2025高考数学一轮复习-8.1-直线的方程-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-8.1-直线的方程-专项训练【含答案】，共6页。试卷主要包含了已知点M是直线l等内容，欢迎下载使用。

1.若直线3x＋my＋2＝0的倾斜角为π3，则m＝（ ）
A.1 B.－1
C.2 D.－2
2.已知直线l的斜率为3，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为（ ）
A.y＝3x＋2 B.y＝3x－2
C.y＝3x＋12 D.y＝－3x＋2
3.在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O（0，0），M（－1，3），点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为（ ）
A.3x－y－6＝0 B.3x＋y＋6＝0
C.3x－y＋6＝0 D.3x＋y－6＝0
4.若AB＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.（多选）下列说法正确的有（ ）
A.若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则点（k，b）在第二象限
B.直线y＝ax－3a＋2过定点（3，2）
C.过点（2，－1）且斜率为－3的点斜式方程为y＋1＝－3（x－2）
D.斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x±3
6.（多选）已知直线l的一个方向向量为u＝－36，12，且l经过点（1，－2），则下列结论中正确的是（ ）
A.l的倾斜角等于150°B.l在x轴上的截距等于233
C.l与直线3x－3y＋2＝0垂直D.l上不存在与原点距离等于18的点
7.设直线l的方程为2x＋（k－3）y－2k＋6＝0（k≠3），若直线l的斜率为－1，则k＝ ；若直线l在x轴，y轴上的截距之和等于0，则k＝ .
8.直线l经过点A（1，2），在x轴上的截距的取值范围是（－3，3），则其斜率的取值范围是 .
9.已知点M是直线l：y＝3x＋3与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，则所得到的直线l'的方程为 .
10.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
（1）过定点A（－3，4）；
（2）斜率为16.
11.若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈［π6，π4）∪［2π3，π），则k的取值范围是（ ）
A.（－∞，－3]∪［33，1）B.[－3，0）∪［33，1）
C.[－3，0）∪（0，33］D.（－∞，－3]∪（0，33］
12.已知A（2，3），B（－1，2），若点P（x，y）在线段AB上，则yx－3的最大值为（ ）
A.1 B.35
C.－12 D.－3
13.过点P（－1，0）且与直线l：3x－y＋2＝0的夹角为π6的直线的一般式方程是 .
14.为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪（如图），另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？
15.过点P（3，2）的直线l与x轴和y轴正半轴分别交于点A，B.
（1）当P为AB的中点时，求l的方程；
（2）当｜PA｜·｜PB｜最小时，求l的方程.
参考答案与解析
1.B 直线3x＋my＋2＝0的倾斜角为π3，所以斜率为3，即－3m＝3，解得m＝－1.故选B.
2.A 直线x－2y－4＝0的斜率为12，∴直线l在y轴上的截距为2.∴直线l的方程为y＝3x＋2.
3.C 因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3（x＋1），即3x－y＋6＝0，故选C.
4.D ∵Ax＋By＋C＝0可化为y＝－ABx－CB，AB＜0，BC＜0，∴－AB＞0，－CB＞0，故直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限.
5.ABC 对于A，由直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，所以直线的斜率k＜0，截距b＞0，故点（k，b）在第二象限，所以A正确；对于B，由直线方程y＝ax－3a＋2，整理得a（x－3）＋（－y＋2）＝0，所以无论a取何值，点（3，2）都满足方程，所以B正确；对于C，过点（2，－1）且斜率为－3的点斜式方程为y＋1＝－3（x－2），所以C正确；对于D，斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x＋3，所以D错误.故选A、B、C.
6.CD 由已知得直线l的斜率k＝12－36＝－3，设其倾斜角为θ，则tan θ＝－3，所以θ＝120°，故A选项错误；直线l的方程为y＋2＝－3（x－1），即3x＋y＋2－3＝0，所以它在x轴上的截距等于1－233，故B选项错误；直线3x－3y＋2＝0的斜率为33，33×（－3）＝－1，所以两直线垂直，故C选项正确；原点到直线l的距离d＝1－32＞18，即l上的点与原点的最小距离大于18，故l上不存在与原点距离等于18的点，故D选项正确.故选C、D.
