2025高考数学一轮复习-8.6-双曲线-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-8.6-双曲线-专项训练【含解析】，共13页。

A. 19 B. 9 C. 13 D. 3
2.若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+y2m=1 的离心率是( )
A. 32 或5 B. 5 C. 32 D. 32 或52
3.已知F1 ，F2 分别是双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点，过F2 且垂直于x 轴的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△ABF1 是正三角形，则此双曲线的渐近线方程是( )
A. y=±2x B. y=±3x C. y=±2x D. y=±5x
4. （多选）已知双曲线E:x2a2−y24=1a>0 经过点P22,2 ，则( )
A. E 的实轴长为2B. E 的焦距为42
C. E 的离心率为2 D. E 的渐近线方程是y=±12x
5.（多选）已知曲线C 的方程为y2m−x2n=1 ，下列说法正确的是( )
A. 若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则m>−n>0
B. 曲线C 可能是圆
C. 若mn<0 ，则曲线C 一定是双曲线
D. 若曲线C 为双曲线，则渐近线方程为y=±mnx
6.已知双曲线经过点A−7,−62 ，B27,3 ，则其标准方程为
7.记双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的离心率为e ，写出满足条件“直线y=2x 与C 无公共点”的e 的一个值 .
8.若双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线被圆x2+y−22=4 所截得的弦长为23 ，则C 的离心率为 .
9.在①双曲线E 的焦点在x 轴上；②双曲线E 的焦点在y 轴上，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
已知双曲线C 的对称轴为坐标轴，且C 经过点A0,6 ，B1,3 .
（1） 求双曲线C 的标准方程；
（2） 若双曲线E 与双曲线C 的渐近线相同， ，且E 的焦距为4，求双曲线E 的实轴长.
注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
[B级 综合运用]
10. 如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周得到的几何体，如图所示，若该金杯主体部分的上口外直径为1033 ，下底座外直径为2393 ，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为( )
A. 22π B. 3π C. 23π D. 4π
11. （多选）在△ABC 中，AB=4 ，M 为AB 的中点，且 CA−CB =CM ，则下列说法中正确的是( )
A. 动点C 的轨迹是双曲线B. 动点C 的纵坐标的最大值为3
C. △ABC 是钝角三角形D. △ABC 面积的最大值为23
12. 已知F1 ,F2 分别为双曲线C:x216−y29=1 的左、右焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且PQ=F1F2 ，则四边形PF1QF2 的面积为 .
13.已知F1 ，F2 分别是双曲线E:x2a2−y23=1a>0 的左、右焦点，过F1 的直线与双曲线E 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若BF2:AB:AF2=5:12:13 ，则△ABF2 的面积为 .
14.已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为F1 ，F2 ，点P 在双曲线的右支上（点P 不在x 轴上），且PF1=5PF2 .
（1） 用a 表示PF1 ，PF2 ；
（2） 若∠F1PF2 是钝角，求双曲线的离心率e 的取值范围.
[C级 素养提升]
15. （多选）双曲线C 的两个焦点为F1 ，F2 ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过F1 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且cs∠F1NF2=35 ，则C 的离心率为( )
A. 52 B. 32 C. 132 D. 172
16. 已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右焦点为Fc,0 .
（1） 若双曲线的一条渐近线方程为y=x 且c=2 ，求双曲线的标准方程；
（2） 以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为−3 ,求双曲线的离心率.
2025高考数学一轮复习-8.6-双曲线-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 若直线y=3x−1 与双曲线C:x2−my2=1 的一条渐近线平行，则实数m 的值为( A )
A. 19 B. 9 C. 13 D. 3
[解析]选A.双曲线C:x2−my2=1 的渐近线方程满足x=±my ，因为一条渐近线与y=3x−1 平行，所以渐近线方程为y=±3x ，故m=19 ，故选A.
2.若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+y2m=1 的离心率是( A )
A. 32 或5 B. 5 C. 32 D. 32 或52
[解析]选A.因为m 是2和8的等比中项，所以m=4 或m=−4 .
当m=4 时，方程为x2+y24=1 ，表示椭圆，
所以a=2 ,b=1 ,c=a2−b2=3 ，所以离心率为32 ；
当m=−4 时，方程为x2−y24=1 ，表示双曲线，所以a=1 ,b=2 ,c=a2+b2=5 ，所以离心率为5 ，故选A.
3.已知F1 ，F2 分别是双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点，过F2 且垂直于x 轴的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△ABF1 是正三角形，则此双曲线的渐近线方程是( C )
A. y=±2x B. y=±3x C. y=±2x D. y=±5x
[解析]选C.由题意得△AF2F1 为直角三角形，且∠AF1F2=30∘ ,
故可设AF2=2m ，则AF1=4m ,F1F2=2c=23m ,如图所示，
由双曲线的定义得2a=AF1−AF2=4m−2m=2m ,
所以a=m ,c=3m ,所以b=2m ,所以ba=2 ,
所以双曲线的渐近线方程为y=±2x ，故选C.
