2025高考数学一轮复习-8.7-抛物线-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-8.7-抛物线-专项训练【含解析】，共46页。
一、单选题
1．（2024春·全国·高三校联考阶段练习）如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，
是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角满足，，则其焦径比为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·福建莆田·统考二模）已知F为抛物线的焦点，A为C上的一点，中点的横坐标为2，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2024·北京平谷·统考模拟预测）已知抛物线，点O为坐标原点，并且经过点，若点P到该抛物线焦点的距离为2，则（ ）
A．B．C．4D．
4．（2024·新疆·统考一模）若是抛物线的焦点，是抛物线上任意一点，的最小值为，且，是抛物线上两点，，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A．3B．2C．D．
5．（2024·河南·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，当与圆相切时，的中点到的准线的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·陕西榆林·统考一模）如图1，某建筑物的屋顶像抛物线，建筑师通过抛物线的设计元素赋予了这座建筑轻盈､极简和雕塑般的气质.若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例处理后可看成图2所示的抛物线的一部分，为抛物线上一点，为抛物线的焦点，若，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（2024·辽宁·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点M在C上，点，若，则（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·四川雅安·统考一模）过抛物线的焦点F且倾斜角为锐角的直线与C交于两点A，B（横坐标分别为，，点A在第一象限），为C的准线，过点A与垂直的直线与相交于点M．若，则（ ）
A．3B．6C．9D．12
二、多选题
9．（2024·安徽·统考一模）已知为坐标原点，点，线段的中点在抛物线上，连接并延长，与交于点，则（ ）
A．的准线方程为B．点为线段的中点
C．直线与相切D．在点处的切线与直线平行
10．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在C上，P为C上的一个动点，则（ ）
A．C的准线方程为B．若，则的最小值为
C．若，则的周长的最小值为11D．在x轴上存在点E，使得为钝角
11．（2024·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知抛物线（p＞0）的焦点为F，斜率为的直线过点F交C于A，B两点，且点B的横坐标为4，直线过点B交C于另一点M（异于点A），交C的准线于点D，直线AM交准线于点E，准线交y轴于点N，则（ ）
A．C的方程为B．
C．D．
12．（2024·江苏连云港·统考模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，直线l与C交于，两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，作MN垂直于准线，垂足为N，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线l经过焦点F，且，则
B．若，则直线l的倾斜角为
C．若以AB为直径的圆M经过焦点F，则的最小值为
D．若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相切
三、填空题
13．（2024·湖北·统考模拟预测）已知为抛物线上一点，过点的直线与抛物线C交于A，B两点，且直线与的倾斜角互补，则__________．
14．（2024·山东威海·统考一模）已知椭圆的右焦点为F，以F为焦点的抛物线与椭圆的一个交点为M，若MF垂直于x轴，则该椭圆的离心率为______.
15．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）设为坐标原点，抛物线的焦点为，过点作轴的垂线交于点为轴正半轴上一点，且，若，则的准线方程为______．
16．（2024·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知抛物线为抛物线内一点，不经过点的直线与抛物线相交于两点，连接分别交抛物线于两点，若对任意直线，总存在，使得成立，则该抛物线方程为______.
四、解答题
17．（2024·安徽蚌埠·统考二模）已知抛物线，点在C上，A关于动点的对称点记为M，过M的直线l与C交于，，M为P，Q的中点．
(1)当直线l过坐标原点O时，求外接圆的标准方程；
(2)求面积的最大值．
18．（2024·山东日照·统考一模）已知抛物线：的焦点为为上的动点，垂直于动直线，垂足为，当为等边三角形时，其面积为.
