2025高考数学一轮复习-8.6-双曲线-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-8.6-双曲线-专项训练【含答案】，共7页。试卷主要包含了已知双曲线C，若双曲线C，已知点A等内容，欢迎下载使用。

1.方程x22+m－y21－m＝1表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A.－2＜m＜1 B.m＞1
C.m＜－2 D.－1＜m＜2
2.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0），离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A.y＝2x B.y＝3x
C.y＝±2x D.y＝±3x
3.若双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）满足ba＝52，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则双曲线C的方程为（ ）
A.x24－y25＝1 B.x28－y210＝1
C.x25－y24＝1 D.x24－y23＝1
4.已知点A（0，2），B（0，－2），C（3，2），若动点M（x，y）满足｜MA｜＋｜AC｜＝｜MB｜＋｜BC｜，则点M的轨迹方程为（ ）
A.y2－x23＝1 B.y2－x23＝1（y≤－1）
C.x2－y23＝1 D.x2－y23＝1（x≤－1）
5.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A是圆O：x2＋y2＝c2上一点，线段F2A交双曲线C的右支于点B，｜F2A｜＝a，F2A＝3F2B，则双曲线C的离心率为（ ）
A.62 B.332
C.362 D.6
6.（多选）已知双曲线C的方程为x216－y29＝1，则下列说法正确的是（ ）
A.双曲线C的实轴长为8B.双曲线C的渐近线方程为y＝±34x
C.双曲线C的焦点到渐近线的距离为3D.双曲线C上的点到焦点距离的最小值为94
7.双曲线y2m－x2n＝1（m＞0，n＞0）的渐近线方程为y＝±22x，实轴长为2，则m－n＝ .
8.试写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为y＝±2x的双曲线方程为 .
9.设双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，如图所示，直线l：x＝a2c与两条渐近线交于P，Q两点，N为PQ的中点，如果△PQF是直角三角形，则双曲线的离心率e＝ .
10.中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且｜F1F2｜＝213，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.
（1）求这两个曲线的方程；
（2）若P为这两个曲线的一个交点，求cs∠F1PF2的值.
11.如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为1033，下底座外直径为2393，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ ）
A.22π B.3π
C.23π D.4π
12.（多选）双曲线C：x24－y22＝1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A.双曲线C的离心率为62B.双曲线y24－x28＝1与双曲线C的渐近线相同
C.若PO⊥PF，则△PFO的面积为2D.｜PF｜的最小值为2
13.已知双曲线x216－y24＝1的左、右焦点分别为F1，F2.
（1）若点M在双曲线上，且MF1·MF2＝0，求点M到x轴的距离；
（2）若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点，且过点（32，2），求双曲线C的方程.
14.已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在双曲线右支上且不与顶点重合，过F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，若｜OA｜＝2b，则该双曲线的离心率为 .
15.已知双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0）.
（1）若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
（2）以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率.
参考答案与解析
1.A 因为方程x22+m－y21－m＝1表示双曲线，所以（2＋m）·（1－m）＞0，即（m＋2）（m－1）＜0，解得－2＜m＜1.故选A.
2.D ba＝c2－a2a2＝e2－1＝3，故双曲线C的渐近线方程为：y＝±3x.
3.A 由题意可得椭圆的焦点坐标为（－3，0），（3，0），则在双曲线C中，有ba＝52，c=3，c2＝a2＋b2，解得a2=4，b2=5，c2=9，所以双曲线C的方程为x24－y25＝1.
4.B 设M（x，y），因为｜MA｜＋｜AC｜＝｜MB｜＋｜BC｜，故｜MA｜＋3＝｜MB｜＋32＋[2−(−2）]2，即｜MA｜－｜MB｜＝2＜4.故点M（x，y）的轨迹是以A（0，2），B（0，－2）为焦点的双曲线的下支，且a＝1，c＝2.故b2＝c2－a2＝3.故方程为y2－x23＝1（y≤－1）.
5.A 如图，由题意可知｜F2B｜＝a3，｜AB｜＝2a3，由双曲线的定义可知｜BF1｜＝a3＋2a＝7a3，易得∠F1AF2＝90°，则在△ABF1中，由勾股定理可得｜AF1｜＝5a，在Rt△AF1F2中，（5a）2＋a2＝（2c）2，所以e＝62.故选A.
6.ABC 因为a2＝16，所以a＝4，2a＝8，故A正确；因为a＝4，b＝3，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±bax＝±34x，故B正确；因为c＝a2＋b2＝16+9＝5，所以焦点坐标为（－5，0），（5，0），焦点（5，0）到渐近线3x－4y＝0的距离为｜15｜32＋(−4）2＝3，故C正确；双曲线C上的点到焦点距离的最小值为c－a＝1，故D错误.
