2025高考数学一轮复习-5.2-平面向量基本定理及坐标表示-专项训练【含解析】

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A. 1,2 B. −1,−2 C. 3,1 D. −3,−1
2.设向量a=m,2 ,b=1,m+1 ，且a 与b 的方向相反，则实数m 的值为( )
A. −2 B. 1 C. −2 或1D. m 的值不存在
3.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量p=a+c,b ，q=b−a,c−a ，若p//q ，则角C 的大小为( )
A. π6 B. π3 C. π2 D. 2π3
4. 在正六边形ABCDEF 中，对角线BD ，CF 相交于点P.若AP=xAB+yAF ，则x+y= ( )
A. 2 B. 52 C. 3 D. 72
5.（多选）如图，点D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC=a ，CA=b ，则下列结论正确的是( )
A. AD=−12a−b B. BE=a+12b C. CF=−12a+12b D. EF=12a
6. （多选）如图所示，点A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点P ，若AP=λAB ，OC=μOA+3μOB ，则( )
A. P 为线段OC 的中点时，μ=12 B. P 为线段OC 的中点时，μ=13
C. 无论μ 取何值，恒有λ=34 D. 存在μ∈R ,λ=12
7. 已知向量a=1,2 ，b=2,−2 ，c=1,λ .若c//2a+b ，则λ= .
8.在平面直角坐标系xOy 中，将向量OA=3,−1 绕原点O 按顺时针方向旋转π6 后得到向量OB=m,n ，则mn= .
9.已知A2,3 ，B4,−3 ，点P 在线段AB 的延长线上，且AP=32PB ，则点P 的坐标为 .
10.在△ABC 中，点M ，N 分别是边AB ，AC 的中点，点O 是线段MN 上异于端点的一点，且满足λOA+3OB+4OC=0λ≠0 ，则λ= .
[B级 综合运用]
11.在△ABC 中，D 为BC 边上的点，S△ABD=2S△ADC ，AB=xAD+yAC ，则( )
A. x=3 ,y=−2 B. x=32 ,y=−12 C. x=−2 ,y=3 D. x=−12 ，y=32
12.（多选）在同一平面内，A ，B 是直线l 上两点，O ，P 是位于直线l 同侧的两点（O ，P 不在直线l 上），且OP=λOA+μOB ，则λ+μ 的值可能是( )
A. −1 B. 0 C. 1 D. 2
13.已知点P ，Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，BC=a ，DA=b ,且a ,b 是不共线的向量，则向量PQ= .
14. 在△ABC 中，AB=1 ，AC=2 ，∠BAC=60∘ ，点P 是△ABC 的外接圆上的一点，若AP=mAB+nAC ，则m+n 的最小值是 .
2025高考数学一轮复习-5.2-平面向量基本定理及坐标表示-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 已知点A1,0 ，B2,2 ，向量BC=2,−1 ，则向量AC= ( C )
A. 1,2 B. −1,−2 C. 3,1 D. −3,−1
[解析]选C.AB=1,2 ,AC=AB+BC=1,2+2,−1=3,1 .故选C.
2.设向量a=m,2 ,b=1,m+1 ，且a 与b 的方向相反，则实数m 的值为( A )
A. −2 B. 1 C. −2 或1D. m 的值不存在
[解析]选A.向量a=m,2 ,b=1,m+1 ,因为a//b ,所以mm+1=2×1 ,解得m=−2 或m=1 .当m=1 时，a=1,2 ,b=1,2 ,a 与b 的方向相同，舍去；当m=−2 时，a=−2,2 ,b=1,−1 ,a 与b 的方向相反，符合题意.故选A.
3.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量p=a+c,b ，q=b−a,c−a ，若p//q ，则角C 的大小为( B )
A. π6 B. π3 C. π2 D. 2π3
[解析]选 B.因为p//q ，所以a+cc−a−bb−a=0 ，
所以c2−a2−b2+ab=0 ，所以a2+b2−c2=ab ,
所以2abcsC=ab ,所以csC=12 ,
因为04. 在正六边形ABCDEF 中，对角线BD ，CF 相交于点P.若AP=xAB+yAF ，则x+y= ( B )
A. 2 B. 52 C. 3 D. 72
[解析]选B.如图，记正六边形ABCDEF 的中心为点O ，连接OB ，OD ，
显然△OBC 和△ODC 均为等边三角形，所以OB=OD=CD=BC ，即四边形OBCD 为菱形，且点P 恰为其中心，则FP=32FO=32AB ，
所以AP=AF+FP=32AB+AF ，
所以x=32 ，y=1 ，故x+y=52 .故选B.
5.（多选）如图，点D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC=a ，CA=b ，则下列结论正确的是( ABC )
A. AD=−12a−b B. BE=a+12b C. CF=−12a+12b D. EF=12a
[解析]选ABC.在△ABC 中，AD=AC+CD=−CA+12CB=−b−12a ，故A正确；
BE=BC+CE=a+12b ，故B正确；
AB=AC+CB=−b−a ，CF=CA+12AB=b+12×−b−a=−12a+12b ，故C正确；
EF=12CB=−12a ，故D不正确.故选ABC.