(1)求的方程；
(2)设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于两点，直线与交于点，试问：是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【提能力】
一、单选题
19．（2024·陕西咸阳·校考一模）设F为抛物线C：的焦点，点A在C上，且A到C焦点的距离为3，到y轴的距离为2，则p＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
20．（2024春·福建南平·高三校联考阶段练习）过抛物线（p＞0）的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，设，，若n，，成等比数列，则（ ）
A．B．3
C．3或D．
21．（2024·吉林·统考二模）已知抛物线的焦点F与椭圆的一个焦点重合，则下列说法不正确的是（ ）
A．椭圆E的焦距是2B．椭圆E的离心率是
C．抛物线C的准线方程是x=-1D．抛物线C的焦点到其准线的距离是4
22．（2024秋·广西河池·高三统考期末）已知抛物线）的焦点为，准线为l，过的直线与抛物线交于点A、B，与直线l交于点D，若，则p=（ ）
A．1B．C．2D．3
23．（2024·四川成都·成都七中校考二模）已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
24．（2022·四川成都·成都市第二十中学校校考一模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，为任一动点．条件：直线与直线相交于点；条件：动点在抛物线上．则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
25．（2022·河南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，动点在上，圆的半径为1，过点的直线与圆相切于点，则的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
26．（2024·陕西西安·西安市东方中学校考一模）已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
二、多选题
27．（2024·全国·高三专题练习）过抛物线上一点A(1，-4)作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交点分别为M，N，则（ ）
A．C的准线方程是
B．过C的焦点的最短弦长为8
C．直线MN过定点(0，4)
D．当点A到直线MN的距离最大时，直线MN的方程为
28．（2024·全国·高三专题练习）已知点，，，抛物线．过点的直线与交于，两点，直线分别与交于另一点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．直线的斜率为
C．若的面积为（为坐标原点），则与的夹角为
D．若为抛物线上位于轴上方的一点，，则当取最大值时，的面积为2
29．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的准线与轴相交于点，过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，且两点在准线上的投影点分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的最小值为4
C．为定值D．
30．（2022·广东韶关·统考一模）设是抛物线上一点，是的焦点，在的准线上的射影为，关于点的对称点为，曲线在处的切线与准线交于点，直线交直线于点，则（ ）
A．到距离等于4B．
C．是等腰三角形D．的最小值为4
三、填空题
31．（2024·陕西西安·统考一模）若抛物线上一点A到焦点和到x轴的距离分别为10和6，则p的值为______.
32．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线E：的焦点为F，直线l的倾斜角 ，l与抛物线交于，两点，且，过F作l的垂线，垂足为D，P为抛物线上任意一点，则的最小值为______．
33．（2024·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在D上，PA与l垂直，垂足为A，若，则的面积等于______.
34．（2024·湖南衡阳·校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，圆与交于两点，其中点在第一象限，点在直线上运动，记.
①当时，有；
②当时，有；
③可能是等腰直角三角形；
其中命题中正确的有__________.
四、解答题
35．（2024·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于，两点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)若点，直线，分别交准线于，两点，证明：以线段为直径的圆过定点.
36．（2024春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点F关于直线的对称点恰好在y轴上．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)直线与抛物线E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，若，求的最大值．
37．（2024·广东广州·统考二模）已知直线与抛物线交于，两点，且与轴交于点，过点，分别作直线的垂线，垂足依次为，，动点在上.
(1)当，且为线段的中点时，证明：；
(2)记直线，，的斜率分别为，，，是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
38．（2022·浙江·模拟预测）已知抛物线，其焦点与准线的距离为，若直线与交于两点（直线不垂直于轴），且直线与另一个交点为，直线与另一个交点.
(1)求抛物线的方程；
(2)若点，满足恒成立，求证：直线过定点.
2025高考数学一轮复习-8.7-抛物线-专项训练（解析版）
【练基础】
单选题
1．（2024春·全国·高三校联考）如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角满足，，则其焦径比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为：，，，代入抛物线方程可得，根据，解得与的关系，即可得出．
【详解】如图所示，建立直角坐标系，
设抛物线的标准方程为：，，
，代入抛物线方程可得：，解得，
由于，得或（舍）
又，化为：，
解得或（舍）
.
故选：C.
2．（2024·福建莆田·统考二模）已知F为抛物线的焦点，A为C上的一点，中点的横坐标为2，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据中点的横坐标求出点横坐标，进而由焦半径公式求出答案.
【详解】由题意得：，准线方程为，
设，则中点的横坐标为，
故，解得：，
由抛物线的焦半径可知：.
故选：B
3．（2024·北京平谷·统考模拟预测）已知抛物线，点O为坐标原点，并且经过点，若点P到该抛物线焦点的距离为2，则（ ）
A．B．C．4D．
【答案】D
【分析】由焦半径公式列出方程，求出，得到，求出的长.
【详解】抛物线准线方程为，由焦半径可知：，解得：.
则，此时，则.
故选：D
4．（2024·新疆·统考一模）若是抛物线的焦点，是抛物线上任意一点，的最小值为，且，是抛物线上两点，，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可知，利用抛物线的定义和梯形的中位线即可求解.
