2025高考数学一轮复习-8.5.1-椭圆及其性质-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-8.5.1-椭圆及其性质-专项训练【含答案】，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1．已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距为2，离心率e＝12，则椭圆C的标准方程为( )
A．x22＋y2＝1 B．x24＋y2＝1
C．x24+y23＝1 D．x216+y212＝1
2．设椭圆C1：x2a2＋y2＝1(a＞1)，C2：x24＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝3e1，则a＝( )
A．233 B．2
C．3 D．6
3．曲线x225+y29＝1与曲线x29−k+y225−k＝1(k＜9且k≠0)的( )
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
4．已知F1，F2是椭圆C：x216+y212＝1的两个焦点，点M，N在C上，若|MF2|＋|NF2|＝6，则|MF1||NF1|的最大值为( )
A．9 B．20
C．25 D．30
5．已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，点M，N是椭圆C上关于y轴对称的两点．若直线AM，AN的斜率之积为23，则C的离心率为( )
A．32 B．22
C．12 D．33
6．加斯帕尔·蒙日是法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形G的四边均与椭圆M：x26+y24＝1相切，则下列说法错误的是( )
A．椭圆M的离心率为33
B．椭圆M的蒙日圆方程为x2＋y2＝10
C．若G为正方形，则G的边长为25
D．长方形G的面积的最大值为18
7．已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的离心率为13，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若BA1·BA2＝－1，则C的方程为( )
A．x218+y216＝1 B．x29+y28＝1
C．x23+y22＝1 D．x22＋y2＝1
8．已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，半焦距为c.在椭圆上存在点P使得asin∠PF1F2＝csin∠PF2F1，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．[2－1，1) B．(2－1，1)
C．(0，2－1) D．(0，2－1]
二、多项选择题
9．已知方程x212−m+y2m−4＝1表示椭圆，下列说法正确的是( )
A．m的取值范围为(4，12)
B．若该椭圆的焦点在y轴上，则m∈(8，12)
C．若m＝6，则该椭圆的焦距为4
D．若m＝10，则该椭圆经过点(1，2)
10．已知椭圆C：x225+y29＝1，F1，F2分别为它的左、右焦点，A，B分别为它的左、右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有( )
A．存在P使得∠F1PF2＝π2
B．cs ∠F1PF2的最小值为－725
C．PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为9
D．直线PA与直线PB斜率乘积为定值925
三、填空题
11．已知F1，F2为椭圆C：x216+y24＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．
12．已知点P在圆x2＋y2－6y＋8＝0上，点Q在椭圆x2a2＋y2＝1(a>1)上，且PQ的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值为________．
四、解答题
13．已知圆M：x2＋(y－1)2＝8，点N(0，－1)，P是圆M上的一个动点，若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q.
(1)求点Q的轨迹方程C；
(2)若点A是曲线C上的动点，求OA·AN的最大值(其中O为坐标原点)．
14．如图所示，已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且AF2＝2F2B，求椭圆的方程．
15．设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：x29+y26＝1的两个焦点，点P在C上，cs ∠F1PF2＝35，则|OP|＝( )
A．135 B．302
C．145 D．352
16．已知A，B，C是椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)上的三个点，O为坐标原点，A，B两点关于原点对称，AC经过右焦点F，若|OA|＝|OF|且|AF|＝2|CF|，则该椭圆的离心率是________
参考答案
1．C [由于2c＝2，所以c＝1，
因为e＝ca＝12，故a＝2，b2＝a2－c2＝3.
所以椭圆的标准方程为x24+y23＝1.
故选C.]
2．A [由已知得e1＝a2−1a，e2＝4−12＝32，因为e2＝3e1，所以32＝3·a2−1a，解得a＝233.故选A.]
3．C [曲线x225+y29＝1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为45，焦距为8的椭圆．
曲线x29−k+y225−k＝1(k＜9且k≠0)表示焦点在y轴上，长轴长为225−k，短轴长为29−k，焦距为225−k−9−k＝8，离心率为425−k的椭圆．故选C.]