4. （多选）已知双曲线E:x2a2−y24=1a>0 经过点P22,2 ，则( BC )
A. E 的实轴长为2B. E 的焦距为42
C. E 的离心率为2 D. E 的渐近线方程是y=±12x
[解析]选BC.由题意得8a2−44=1 ，得a=2 ，
即双曲线E 的方程为x24−y24=1 .
所以双曲线E 的实轴长是4，焦距是42 ，
离心率为222=2 ，渐近线方程是y=±x .
故B，C 正确，A ，D 错误，故选BC.
5.（多选）已知曲线C 的方程为y2m−x2n=1 ，下列说法正确的是( BD )
A. 若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则m>−n>0
B. 曲线C 可能是圆
C. 若mn<0 ，则曲线C 一定是双曲线
D. 若曲线C 为双曲线，则渐近线方程为y=±mnx
[解析]选BD.因为曲线C 的方程为y2m−x2n=1 ，
对于A: 曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则x2−n+y2m=1 ，即−n>m>0 ，故A错误；
对于B: 当m=−n>0 时，曲线C 表示圆，故B正确；
对于C: 若m=−n=1 ，满足mn<0 ，
曲线C 为x2+y2=1 ，表示圆，故C错误；
对于D: 若y2m−x2n=1 为双曲线，则mn>0 ，
当m>0，n>0 时，y2m−x2n=1 表示焦点在y 轴上的双曲线，其渐近线方程为y=±mnx ；
当m<0，n<0 时，x2−n−y2−m=1 表示焦点在x 轴上的双曲线，其渐近线方程为y=±mnx ，故D正确.故选BD.
6.已知双曲线经过点A−7,−62 ，B27,3 ，则其标准方程为x225−y275=1
[解析]设双曲线方程为mx2+ny2=1mn<0 ，
则−72m+−622n=1，272m+32n=1， 解得m=125，n=−175，
所以双曲线的标准方程为x225−y275=1 .
7.记双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的离心率为e ，写出满足条件“直线y=2x 与C 无公共点”的e 的一个值2（满足1[解析]由题意得，双曲线C 的渐近线方程为y=±bax .
故只需0可满足条件“直线y=2x 与C 无公共点”，
所以e=ca=1+b2a2≤1+4=5 .
因为e>1 ，所以18.若双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线被圆x2+y−22=4 所截得的弦长为23 ，则C 的离心率为2.
[解析]设双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线方程为bx+ay=0 ,
圆x2+y−22=4 的圆心为0,2 ,半径为2，
由题意得圆心到直线的距离为22−32=1=2aa2+b2 ，即1=4a2c2 ，c2=4a2 ,可得e2=c2a2=4 ，即e=2 .
9.在①双曲线E 的焦点在x 轴上；②双曲线E 的焦点在y 轴上，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
已知双曲线C 的对称轴为坐标轴，且C 经过点A0,6 ，B1,3 .
（1） 求双曲线C 的标准方程；
[答案]解：设双曲线C 的标准方程为mx2+ny2=1 ，
则6n=1，m+9n=1， 解得m=−12，n=16，
所以双曲线C 的标准方程为y26−x22=1 .
（2） 若双曲线E 与双曲线C 的渐近线相同， ，且E 的焦距为4，求双曲线E 的实轴长.
注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
[答案]双曲线C 的渐近线方程为y=±3x .
选①，设双曲线E 的标准方程为x2a2−y2b2=1a>0,b>0 ，
所以ba=3，2c=4，c2=a2+b2， 解得a=1，b=3.
所以双曲线E 的实轴长为2.
选②，设双曲线E 的标准方程为y2a2−x2b2=1a>0,b>0 ，
所以ab=3，2c=4，c2=a2+b2， 解得a=3 ，b=1 ，
所以双曲线E 的实轴长为23 .
[B级 综合运用]
10. 如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周得到的几何体，如图所示，若该金杯主体部分的上口外直径为1033 ，下底座外直径为2393 ，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为( C )
A. 22π B. 3π C. 23π D. 4π
[解析]选C.由题意可设M533,2m ,N393,−m ，代入双曲线方程可得253a2−4m2b2=1,133a2−m2b2=1, 即2512a2−m2b2=14,133a2−m2b2=1，
作差可得2712a2=34 ,解得a2=3 ,则a=3 ，所以杯身最细处的周长为23π .故选C.
11. （多选）在△ABC 中，AB=4 ，M 为AB 的中点，且 CA−CB =CM ，则下列说法中正确的是( BD )
A. 动点C 的轨迹是双曲线B. 动点C 的纵坐标的最大值为3
C. △ABC 是钝角三角形D. △ABC 面积的最大值为23
[解析]选BD.因为 CA−CB 不是定值，所以动点C 的轨迹不是双曲线，故A错误.以M 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.
设CM=r ,此时点C 在以M 为圆心，r 为半径的动圆上（除去x 轴上两点）.
由 CA−CB =r 知，点C 在以A ，B 为焦点，a=r2 的双曲线x2a2−y2b2=1 （不包括两顶点）上且a2+b2=AB22=4 .
设点Cx,y ,则x2+y2=r2 ,x2r24−y24−r24=1 ,则y2=364r216−r2 ，当r2=8 时，y2 最大，故0此时△ABC 为直角三角形，故C错误.故选BD.