【详解】
根据题意可知
如图，取AB中点E，分别过点A、B、E作于点D、C、G，
DG与轴交于点H.
根据抛物线的定义可得：
.
因为GE为梯形ABCD的中位线，所以
所以线段的中点到轴的距离.
故选：B
5．（2024·河南·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，当与圆相切时，的中点到的准线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，设直线的方程为，由直线与圆相切可得，再联立直线与抛物线方程，结合焦半径公式即可得到结果.
【详解】由题意知，设直线的方程为.
因为直线与圆相切，
所以圆心到的距离，解得，
所以直线的方程为，联立，得，则，
所以的中点到的准线的距离为
.
故选:D
6．（2024·陕西榆林·统考一模）如图1，某建筑物的屋顶像抛物线，建筑师通过抛物线的设计元素赋予了这座建筑轻盈､极简和雕塑般的气质.若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例处理后可看成图2所示的抛物线的一部分，为抛物线上一点，为抛物线的焦点，若，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】写出焦点坐标，设，由得出点坐标，根据焦半径公式得，再由求得．
【详解】由题意知，设，则，
由抛物线的几何性质知，则，
所以，
所以，
解得.
故选：A．
7．（2024·辽宁·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点M在C上，点，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由抛物线的定义可得，求得，，由得∠MAF＝∠AMN，在△AMF中由正弦定理求得，即可得到答案．
【详解】由题意知点A为抛物线C的准线与x轴的交点，如图，
过点M作MN垂直于准线于点N，令，则，
由抛物线的定义可得，所以，所以．
又，所以∠MAF＝∠AMN，所以．
在△AMF中，由正弦定理得，
所以，
所以．
故选：B．
8．（2022·四川雅安·统考一模）过抛物线的焦点F且倾斜角为锐角的直线与C交于两点A，B（横坐标分别为，，点A在第一象限），为C的准线，过点A与垂直的直线与相交于点M．若，则（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】C
【分析】由已知可求得直线的斜率为，则直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，可求出，，即可解得结果.
【详解】设直线的斜率为，倾斜角为，.
由抛物线的定义知，，又，所以为等边三角形，且轴，所以，则.
，则直线的方程为，
联立直线的方程与抛物线的方程，可得，
解得，，显然，所以，，
所以，.
故选：C.
二、多选题
9．（2024·安徽·统考一模）已知为坐标原点，点，线段的中点在抛物线上，连接并延长，与交于点，则（ ）
A．的准线方程为B．点为线段的中点
C．直线与相切D．在点处的切线与直线平行
【答案】BCD
【分析】将代入抛物线得，则得到其准线方程，则可判断A，联立直线的方程与抛物线方程即可得到，即可判断B，利用导数求出抛物线在点处的切线方程，令，则可判断C，再次利用导数求出抛物线在处的切线斜率，则可判断D.
【详解】对A，根据中点公式得，将其代入得，则，
所以抛物线的准线方程为，故A错误，
对B，，则直线的斜率为，则直线的方程为，
将其代入得，解得或0（舍去），此时，
则，所以为中点，故B正确；
对C，，即，则，
故抛物线在点处的切线的斜率为，
故切线方程为，
令得，所以直线为的切线，故C正确；
对D，抛物线在处的切线方程的斜率为，
而直线的斜率为，则两直线的斜率相等，且两直线显然不可能重合，
所以在点处的切线与直线平行.
故选：BCD.
10．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在C上，P为C上的一个动点，则（ ）
A．C的准线方程为B．若，则的最小值为
C．若，则的周长的最小值为11D．在x轴上存在点E，使得为钝角
【答案】BC
【分析】根据题意求出，即可求出准线，即可判断A；设点，，则，根据两点的距离公式结合二次函数的性质即可判断B；过点P作垂直于C的准线，垂足为N，连接MN，再结合图象，即可求得的周长的最小值，即可判断C；设，再判断是否有解即可判断D.
【详解】A选项：因为点在抛物线上，所以，解得，
所以抛物线C的方程为，所以C的准线方程为，故A错误；
B选项：设点，，则，
因为，所以，
当且仅当时等号成立，
所以，故B正确；
C选项：过点P作垂直于C的准线，垂足为N，连接MN，则，
易知，，所以，
所以的周长为
，
当且仅当M，P，N三点共线时等号成立，
所以的周长的最小值为11，故C正确；
D选项：设，则，，
所以，
因为点在C上，所以，即，
所以，
所以，故不可能为钝角，故D错误.
