＝2，所以CA·AB＝(－4)×2＝－8.故选B.
法二：建系如图所示，由AC＝4，可知A(－2，0)，C(2，0)，设B(0，－b)，则CA＝(－4，0)，AB＝(2，－b)，∴CA·AB＝－8.故选B.
]
6．D [设sB与sA的夹角为θ，
则cs θ＝sB·sA|sB|·|sA|＝10210×5＝1010，
所以sB在sA上的投影向量的长度为||sB|cs θ|＝210×1010＝2.故选D．]
7．D [因为|a＋b|＝222+12＝3，即|a＋b|＝|a|＋|b|，则a，b同向，所以|3a＋b|＝3|a|＋|b|＝5.故选D.]
8．C [因为a＝(2，m)，b＝(3，1)，
所以a·b＝6＋m.
因为向量a，b的夹角是锐角，所以a·b=6+m>0，2−3m≠0，
解得m>－6，且m≠23，
所以实数m的取值范围是−6，23∪23，+∞.故选C.]
9．AB [∵|a＋b|＝|a－b|，
∴(a＋b)2＝(a－b)2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，解得a·b＝0，故a⊥b，故A正确；
∵|a|＝|b|, ∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，
故由向量垂直的性质可知，(a＋b)⊥(a－b)，故B正确；
∵a·c＝b·c，∴(a－b)·c＝a·c－b·c＝0，
∴a－b与c垂直，故C错误；
∵[(b·c)a－(a·c)b]·c＝(b·c)(a·c)－(a·c)(b·c)＝0，
∴根据向量垂直的性质可知，(b·c)a－(a·c)b与c垂直，故D错误．故选AB.]
10．AC [由题可知，|OP1|＝cs2α+sin2α＝1，|OP2|＝cs2β+−sinβ2所以|OP1|＝|OP2|，故A正确；
取α＝π4，则P122，22，取β＝5π4，
则P2−22，22，则|AP1|≠|AP2|，故B错误；
因为OA·OP3＝cs (α＋β)，OP1·OP2＝cs αcs β－sin αsin β＝cs (α＋β)，所以OA·OP3＝OP1·OP2，故C正确；
因为OA·OP1＝cs α，OP2·OP3＝cs βcs (α＋β)－sin βsin (α＋β)＝cs (α＋2β)，取α＝π4，β＝π4，
则OA·OP1＝22，OP2·OP3＝cs 3π4＝－22，所以OA·OP1≠OP2·OP3，故D错误．故选AC.]
11．(－1，－2)(答案不唯一) [根据题意可得：OA＝(1，2)，OB＝(3，－1)，设m＝(x，y)，因为向量m∥OA，且m与OB的夹角为钝角，所以1·y=2·x，3·x+−1·y<0，3·y≠−1·x，所以x<0，不妨令x＝－1，所以y＝－2，m＝(－1，－2)．]
12．－92 [法一：由a＋b＋c＝0⇒(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝0，
∴a·b＋b·c＋a·c＝－92.
法二：由a＋b＝－c⇒a2＋b2＋2a·b＝c2⇒a·b＝－12，
由a＋c＝－b⇒a2＋c2＋2a·c＝b2⇒a·c＝－12，
由b＋c＝－a⇒b2＋c2＋2b·c＝a2⇒b·c＝－72，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－92.]
13．D [∵AB·BCAB＝AC·CBAC，∴AB·BCAB·BC＝AC·CBAC·BC，∴cs 〈AB，BC〉＝cs 〈AC，CB〉，
∴∠B＝∠C，∴△ABC为等腰三角形，又∵ABAB·ACAC＝12，∴cs 〈AB，AC〉＝12，∴cs A＝12，又A∈(0，π)，∴A＝π3，∴△ABC为等边三角形．故选D.]
14．2 [如图，以O为坐标原点，BE所在直线为x轴，BE的垂直平分线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设点P(cs θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，
由题意知，E(2，0)，O(0，0)，则PE＝(2－cs θ，－sin θ)，OE＝(2，0)，所以PE·OE＝4－2cs θ，当cs θ＝1，即θ＝0时，PE·OE取最小值2．]
15．π6，π4 [∵AB·BC＝3，
∴AB，BC的夹角θ为锐角，
则|AB||BC|cs θ＝3，∴|AB||BC|＝3csθ，
又S∈32，32，∴32≤12|AB||BC|sin (π－θ)≤32，
∴32≤12|AB||BC|sin θ≤32，
∴32≤32tan θ≤32，∴33≤tan θ≤1，
∴π6≤θ≤π4，
∴AB与BC夹角的取值范围为π6，π4.]