12. 已知F1 ,F2 分别为双曲线C:x216−y29=1 的左、右焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且PQ=F1F2 ，则四边形PF1QF2 的面积为18.
[解析]如图，根据双曲线的对称性，不妨设点P 在第一象限.
因为P ，Q 关于原点对称，F1 ，F2 也关于原点对称，所以线段PQ 与线段F1F2 互相平分，所以四边形PF1QF2 是平行四边形.又PQ=F1F2 ，所以四边形PF1QF2 是矩形.
所以PF1⊥PF2 ，所以PF12+PF22=F1F22=100 . ①
又PF1−PF2=2a=8 ， ②
①-②​2 得PF1⋅PF2=18 ，所以四边形PF1QF2 的面积为18.
13.已知F1 ，F2 分别是双曲线E:x2a2−y23=1a>0 的左、右焦点，过F1 的直线与双曲线E 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若BF2:AB:AF2=5:12:13 ，则△ABF2 的面积为125 .
[解析]如图，
因为BF2:AB:AF2=5:12:13 ，所以AB⊥BF2 .
设BF2=5x ，AB=12x ，得AF2=13x ，
由BF1−BF2=AF2−AF1 ，得12x+AF1−5x=13x−AF1 ，
所以AF1=3x ，则BF1=15x .
由BF12+BF22=F1F22 ，得250x2=4c2 .
又∣BF1∣−∣BF2∣=10x=2a，c2=a2+3，
所以a2=2 ，c2=5 ，x2=225 ，
故△ABF2 的面积S=12ABBF2=30x2=125 .
14.已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为F1 ，F2 ，点P 在双曲线的右支上（点P 不在x 轴上），且PF1=5PF2 .
（1） 用a 表示PF1 ，PF2 ；
[答案]解：因为点P 在双曲线的右支上，
所以PF1−PF2=2a .
又PF1=5PF2 ，联立解得PF1=52a ,PF2=12a .
（2） 若∠F1PF2 是钝角，求双曲线的离心率e 的取值范围.
[答案]在△PF1F2 中，由余弦定理得cs∠F1PF2=254a2+a24−4c22×52a×12a=132a2−4c252a2=135−85e2 .
因为−1[C级 素养提升]
15. （多选）双曲线C 的两个焦点为F1 ，F2 ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过F1 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且cs∠F1NF2=35 ，则C 的离心率为( AC )
A. 52 B. 32 C. 132 D. 172
[解析]选AC.不妨假设双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1a>0,b>0 ,F1−c,0 ,F2c,0 .当两个交点M ,N 在双曲线两支上时，如图1所示，
设过F1 的直线与圆D 切于点P ，连接OP ，由题意知OP=a ,又OF1=c ,所以F1P=b .过点F2 作F2Q⊥F1N ,交F1N 于点Q.由中位线的性质，可得F2Q=2OP=2a ，PQ=b .因为cs∠F1NF2=35 ,所以sin∠F1NF2=45 ,故NF2=52a ,QN=32a ，所以NF1=F1Q+QN=2b+32a .由双曲线的定义可知NF1−NF2=2a ,所以2b+32a−52a=2a ,所以2b=3a .两边平方得4b2=9a2 ,即4c2−a2=9a2 ,整理得4c2=13a2 ,
所以c2a2=134 ,故ca=132 ,即e=132 .
当两个交点M ,N 都在双曲线的左支上时，如图2所示，
同理可得F2K=2OH=2a ,HK=b .因为cs∠F1NF2=35 ,所以sin∠F1NF2=45 ,可得NF2=5a2 ,NK=3a2 ，所以NF1=NK−KF1=3a2−2b ,所以NF2=NF1+2a=7a2−2b ,又NF2=5a2 ,所以7a2−2b=5a2 ,即a=2b ,e=1+ba2=52 .故选AC.
16. 已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右焦点为Fc,0 .
（1） 若双曲线的一条渐近线方程为y=x 且c=2 ，求双曲线的标准方程；
[答案]解：因为双曲线的渐近线方程为y=±bax ,
所以a=b ,
所以c2=a2+b2=2a2=4 ,所以a2=b2=2 ,
所以双曲线的标准方程为x22−y22=1 .
（2） 以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为−3 ,求双曲线的离心率.
[答案]设点A 的坐标为x0,y0 ,
所以直线AO 的斜率满足y0x0⋅−3=−1 ,
所以x0=3y0 , ①
依题意，圆的方程为x2+y2=c2 ,将①代入圆的方程得3y02+y02=c2 ,
即y0=12c ,所以x0=32c ,
所以点A 的坐标为32c,12c ,
代入双曲线方程得34c2a2−14c2b2=1 ,
即34b2c2−14a2c2=a2b2 . ②
又因为a2+b2=c2 ,
所以将b2=c2−a2 代入②式，
整理得34c4−2a2c2+a4=0 ,
所以3ca4−8ca2+4=0 ,
所以3e2−2e2−2=0 .
因为e>1 ,所以e=2 ,所以双曲线的离心率为2 .