故选：BC.
11．（2024·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知抛物线（p＞0）的焦点为F，斜率为的直线过点F交C于A，B两点，且点B的横坐标为4，直线过点B交C于另一点M（异于点A），交C的准线于点D，直线AM交准线于点E，准线交y轴于点N，则（ ）
A．C的方程为B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】对于A，根据题意设得的坐标，再由直线的斜率求得，从而求得抛物线的方程，由此判断即可；对于B，联立直线与抛物线的方程，求得的坐标，进而求得，由此即可判断；对于D，设，从而利用直接法求得的坐标关于的表达式，从而证得，由此判断即可；对于C，举反例排除即可.
【详解】对于A，由题意得，，所以，整理得p2＋6p－16=0，
又p＞0，解得p=2，所以C的方程为x2=4y，故A正确；
对于B，由选项A知双曲线C的准线方程为y=－1，，，直线l1的方程为，
联立，解得x=－1或x=4，所以，
则，故B正确；
对于D，设点，由题意知m≠±1且m≠±4，所以直线，
令y=－1，得，即，故，
同理可得，故，所以，故D正确；
对于C，当m=2时，，，则，，则，故C错误．
故选：ABD．
.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是设，从而利用熟练的运算能力将的坐标表示为关于的表达式，从而得解.
12．（2024·江苏连云港·统考模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，直线l与C交于，两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，作MN垂直于准线，垂足为N，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线l经过焦点F，且，则
B．若，则直线l的倾斜角为
C．若以AB为直径的圆M经过焦点F，则的最小值为
D．若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相切
【答案】BC
【分析】A选项，考虑直线斜率为0和不为0两种情况，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由列出方程，求出，A错误；B选项，先得到直线经过抛物线焦点，与A一样，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，结合求出直线l的斜率，得到倾斜角；C选项，设，由抛物线定义结合基本不等式得到的最小值；D选项，与C一样，考虑直线l不经过焦点时，得到圆M与准线相离，D错误.
【详解】A选项，由题意得：，准线方程为，
当直线的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，
故设直线，与联立得：，
故，
则，所以，
解得：，A错误；
B选项，因为，所以三点共线，即直线经过抛物线焦点，
当直线的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，
故设直线，与联立得：，
故，
因为，所以，
代入中，得到，
即，
因为点A在第一象限，所以，故，即，，
解得：
故直线l的斜率为，设直线l的倾斜角为，则，
解得：，B正确；
C选项，设，过点作⊥准线于点，过点作⊥准线于点P，
因为以AB为直径的圆M经过焦点F，所以⊥，
则，
由抛物线定义可知：，
由基本不等式得：，则，
当且仅当时，等号成立，
故，即，C正确；
D选项，当直线l不经过焦点时，设，
由三角形三边关系可知：，
由抛物线定义可知结合C选项可知：，即，
若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相离，D错误.
故选：BC
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
三、填空题
13．（2024·湖北·统考模拟预测）已知为抛物线上一点，过点的直线与抛物线C交于A，B两点，且直线与的倾斜角互补，则__________．
【答案】2
【分析】由题可得，然后利用韦达定理法，两点间距离公式结合条件即得.
【详解】由点在抛物线上得：，即,
所以抛物线C的方程为：,
设直线的方程为，，,
由直线与的倾斜角互补得，
即，所以,
联立，得，
所以，,
所以，即，所以,
所以
．
故答案为：2.
14．（2024·山东威海·统考一模）已知椭圆的右焦点为F，以F为焦点的抛物线与椭圆的一个交点为M，若MF垂直于x轴，则该椭圆的离心率为______.
【答案】##
【分析】利用抛物线和椭圆交点及简单性质,列出关系式,求解椭圆离心率即可.
【详解】根据椭圆和抛物线对称性及轴，由在抛物线上得，在椭圆上得
.则由条件得：且
即得.
解得（舍去），所以
故答案为:
15．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）设为坐标原点，抛物线的焦点为，过点作轴的垂线交于点为轴正半轴上一点，且，若，则的准线方程为______．
【答案】
【分析】由题知，进而根据计算即可.
【详解】解：如图，由题知，将代入方程得，故
所以，，
所以，
因为，整理得，解得（舍），
所以，抛物线，准线方程为：
故答案为：
16．（2024·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知抛物线为抛物线内一点，不经过点的直线与抛物线相交于两点，连接分别交抛物线于两点，若对任意直线，总存在，使得成立，则该抛物线方程为______.