6. （多选）如图所示，点A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点P ，若AP=λAB ，OC=μOA+3μOB ，则( AC )
A. P 为线段OC 的中点时，μ=12 B. P 为线段OC 的中点时，μ=13
C. 无论μ 取何值，恒有λ=34 D. 存在μ∈R ,λ=12
[解析]选AC ,OP=OA+AP=OA+λAB=OA+λOB−OA=1−λOA+λOB .因为OP 与OC 共线，所以1−λμ=λ3μ ，解得λ=34 ，故C正确，D错误；
当P 为OC 的中点时，
则OP=12OC=12μOA+12×3μOB ,则1−λ=12μ，λ=12×3μ，
解得μ=12 ，故A正确，B错误.故选AC.
7. 已知向量a=1,2 ，b=2,−2 ，c=1,λ .若c//2a+b ，则λ= 12 .
[解析]由题意得2a+b=4,2 ，
因为c//2a+b ，
所以4λ=2 ，解得λ=12 .
8.在平面直角坐标系xOy 中，将向量OA=3,−1 绕原点O 按顺时针方向旋转π6 后得到向量OB=m,n ，则mn= −3 .
[解析]设以x 轴正半轴为始边，OA 为终边，对应的角为α0≤α<2π ，
根据题意，得csα=32 ，sinα=−12 ,则α=11π6 ，
所以m=2cs11π6−π6=1 ，n=2sin11π6−π6=−3 ，所以mn=−3 .
9.已知A2,3 ，B4,−3 ，点P 在线段AB 的延长线上，且AP=32PB ，则点P 的坐标为8,−15 .
[解析]因为点P 在线段AB 的延长线上，
且AP=32PB ，
所以AB=12BP ，
所以OP=OB+2AB=4,−3+2×2,−6=8,−15 ，
所以点P 的坐标为8,−15 .
10.在△ABC 中，点M ，N 分别是边AB ，AC 的中点，点O 是线段MN 上异于端点的一点，且满足λOA+3OB+4OC=0λ≠0 ，则λ= 7.
[解析]方法一:由已知得OA=−3λOB−4λOC ，①
由M ，O ，N 三点共线，知∃t<0 ，t∈R ，使OM=tON ，
故2OM=2tON ，故OA+OB=tOA+OC ，
整理得OA=1t−1OB+t1−tOC ，②
由①②得−3λ=1t−1，−4λ=t1−t， 解得t=−43，λ=7.
方法二：因为点M 是AB 的中点，所以OM=12OA+OB ，于是OB=2OM−OA ，同理OC=2ON−OA ，
将两式代入λOA+3OB+4OC=0 ，整理得λ−7OA+6OM+8ON=0 ，
因为M ，O ，N 三点共线，故∃p∈R ，使得OM=pON ，
于是λ−7OA+6p+8ON=0 ，
显然OA ，ON 不共线，故λ−7=6p+8=0 ，故λ=7 .
[B级 综合运用]
11.在△ABC 中，D 为BC 边上的点，S△ABD=2S△ADC ，AB=xAD+yAC ，则( A )
A. x=3 ,y=−2 B. x=32 ,y=−12 C. x=−2 ,y=3 D. x=−12 ，y=32
[解析]选A.设点A 到BC 的距离为ℎ ,则12×BD×ℎ=2×12×DC×ℎ ,所以BD=2DC ,
故AB=AC+CB=AC+3CD=AC+3AD−AC=3AD−2AC .
又AB=xAD+yAC ，故x=3 ，y=−2 .故选A.
12.（多选）在同一平面内，A ，B 是直线l 上两点，O ，P 是位于直线l 同侧的两点（O ，P 不在直线l 上），且OP=λOA+μOB ，则λ+μ 的值可能是( AB )
A. −1 B. 0 C. 1 D. 2
[解析]选AB.因为当且仅当点P 在直线l 上时，λ+μ=1 .而当O ，P 两点在l 的异侧时，才会有λ+μ>1 .因为O ，P 在直线l 同侧，所以C ，D 错误；当OP//l 时，OP=kAB=kOB−OA ,此时λ+μ=0 ，所以B正确；当P 在l 关于点O 对称的直线l′ 上时，λ+μ=−1 ，所以A正确.故选AB.
13.已知点P ，Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，BC=a ，DA=b ,且a ,b 是不共线的向量，则向量PQ= −12a−12b .
[解析]如图，取AB 的中点E ，连接PE ，QE ，
由题意得，PE=12CB=−12a ，EQ=12AD=−12b ，
则PQ=PE+EQ=−12a−12b .
14. 在△ABC 中，AB=1 ，AC=2 ，∠BAC=60∘ ，点P 是△ABC 的外接圆上的一点，若AP=mAB+nAC ，则m+n 的最小值是−12 .
[解析]由余弦定理得，BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cs∠BAC=1+4−2×1×2×cs60∘=3 ,所以BC=3 ，所以AB2+BC2=AC2 ，所以AB⊥BC .
如图，以AC 的中点为原点，建立平面直角坐标系，易得A1,0 ,C−1,0 ，B12,32 ，设P 的坐标为csθ,sinθ ，
所以AB=−12,32 ，AC=−2,0 ,AP=csθ−1,sinθ .
又AP=mAB+nAC ，
所以csθ−1,sinθ=m−12,32+n−2,0=−m2−2n,32m ，
所以m=233sinθ ,n=−csθ2+12−36sinθ ，
所以m+n=32sinθ−csθ2+12=sinθ−π6+12≥−1+12=−12 ，
当sinθ−π6=−1 时，m+n 取最小值，为−12 .