2025高考数学一轮复习-5.2-平面向量基本定理及坐标表示-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-5.2-平面向量基本定理及坐标表示-专项训练【含答案】，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题
1．在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是( )
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)
2．已知点A(1，0)，B(2，2)，向量BC＝(2，－1)，则向量AC＝( )
A．(1，2) B．(－1，－2)
C．(3，1) D．(－3，－1)
3．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于( )
A．(－2，－4) B．(－3，－6)
C．(－5，－10) D．(－4，－8)
4．已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m不可能是( )
A．－2 B．12
C．1 D．－1
5．如图，点D，E分别是AC，BC的中点，设AB＝a，AC＝b，F是DE的中点，则AF＝( )
A．12a＋12b
B．－12a＋12b
C．14a＋12b
D．－14a＋12b
6．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设AD＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，则λμ等于( )
A．233 B．33
C．3 D．23
7．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( )
A．π6 B．π3
C．π2 D．2π3
8．在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，AB＝BC＝CD，若AC＝λAB＋μAD，则λ＋μ＝( )
A．43 B．2
C．32 D．2
二、多项选择题
9．如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若AP＝λAB，OC＝μOA＋3μOB，则( )
A．P为线段OC的中点时，μ＝12
B．P为线段OC的中点时，μ＝13
C．无论μ取何值，恒有λ＝34
D．存在μ∈R，λ＝12
10．在平行四边形ABCD中，BE＝2EC，DF＝3FA，AE与BF交于点O，设DA＝a，DB＝b，则( )
A．AE＝－53a＋b B．AE＝a－53b
C．DO＝611a＋311b D．DO＝311a＋611b
三、填空题
11．已知O为坐标原点，P1P＝－2PP2，若P1(1，2)，P2(2，－1)，则与OP共线的单位向量为________．
12．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点P为矩形ABCD内(包括边界)一点，则|PA+PB|的取值范围是________．
13．(2024·山东济南期中)在△ABC中，AB＝2AC，∠BAC的平分线AD交边BC于点D，记AC＝a，AD＝b，则AB＝( )
A．3a－2b B．－2a＋3b
C．3a＋2b D．2a＋3b
14．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若AO＝xAB＋(1－x)AC，则x的取值范围是( )
A．0，12 B．0，13
C．−12，0 D．−13，0
15．(2024·北京模拟)已知向量OP＝(3，4)，将向量OP绕原点O逆时针方向旋转45°到OP'的位置，则点P′(x′，y′)的坐标为( )
A．(－4，3) B．(－3，4)
C．−22，722 D．−722，22
16．给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为2π3.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动．若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，则x＋y的最大值为________．
参考答案
1．B [对于A，C，D，都有e1∥e2，所以只有B成立．]
2．C [AB＝(1，2)，AC＝AB+BC＝(1，2)＋(2，－1)＝(3，1)．故选C.]
3．D [因为a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，所以m＝－4，b＝(－2，－4)，所以2a＋3b＝(－4，－8)，故选D.]
4．C [若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为AB＝OB−OA＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC＝OC−OA＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，A，B，C三点就可构成三角形．]
5．C [因为点D，E分别是AC，BC的中点，F是DE的中点，所以AF＝AD+DF＝12AC+12DE ＝12AC+14AB，即AF＝14a＋12b.故选C.]
6．A [如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(1，0)，C(0，2)，因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，3m)(m≠0)．
AD＝(m，3m)＝λAB＋μAC＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝32m，所以λμ＝233.]
7．B [因为p∥q，所以(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
所以c2－a2－b2＋ab＝0，所以a2＋b2－c2＝ab，
所以2ab cs C＝ab，所以cs C＝12，
因为0＜C＜π，所以C＝π3.
故选B.]
8．B [设AB＝2，如图，以AC所在直线为x轴，AC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－1，0)，B(0，－1)，C(1，0)，D(1，2)，AC＝(2，0)，AB＝(1，－1)，AD＝(2，2)，因为AC＝λAB＋μAD，所以(2，0)＝λ(1，－1)＋μ(2，2)，所以λ+2μ=2，−λ+2μ=0，解得λ＝22－2，μ＝2－2，所以λ＋μ＝2.故选B.]
9．AC [OP＝OA+AP＝OA＋λAB＝OA＋λ(OB−OA)＝(1－λ)OA＋λOB.因为OP与OC共线，所以1−λμ＝λ3μ，解得λ＝34，故C正确，D错误；当P为OC的中点时，则OP＝12OC＝12μOA+12×3μOB，则1−λ=12μ，λ=12×3μ，解得μ＝12，故A正确，B错误．故选AC.]