【答案】
【分析】设，根据推出，结合点在抛物线上可得，，即可求得p，即得答案.
【详解】由题意设，
由可得：，
可得：，同理可得：，
则：（*）
将两点代入抛物线方程得，
作差可得：，而，即，
同理可得，，代入（*），可得，
此时抛物线方程为，
故答案为：
四、解答题
17．（2024·安徽蚌埠·统考二模）已知抛物线，点在C上，A关于动点的对称点记为M，过M的直线l与C交于，，M为P，Q的中点．
(1)当直线l过坐标原点O时，求外接圆的标准方程；
(2)求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意解得抛物线方程，设直线方程，代入抛物线方程，利用M为P，Q的中点解出P，Q的坐标，利用圆上三点求圆的方程；
（2）把面积表示为的函数，利用导数研究单调性求最大值.
【详解】（1）由点在C上，代入，解得，即．
因为M为A关于动点的对称点，所以．
设直线，
联立整理得，
则，
，，
由M为P，Q的中点，得，故，
由，解得，
由直线l过坐标原点O，得，则，
解得，，即，，
设外接圆的一般方程，
代入，，，
解得，，，即，
即外接圆的标准方程为．
（2）由（1）可知，，
A到直线的距离为，
则面积，
，由，解得，
当，，S单调递增；当，，S单调递减；
故，面积的最大值．
【点睛】思路点睛：解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；最值问题经常转化成函数问题处理.
18．（2024·山东日照·统考一模）已知抛物线：的焦点为为上的动点，垂直于动直线，垂足为，当为等边三角形时，其面积为.
(1)求的方程；
(2)设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于两点，直线与交于点，试问：是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据正三角形得三角形的边长，再根据抛物线的定义进行求解；
（2）设，则，可得，由导数的几何意义可得，设，，中点，由点差法可得，，从而可以求出.
【详解】（1）∵为等边三角形时，其面积为，
∴，解得，
根据和抛物线的定义可知，落在准线上，即，
设准线和轴交点为，易证，于是，
∴的方程为；
（2）假设存在，使得，则线为段的中点，
设，依题意得，则，
由可得，所以切线的斜率为，
设，，线段的中点，
由，可得，
所以，
整理可得：，即，所以，
可得，又因为，
所以当时，，此时三点共线，满足为的中点，
综上，存在，使得点为的中点恒成立，.
【提能力】
一、单选题
19．（2024·陕西咸阳·校考一模）设F为抛物线C：的焦点，点A在C上，且A到C焦点的距离为3，到y轴的距离为2，则p＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出抛物线C的焦点坐标及准线方程，再利用定义求解作答.
【详解】抛物线C：的焦点，准线方程，
显然点A的横坐标为2，由抛物线定义得：，所以.
故选：B
20．（2024春·福建南平·高三校联考阶段练习）过抛物线（p＞0）的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，设，，若n，，成等比数列，则（ ）
A．B．3
C．3或D．
【答案】B
【分析】由抛物线的定义及等比中项的性质计算可得结果.
【详解】由n，，成等比数列，得．
由抛物线的定义知，， ，
所以，所以，
又因为，，所以．
故选：B.
21．（2024·吉林·统考二模）已知抛物线的焦点F与椭圆的一个焦点重合，则下列说法不正确的是（ ）
A．椭圆E的焦距是2B．椭圆E的离心率是
C．抛物线C的准线方程是x=-1D．抛物线C的焦点到其准线的距离是4
【答案】D
【分析】根据椭圆方程求出，求出焦距和离心率，根据抛物线的焦点F与椭圆的一个焦点重合求出，就能求出曲线和焦点到其准线的距离.
【详解】根据椭圆
可得：
所以椭圆E的焦距是，故A正确；
椭圆E的离心率为，故B正确；
又因为椭圆的焦点为，
抛物线的焦点F与椭圆的一个焦点重合
，即
所以抛物线C的准线方程是，故C正确；
抛物线C的焦点到其准线的距离，故D不正确.
故选：D
22．（2024秋·广西河池·高三统考期末）已知抛物线）的焦点为，准线为l，过的直线与抛物线交于点A、B，与直线l交于点D，若，则p=（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】D
【分析】利用抛物线的定义，以及几何关系可知，再利用数形结合可求的值.