4．C [根据椭圆定义可得：
|MF1|＋|MF2|＝2a＝8，|NF1|＋|NF2|＝8，
因为|MF2|＋|NF2|＝6，所以8－|MF1|＋8－|NF1|＝6，
即|MF1|＋|NF1|＝10≥2MF1·NF1，当且仅当|MF1|＝|NF1|＝5时等号成立，
所以|MF1|·|NF1|≤25，则|MF1||NF1|的最大值为25.
故选C.]
5．D [由题意，椭圆C的左顶点为A(－a，0)，
因为点M，N是椭圆C上关于y轴对称的两点，可设M(x0，y0)，则N(－x0，y0)，
所以kAM＝y0x0+a，kAN＝y0a−x0，可得
kAMkAN＝y0x0+a·y0a−x0＝y02a2−x02＝23.
又因为x02a2+y02b2＝1，即y02＝b2a2−x02a2，
代入可得b2a2＝23，所以离心率e＝ca＝1−b2a2＝1−23＝33.故选D.]
6．D [由椭圆方程知a＝6，b＝2，则c＝6−4＝2，离心率为e＝26＝33，A正确；
当长方形G的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为26和4，其对角线长为24+16＝210，因此蒙日圆的半径为10，圆的方程为x2＋y2＝10，B正确；
设长方形的边长分别为m，n，因此m2＋n2＝40≥2mn，即mn≤20，当且仅当m＝n时取等号，所以长方形G的面积的最大值是20，此时该长方形G为正方形，边长为25，C正确，D错误．故选D.]
7．B [由离心率e＝ca＝1−b2a2＝13，解得b2a2＝89，b2＝89a2，A1，A2分别为C的左、右顶点，则A1(－a，0)，A2(a，0)，B为上顶点，所以B(0，b)．
所以BA1＝(－a，－b)，BA2＝(a，－b)，因为BA1·BA2＝－1，所以－a2＋b2＝－1，将b2＝89a2代入，解得a2＝9，b2＝8，故椭圆C的方程为x29+y28＝1.
故选B.]
8．B [由asin∠PF1F2＝csin∠PF2F1，
得ca＝sin∠PF2F1sin∠PF1F2＝PF1|PF2|＝PF1|2a−PF1|，
∴|PF1|＝2aca+c.
又|PF1|∈(a－c，a＋c)，则a－c＜2aca+c＜a＋c，
∴a2－c2＜2ac＜(a＋c)2，即e2＋2e－1＞0，
又e∈(0，1)，∴e∈(2－1，1)．故选B.]
9．BC [因为方程x212−m+y2m−4＝1表示椭圆，
所以12−m＞0，m−4＞0，12−m≠m−4，解得4＜m＜12，且m≠8，A错误；
因为椭圆x212−m+y2m−4＝1的焦点在y轴上，
所以m－4＞12－m＞0，解得8＜m＜12，故B正确；
若m＝6，则椭圆方程为x26+y22＝1，
所以c2＝a2－b2＝6－2＝4，从而2c＝4，C正确；
若m＝10，则椭圆方程为x22+y26＝1，
点(1，2)的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点(1，2)，D错误．故选BC.]
10．ABC [设椭圆C的上、下顶点分别为D，E，由题知椭圆C：x225+y29＝1中，a＝5，b＝3，c＝4，
所以F1(－4，0)，F2(4，0)，A(－5，0)，B(5，0)，D(0，3)，E(0，－3)．
由于DF1＝(－4，－3)，DF2＝(4，－3)，
DF1·DF2＝－16＋9＝－7＜0，所以∠F1PF2的最大角为钝角，故存在P使得∠F1PF2＝π2，A正确；
记|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝10，
由余弦定理，得
cs ∠F1PF2＝m2+n2−642mn＝m+n2−2mn−642mn＝36−2mn2mn＝18mn－1≥18m+n22－1＝－725，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取“＝”，B正确；
由于PF1⊥PF2，故m+n=10，m2+n2=64⇒mn＝12[(m＋n)2－(m2＋n2)]＝18，
所以S△F1PF2＝12mn＝9，C正确；
设P(x，y)(x≠±5)，因为A(－5，0)，B(5，0)，x225+y29＝1，则kPA＝yx+5，kPB＝yx−5，于是kPA·kPB＝yx+5·yx−5＝y2x2−25＝91−x225x2−25＝－925，D错误．故选ABC.]