7.－1 解析：因为双曲线的实轴长为2m，所以2m＝2，所以m＝1，又渐近线方程为y＝±22x，所以mn＝22，解得n＝2，所以m－n＝－1.
8.x2－y24＝1（答案不唯一） 解析：因为渐近线方程为2x±y＝0，设双曲线方程为4x2－y2＝λ，λ≠0，所以双曲线的方程可以为x2－y24＝1.
9.2 解析：由题意知右焦点F（c，0），直线l：x＝a2c，渐近线y＝±bax.联立x＝a2c，y＝±bax，可得P（a2c，abc），Q（a2c，－abc），∴｜FP｜＝｜FQ｜，即△PQF是等腰三角形.∵△PQF是直角三角形，∴∠PFQ＝90°，N为PQ的中点，∴｜PN｜＝｜FN｜，即abc＝c－a2c，∴a＝b，e＝2.
10.解：（1）由已知c＝13，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a，b，双曲线的实半轴长、虚半轴长分别为m，n.则a－m=4，7·13a=3·13m，解得a＝7，m＝3，所以b＝6，n＝2.
所以椭圆的方程为x249＋y236＝1，双曲线的方程为x29－y24＝1.
（2）不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，
则｜PF1｜＋｜PF2｜＝14，｜PF1｜－｜PF2｜＝6，
所以｜PF1｜＝10，｜PF2｜＝4，
又｜F1F2｜＝213，所以cs∠F1PF2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2−|F1F2｜22｜PF1｜·｜PF2｜＝102＋42−(213）22×10×4＝45.
11.C 该金杯主体部分的上口外直径为1033，下底座外直径为2393，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，可设M（533，2m），N（393，－m），代入双曲线方程可得253a2－4m2b2＝1，133a2－m2b2＝1，即2512a2－m2b2＝14，133a2－m2b2＝1，作差可得2712a2＝34，解得a2＝3，a＝3，所以杯身最细处的周长为23π.故选C.
12.ABC 因为a＝2，b＝2，所以c＝a2＋b2＝6，所以e＝ca＝62，故A正确；双曲线y24－x28＝1的渐近线方程为y＝±22x，双曲线C的渐近线方程为y＝±22x，故B正确；因为PO⊥PF，点F（6，0）到渐近线2x－2y＝0的距离d＝｜2×6｜6＝2，所以｜PF｜＝2，所以｜PO｜＝（6）2−(2）2＝2，所以△PFO的面积为12×2×2＝2，故C正确；｜PF｜的最小值即为点F到渐近线的距离，即｜PF｜min＝2，故D不正确.
13.解：（1）不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，
∵MF1·MF2＝0，∴MF1⊥MF2.
设｜MF1｜＝m，｜MF2｜＝n，
由双曲线的定义知m－n＝2a＝8.①
在Rt△F1MF2中，由勾股定理得m2＋n2＝（2c）2＝80，②
由①②得m·n＝8.
∵S△MF1F2＝12mn＝4＝12×2ch，∴h＝255.
即点M到x轴的距离为255.
（2）设双曲线C的方程为x216－λ－y24＋λ＝1（－4＜λ＜16）.
∵双曲线C过点（32，2），∴1816－λ－44+λ＝1，
解得λ＝4或λ＝－14（舍去），∴双曲线C的方程为x212－y28＝1.
14.62 解析：如图，记直线F2A交PF1于点Q，因为PA是∠F1PF2的平分线，所以｜AQ｜＝｜AF2｜，｜PQ｜＝｜PF2｜.又O是F1F2的中点，所以QF1∥AO，且｜QF1｜＝2｜OA｜＝22b.由双曲线的定义，知2a＝｜PF1｜－｜PF2｜＝｜PF1｜－｜PQ｜＝｜QF1｜，所以2a＝22b，即a＝2b，a2＝2b2＝2（c2－a2），即3a2＝2c2，所以该双曲线的离心率e＝ca＝62.
15.解：（1）因为双曲线的渐近线方程为y＝±bax，所以a＝b，所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，
所以双曲线方程为x22－y22＝1.
（2）设点A的坐标为（x0，y0），所以直线AO的斜率满足y0x0·（－3）＝－1，所以x0＝3y0，①
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
将①代入圆的方程得3y02＋y02＝c2，
即y0＝12c，所以x0＝32c，所以点A的坐标为（32c，12c），
代入双曲线方程得34c2a2－14c2b2＝1，
即34b2c2－14a2c2＝a2b2，②
又因为a2＋b2＝c2，
所以将b2＝c2－a2代入②式，整理得34c4－2a2c2＋a4＝0，所以3（ca）4－8（ca）2＋4＝0，所以（3e2－2）（e2－2）＝0，
因为e＞1，所以e＝2，所以双曲线的离心率为2.