【详解】如图，
设准线与轴的交点为，作，，垂足分别为，，
则.根据抛物线定义知,,
又，所以，
设，因为，所以，
则.
所以,，又,可得,所以，
所以,
可得,即.
故选：.
23．（2024·四川成都·成都七中校考二模）已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先利用两点间距离表示，再结合基本不等式求最值，并且求得点的坐标，根据双曲线上的点和焦点坐标，即可求得双曲线的离心率.
【详解】设，，，则
，当且仅当时取等号，此时, ，
所以.
故选：C
24．（2022·四川成都·成都市第二十中学校校考一模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，为任一动点．条件：直线与直线相交于点；条件：动点在抛物线上．则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先分别将条件条件转化为与实数对相关的解析式，进而得到二者间的逻辑关系.
【详解】条件：直线与直线相交于点，
则，则，整理得
条件：动点在抛物线上，则，
则是的充分不必要条件.
故选：A
25．（2022·河南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，动点在上，圆的半径为1，过点的直线与圆相切于点，则的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】B
【分析】由题作图，由图可得，根据抛物线定义可得等于点到准线的距离，根据图形可得最小值情况，从而可得的最小值.
【详解】解：因为抛物线，所以焦点坐标为，如下图所示：连接，过作垂直准线于，
则在直角中，，
所以，
由抛物线的定义得：，
则由图可得的最小值即抛物线顶点到准线的距离，即，
所以.
故选：B.
26．（2024·陕西西安·西安市东方中学校考一模）已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】抛物线的准线的方程为，过作于，根据抛物线的定义可知，则当三点共线时，可求得最小值，答案可得.
【详解】解：抛物线：的焦点为，准线的方程为，
如图，过作于，
由抛物线的定义可知，所以
则当三点共线时，最小为.
所以的最小值为.
故选：C.
二、多选题
27．（2024·全国·高三专题练习）过抛物线上一点A(1，-4)作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交点分别为M，N，则（ ）
A．C的准线方程是
B．过C的焦点的最短弦长为8
C．直线MN过定点(0，4)
D．当点A到直线MN的距离最大时，直线MN的方程为
【答案】AD
【分析】由题可得为，进而判断A，利用焦点弦的方程结合抛物线的定义结合条件可判断B，设为，联立抛物线利用韦达定理结合条件可得m、n的数量关系，可判断C，由C分析所得的定点P，要使到直线的距离最大有，可得此时直线的方程判断D.
【详解】将代入中得：，则为，
所以的准线方程是，故A正确；
由题可知的焦点为，可设过的焦点的直线为，
由，可得，设交点为，
则，，
所以，即过C的焦点的最短弦长为16，故B不正确；
设，，直线为，联立抛物线得：，
所以，，又，
所以
，
因为，，即，
所以，整理得，
故，得，
所以直线为，所以直线过定点，故C不正确；
当时，到直线的距离最大，此时直线为，故D正确.
故选：AD.
28．（2024·全国·高三专题练习）已知点，，，抛物线．过点的直线与交于，两点，直线分别与交于另一点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．直线的斜率为
C．若的面积为（为坐标原点），则与的夹角为
D．若为抛物线上位于轴上方的一点，，则当取最大值时，的面积为2
【答案】ACD
【分析】A选项：，直线的方程为，由直线过点 得即可解决；
B选项：设，得直线的方程为直线过点 得，同理即可解决；
C选项：得，设，，又得即可；
D选项：过作垂直抛物线的准线于点，由抛物线定义得直线与抛物线相切时，最大，设直线.得即可.