7.5 1 解析：因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－2k－3x＋2，由题意得－2k－3＝－1，解得k＝5.直线l的方程可化为xk－3＋y2＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.
8.（－∞，－1）∪（12，＋∞） 解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k（x－1），直线在x轴上的截距为1－2k，则－3＜1－2k＜3，解不等式可得k＞12或k＜－1.
9.x＝－3或y＝33（x＋3） 解析：在y＝3x＋3中，令y＝0，得x＝－3，即M（－3，0）.因为直线l的斜率为3，所以其倾斜角为60°.若直线l绕点M逆时针旋转30°，则得到的直线l'的倾斜角为90°，此时直线l'的斜率不存在，故其方程为x＝－3；若直线l绕点M顺时针旋转30°，则得到的直线l'的倾斜角为30°，此时直线l'的斜率为tan 30°＝33，故其方程为y＝33（x＋3）.
10.解：（1）由题意知，直线l的斜率存在.
设直线l的方程为y＝k（x＋3）＋4，其在x轴，y轴上的截距分别是－4k－3，3k＋4，
由已知，得｜（3k＋4）（－4k－3）｜＝6，解得k1＝－23，k2＝－83.
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
（2）设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程为y＝16x＋b，其在x轴上的截距是－6b，
由已知，得｜－6b·b｜＝6，解得b＝±1.
∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
11.B 当α∈［π6，π4）时，k＝tan α∈［33，1）；当α∈［2π3，π）时，k＝tan α∈[－3，0）.综上得k∈[－3，0）∪［33，1）.
12.C 设Q（3，0），则kAQ＝3－02－3＝－3，kBQ＝2－0－1－3＝－12，∵点P（x，y）是线段AB上的任意一点，∴yx－3的取值范围是［－3，－12］，故yx－3的最大值为－12，故选C.
13.x＋1＝0或x－3y＋1＝0 解析：直线l的倾斜角β∈[0，π）且tan β＝3，则β＝π3，因为所求直线与直线l的夹角为π6，所以所求直线的倾斜角为π6或π2，当所求直线的倾斜角为π2时，直线为x＝－1；当所求直线的倾斜角为π6时，直线为y＝33（x＋1），即x－3y＋1＝0.综上，所求直线的一般式方程为x＋1＝0或x－3y＋1＝0.
14.解：如图所示，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则E（30，0），F（0，20），∴直线EF的方程为x30＋y20＝1（0≤x≤30）.
易知当矩形草坪的一个顶点在线段EF上时，草坪面积可取最大值，在线段EF上取点P（m，n），作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，
设矩形PQCR的面积为S，则S＝｜PQ｜·｜PR｜＝（100－m）（80－n）.
又m30＋n20＝1（0≤m≤30），∴n＝20－23m.
∴S＝（100－m）（80－20＋23m）＝－23（m－5）2＋18 0503（0≤m≤30）.
∴当m＝5时，S有最大值，此时｜EP｜∶｜PF｜＝5∶1.
∴当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成5∶1时，草坪面积最大.
15.解：（1）设A（a，0），B（0，b），
∵P（3，2）为AB的中点，∴a2＝3，b2＝2，则a＝6，b＝4，
∴A（6，0），B（0，4），则l的方程为x6＋y4＝1，即2x＋3y－12＝0.
（2）由题意知直线l的斜率存在，则可设直线l的方程为y－2＝k（x－3）（k＜0），
令x＝0可得y＝2－3k，令y＝0可得x＝3－2k，
则A（3－2k，0），B（0，2－3k）.
∴｜PA｜·｜PB｜＝（4k2+4）（9+9k2）＝72+36（k2＋1k2）≥12，
当且仅当k2＝1，即k＝－1时取等号，
∴直线l的方程为y－2＝－（x－3），即x＋y－5＝0.