11．8 [根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|，可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8．]
12．32 [x2＋y2－6y＋8＝0化简为x2＋(y－3)2＝1，圆心A(0，3)．PQ的最大值为5等价于AQ的最大值为4，设Q(x，y)，即x2＋(y－3)2≤16，又x2a2＋y2＝1(a>1)，
化简得到(1－a2)y2－6y＋a2－7≤0(－1≤y≤1)．
当y＝－1时，验证等号成立；
对称轴为y＝31−a2，满足y＝31−a2≤－1，即a≤2，故1∴e2＝c2a2＝a2−1a2＝1－1a2≤34，∴e≤32.
故离心率的最大值为32.]
13．解：(1)圆M：x2＋(y－1)2＝8的圆心M(0，1)，半径为r＝22，由题意可知|QN|＝|QP|，又点P是圆上的点，则|PM|＝22，且|PM|＝|PQ|＋|QM|，
则|QN|＋|QM|＝22＞2，
由椭圆的定义可知，点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中a＝2，c＝1，b＝1，
则点Q的轨迹方程C：y22＋x2＝1.
(2)设A(x，y)，则OA＝(x，y)，AN＝(－x，－1－y)，
所以OA·AN＝－x2＋y(－1－y)＝－x2－y2－y，
又y22＋x2＝1，所以x2＝1－12y2，所以OA·AN＝－12y2－y－1＝－12(y＋1)2－12，
由椭圆的有界性可知－2≤y≤2，
所以当y＝－1时，取最大值－12.
所以OA·AN的最大值为－12.
14．解：(1)因为∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝2c，e＝ca＝22.
(2)由题意知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，
由AF2＝2F2B，得2x−1=1，2y=−b，解得x＝32，y＝－b2.
代入x2a2+y2b2＝1，得94a2+b24b2＝1.
即94a2+14＝1，解得a2＝3，所以b2＝a2－c2＝2，所以椭圆的方程为x23+y22＝1.
15．B [法一：依题意a＝3，b＝6，c＝a2−b2＝3.如图，不妨令F1(－3，0)，F2(3，0)．设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cs ∠F1PF2＝m2+n2−122mn＝35， ①
由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6， ②
由①②，解得mn＝152.
设|OP|＝x.在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π，
由余弦定理得x2+3−m223x＝－x2+3−n223x，
得x2＝m2+n2−62＝m+n2−2mn−62＝152，
所以|OP|＝302.
法二：依题意a＝3，b＝6，c＝a2−b2＝3.如图(图同法一)，设点P的坐标为(x0，y0)，∠F1PF2＝α，则cs ∠F1PF2＝cs α＝35，
故sin ∠F1PF2＝sin α＝2sinα2csα2sin2α2+cs2α2＝2tanα21+tan2α2＝45，则tanα2＝12或tan α2＝2(舍去)．
故S△F1PF2＝b2tan α2＝6×12＝3.
又S△F1PF2＝12×2c|y0|＝3|y0|，故y02＝3，又x029+y026＝1，
所以x02＝92，|OP|2＝x02+y02＝152，|OP|＝302.
法三：依题意a＝3，b＝6，c＝a2−b2＝3.如图(图同法一)，不妨令F1(－3，0)，F2(3，0)．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，
cs ∠F1PF2＝m2+n2−122mn＝35， ①
由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6， ②
由①②，解得mn＝152.
因为PO＝12(PF1+PF2)，
所以|PO|2＝14(m2＋n2＋2mn cs ∠F1PF2)
＝14m+n2−45 mn＝152，所以|PO|＝302.]
16．53 [设椭圆的左焦点F1(－c，0)，连接AF1，BF1，CF1，如图，|OA|＝|OF|＝|OB|，所以AF⊥BF.
设|CF|＝m，|AF|＝2m，
由对称性可知：|AF1|＝|BF|＝2a－2m，
在△ABF中，由|AF|2＋|BF|2＝|AB|2，
则4m2＋(2a－2m)2＝(2c)2，①
在Rt△AF1C中，|CF1|＝2a－m，
9m2＋(2a－2m)2＝(2a－m)2，可得a＝3m，
将m＝13a代入①，解得椭圆的离心率e＝ca＝53.