【详解】A选项：易知，，
所以直线的方程为，（利用两点式求解直线的方程）
因为直线过点，
所以，A正确．
B选项：设，，
所以直线的方程为，
因为直线过点，所以，
同理可得，
所以，故B错误．
C选项：，（利用B选项中）
设，则，
因为，
所以，所以与的夹角为，故C正确．
D选项：易知为抛物线的焦点，过作垂直抛物线的准线于点，
如图
由抛物线的定义知，，即，
当取最大值时，取最小值，（正弦函数的单调性的应用）
即直线与抛物线相切．
设直线的方程为，
由得，
所以，解得，
此时，即，
所以，又点在轴上方，故，
所以，故D正确．
故选：ACD
【点睛】思路点睛：直线与抛物线的位置关系有三种：相交、相切、相离．判断方法：把直线方程和抛物线方程联立，当得到的是一元二次方程时，根据来判断直线与抛物线的位置关系，①若，则直线与抛物线相交；②若，则直线与抛物线相切；③若，则直线与抛物线相离．当得到的是一元一次方程时，直线与抛物线交于一点，此时直线与抛物线的对称轴平行（或重合）
29．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的准线与轴相交于点，过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，且两点在准线上的投影点分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的最小值为4
C．为定值D．
【答案】ABD
【分析】由焦点到准线的距离可得的值，进而求出抛物线的方程，可判断A正确；设直线的方程与抛物线的方程联立，求出两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长的表达式，再由参数的范围可得其最小值，判断B正确；分别表示出可判断C不正确；表示出，，由可判断D正确．
【详解】对于A，因为抛物线的准线，
所以，则，故A正确；
对于，抛物线，过焦点的直线为，则，
整理可得，设，
可得，，
，
所以，当 时取等号，
最小值为4，所以正确；
对于C，，
所以
所以，所以C不正确；
对于D，，，，
所以，故D正确.
故选：ABD.
30．（2022·广东韶关·统考一模）设是抛物线上一点，是的焦点，在的准线上的射影为，关于点的对称点为，曲线在处的切线与准线交于点，直线交直线于点，则（ ）
A．到距离等于4B．
C．是等腰三角形D．的最小值为4
【答案】BCD
【分析】A选项根据抛物线方程得到焦点到准线距离；
B选项设，得到，，根据坐标得到，或根据即可得到；
C选项根据直线，的斜率相等得到，根据是线段中点，得到是线段的中点，最后利用和直角三角形的性质得到即可；
D选项设直线的方程为，得到，然后根据坐标表示出，最后利用基本不等式求最值即可.
【详解】对于A，焦点到准线距离，A不正确.
对于B，因为：的准线为：，焦点为，设，则，，
所以，所以，（或由抛物线定义知，所以，）故选项B正确；
对于C，因为，所以处的切线斜率，，而，所以，
从而，又是线段中点，所以是线段的中点，又，
所以，所以C正确.
对于D，因为，所以直线的方程为，令，得，
所以，当且仅当时，最小值为4，故选项D正确.
故选：BCD.
三、填空题
31．（2024·陕西西安·统考一模）若抛物线上一点A到焦点和到x轴的距离分别为10和6，则p的值为______.
【答案】2或18
【分析】由抛物线的定义得点A的坐标，代入抛物线的方程求解即可.
【详解】∵设抛物线的焦点为F，则，准线l方程为：，
∴由抛物线的定义知，，
∴点A的横坐标为，则，
又∵点A在抛物线上，
∴，解得：或.
故答案为：2或18.
32．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线E：的焦点为F，直线l的倾斜角 ，l与抛物线交于，两点，且，过F作l的垂线，垂足为D，P为抛物线上任意一点，则的最小值为______．
【答案】8
【分析】先设出直线l的方程并代入抛物线方程，再利用根与系数的关系及已知条件得到直线l过点
，进而得到D在以FG为直径的圆的上运动，最后利用抛物线的定义、三角形的三边关系及垂线段最短求解．
【详解】如图，
设直线l与x轴的交点为，则可设l的方程为，
联立，整理得，
∴，，∴，
∴或（舍去），G的坐标为．
∵，直线l的倾斜角，点D在以FG为直径的圆的上运动分别过P，D作准线的垂线，垂足分别为点H，I，如图
根据抛物线的定义知，
∴，当点P为ID与抛物线E的交点时，最小．，
∵l的倾斜角，当时，点D的横坐标最小为5，此时取最小值，故的最小值为8．
故答案为：8
33．（2024·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在D上，PA与l垂直，垂足为A，若，则的面积等于______.
【答案】
【分析】根据抛物线的焦半径可得为等边三角形，即可求解边长进而得面积.
【详解】由以及可知,故为等边三角形，所以 因此故，所以，
故答案为：
34．（2024·湖南衡阳·校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，圆与交于两点，其中点在第一象限，点在直线上运动，记.
①当时，有；
②当时，有；
③可能是等腰直角三角形；
其中命题中正确的有__________.
【答案】①②
【分析】联立方程求得，结合可得，当时，点三点共线，求得，即可求得，判断①；当时，由，求得的值，判断②；分情况讨论为等腰直角三角形情况，判断③.