10．AC [在平行四边形ABCD中，BE＝2EC，所以BE＝－23DA，则AE＝AB+BE＝(DB−DA)－23DA＝－53DA+DB＝－53a＋b，A正确，B错误；设AE与BD交于点M，则在平行四边形ABCD中，△BEM与△DAM相似，所以BMDM＝BEDA＝23，则DM＝35DB，即DM＝35DB＝35b，DF＝34DA＝34a，因为F，O，B三点共线，A，O，M三点共线，设DO＝xDF＋(1－x)DB＝3x4DA+51−x3·DM，则3x4+51−x3＝1，即x＝811，所以DO＝3x4DA＋(1－x)DB＝611a＋311b，C正确，D错误．故选AC.]
11．35，−45或−35，45 [由P1P＝－2PP2得P1P＋2PP2＝0，即P1P2+PP2＝0，P1P2＝P2P，OP2−OP1＝OP−OP2，OP＝2OP2−OP1＝2(2，－1)－(1，2)＝(3，－4)，OP＝32+−42＝5，与OP同向的单位向量为OPOP＝35，−45，与OP反向的单位向量为−35，45.]
12．[0，22] [法一(坐标法)：将矩形放在平面直角坐标系中，设P(x，y)，
则A(0，0)，B(2，0)，PA+PB＝(－x，－y)＋(2－x，－y)＝(2－2x，－2y)，|PA+PB|＝2−2x2+−2y2＝2x−12+y2，
转化为矩形内的点到定点(1，0)的距离的2倍，
由图可知点D(0，1)和点C(2，1)到定点(1，0)的距离相等同时取最大值：2−12+1−02＝2.
故|PA+PB|的取值范围是[0，22].
法二(向量法)：取AB的中点H，易知PA+PB＝2PH，
∴|PA+PB|＝2|PH|，结合题意可知0≤|PH|≤2.
故|PA+PB|的取值范围为[0，22].]
13．B [由题意，AB＝2AC，AD为∠BAC的平分线，则由角平分线定理，有BDDC＝ABAC＝2，即BD＝2DC，
故CB＝3CD，所以AB＝AC+CB＝AC＋3CD
＝AC＋3(AD−AC)＝－2AC＋3AD＝－2a＋3b.故选B.]
14．D [法一：依题意，设BO＝λBC，其中1＜λ＜43，则有AO＝AB+BO＝AB＋λBC＝AB＋λ(AC－AB)＝(1－λ)AB＋λAC.又AO＝xAB＋(1－x)AC，且AB，AC不共线，于是有x＝1－λ∈−13，0，即x的取值范围是−13，0，故选D.
法二：∵AO＝xAB+AC－xAC，∴AO−AC＝x(AB−AC)，即CO＝xCB＝－3xCD，∵O在线段CD(不含C，D两点)上，∴0＜－3x＜1，∴－13＜x＜0.故选D.]
15．C [如图，设OP与x轴正半轴的夹角为α，
由题可得|OP|＝32+42＝5，sin α＝45，cs α＝35，
则sin (α＋45°)＝sin αcs 45°＋cs αsin 45°＝45×22+35×22＝7210，cs (α＋45°)＝cs αcs 45°－sin αsin 45°＝35×22−45×22＝－210，则x′＝|OP'|·cs (α＋45°)＝5×−210＝－22，y′＝|OP'|·sin (α＋45°)＝5×7210＝722，所以P′的坐标为−22，722.故选C.]
16．2 [法一：以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1，0)，B−12，32.
设∠AOC＝αα∈0，2π3，则C(cs α，sin α)．
由OC＝xOA＋yOB，得csα=x−12y，sinα=32y，
所以x＝cs α＋33sin α，y＝233sin α，
所以x＋y＝cs α＋3sin α＝2sinα+π6.
又α∈0，2π3，所以当α＝π3时，x＋y取得最大值2.
法二(等和线法)：如图，连接AB交OC于点P，因为OC＝xOA＋yOB，所以当点C与A(B)重合时，x＋y＝1.
当点C为与AB平行且与圆弧相切的切点时，OC＝2OP，设OP＝λOA＋μOB，则λ＋μ＝1，所以OC＝2OP＝2λOA＋2μOB＝xOA＋yOB，所以x＋y＝2λ＋2μ＝2(λ＋μ)＝2.
所以x＋y的最大值为2．