【详解】由圆与，联立方程，解得或（舍），当时，，
所以，
从而，
即，因为点在直线上运动，所以，
则，
①当时，点三点共线，由于，
所以，所以，
由题意知，所以，故①正确；
②当时，即，所以，
即，
解得，又，得，所以②正确；
③若是等腰直角三角形，
则或或为直角，
因为，
当时，则，得，
此时，不是等腰直角三角形，
由对称性可知当时，也不是等腰直角三角形，；
当时，因为首先是等腰三角形，由抛物线的对称性可知点在轴上，
此时，，,
,即，故不是等腰直角三角形，
综上所述，不可能是等腰直角三角形，所以③错误，
故答案为：①②.
【点睛】方法点睛：题目中涉及到向量的运算即，因此要利用向量的坐标运算，表示出，则①②即可判断；判断是否为等腰直角三角形，要讨论直角顶点可能的位置，即分类讨论，结合抛物线的对称性进行解答.
四、解答题
35．（2024·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于，两点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)若点，直线，分别交准线于，两点，证明：以线段为直径的圆过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设，联立抛物线方程，由根与系数的关系及抛物线的定义，根据建立方程求出得解；
（2）由直线方程求出的坐标，计算，设是以线段为直径的圆上任意一点，根据化简，根据对称性令可得解.
【详解】（1）设，，，
则联立得，
所以，所以，
又，，所以
由得，
即
所以，化简得，又，
所以，所以抛物线的方程为.
（2）由（1）知，，，
所以，，易得，，
由题意知，，
所以令得，，
即，，
所以
设是以线段为直径的圆上得任意一点，则有，
即，
由对称性令得，所以或
所以以线段为直径的圆经过定点，定点坐标为与.
【点睛】关键点点睛：求出的点的坐标，计算出为定值，是解题的关键之一，其次写出以为直径的圆的方程，根据圆的方程，由对称性，令求定点是解题的关键.
36．（2024春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点F关于直线的对称点恰好在y轴上．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)直线与抛物线E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，若，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 由题意得，设F关于直线的对称点为，根据题意列出方程组，解之即可求解；
(2)将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式，并求得线段AB的垂直平分线方程为，进而得到，利用函数的单调性即可求解.
【详解】（1）由题意得，设F关于直线的对称点为，则，解得，
∴抛物线E的标准方程为．
（2）由可得，设，，则，，
∴，
，∴线段AB的中点坐标为，则线段AB的垂直平分线方程为，令，得，故，
又，得．
∴，令，
则，，∴，
易知函数在 上单调递增，∴当时，取得最小值，
此时，故的最大值为．
37．（2024·广东广州·统考二模）已知直线与抛物线交于，两点，且与轴交于点，过点，分别作直线的垂线，垂足依次为，，动点在上.
(1)当，且为线段的中点时，证明：；
(2)记直线，，的斜率分别为，，，是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）取的中点,连接.利用几何法，分别证明出,为的角平分线，即可证明；
（2）利用“设而不求法”分别表示出，解方程求出.
【详解】（1）如图示：
当时，恰为抛物线的焦点.
由抛物线的定义可得：.
取的中点,连接,则为梯形的中位线，所以.
因为为的中点,所以,所以.
在中，由可得：.
因为为梯形的中位线，所以，所以，
所以.
同理可证：.
在梯形中，,
所以，所以，
所以,即.
（2）假设存在实数，使得.
由直线与抛物线交于，两点，可设.
设,则，消去可得：，所以，.
则
.
而.
所以，
解得：.
38．（2022·浙江·模拟预测）已知抛物线，其焦点与准线的距离为，若直线与交于两点（直线不垂直于轴），且直线与另一个交点为，直线与另一个交点.
(1)求抛物线的方程；
(2)若点，满足恒成立，求证：直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据焦点和准线之间距离可得的值，由此可得抛物线方程；
（2）设，，由可知，利用斜率公式进行化简，可求得；将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可求得点坐标，同理可得点坐标，由此可求得直线方程，化简其方程为，根据直线过定点的求法可得定点坐标.
【详解】（1）抛物线的焦点到准线的距离为，即，
抛物线的方程为：.
（2）由（1）知：，
设，，其中，，，
，且直线的倾斜角均不为，，
即，，
，，即；
直线方程为：，即，
由得：，
设点纵坐标为，则，即，
将代入直线方程得点横坐标为：，；
同理可得：，，
直线方程为：，即；
，直线方程为：，
则当时，，直线恒过定点.