2025高考数学一轮复习-9.3-变量的相关关系与一元线性回归模型-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-9.3-变量的相关关系与一元线性回归模型-专项训练【含答案】，共8页。试卷主要包含了下面属于相关关系的是，给出下列说法等内容，欢迎下载使用。

基 础 巩固练
1.下面属于相关关系的是( )

A.圆的周长和它的半径之间的关系
B.价格不变的条件下,商品销售额与销售量之间的关系
C.家庭收入愈多,其消费支出也有增长的趋势
D.正方形的面积和它的边长之间的关系
2.下面的散点图与相关系数r一定符合的是( )
AB
CD
3.(2023盐城质检)如图,这是相关变量x,y的散点图,现对这两个变量进行线性相关分析.方案一:根据图中所有数据,得到经验回归方程y^=b^1x+a^1,相关系数为r1;方案二:剔除点(10,21),根据剩下数据得到经验回归方程y^=b^2x+a^2,相关系数为r2.那么( )
A.0C.-14.(2023扬州调研)已知一组数据(xi,yi)(1≤i≤10,且i∈N*)的经验回归方程为y^=7x+1,若∑i=110xi=70,则∑i=110yi=( )
A.50B.250C.490D.500
5.(多选题)对相关系数r来说,下列说法错误的是( )
A.|r|≤1,|r|越接近0,相关程度越大;|r|越接近1,相关程度越小
B.|r|≥1,|r|越接近1,相关程度越大;|r|越大,相关程度越小
C.|r|≤1,|r|越接近1,相关程度越大;|r|越接近0,相关程度越小
D.|r|≥1,|r|越接近1,相关程度越小;|r|越大,相关程度越大
6.(多选题)5G技术在我国已经进入高速发展的阶段,5G手机的销量也逐渐上升,某手机商城统计了2023年5个月5G手机的实际销量,如下表所示:
若y与x线性相关,且求得经验回归方程为y^=45x+5,则下列结论正确的是( )
A.a=142
B.y与x正相关
C.y与x的相关系数为负数
D.预计2023年7月份该手机商城的5G手机销量为320部
7.某部门所属的10个工业企业的固定资产价值x与工业增加值y的资料如下表(单位:百万元):
根据上表资料计算的相关系数约为 .
8.给出下列说法:①回归直线y^=b^x+a^恒过样本点的中心(x,y),且至少过一个样本点;②两个变量相关性越强,则相关系数|r|就越接近1;③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后,方差不变;④在回归直线方程y^=2-0.5x中,当解释变量x增加一个单位时,预报变量y^平均减少0.5个单位.其中所有说法正确的序号是 .
9.随着人民生活水平的日益提高,汽车普遍进入千家万户,尤其在近几年,新能源汽车涌入市场,越来越受到人们喜欢.某新能源汽车销售企业在2019年至2023年间的销售量y(单位:万辆)的数据如下表:
(1)根据数据资料,可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用相关系数加以说明;
(2)求出y关于x的经验回归方程,并预估2024年该新能源汽车企业的销售量为多少万辆.
参考数据:∑i=15(xi-x)(yi-y)=16,∑i=15(xi-x)2=10,∑i=15(yi-y)2=26,65≈8.06.
参考公式:相关系数r=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2∑i=1n(yi-y)2,
经验回归方程y^=b^x+a^中,b^=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-nx2=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2,a^=y-bx,其中x,y为样本平均值.
综 合 提升练
10.(2023南京质检)为考察两个变量x,y的相关性,把搜集到的数据整理如下表,则这两个变量的线性相关程度( )
A.很强B.很弱C.无相关D.不确定
11.已知∑i=1n(yi-y)2是∑i=1n(xi-x)2的4倍,∑i=1n(xi-x)(yi-y)是∑i=1n(xi-x)2的1.5倍,则相关系数r的值为( )
A.34B.14C.35D.15
12.(多选题)(2023徐州月考)如图,这是某市2021年4月至2022年3月每月最低气温与最高气温的折线统计图,已知每月最低气温与最高气温的相关系数r=0.83,则下列结论正确的是(若|r|>0.75,则线性相关程度较强)( )
A.每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性,且二者为正相关
B.月温差(月最高气温-月最低气温)的最大值出现在10月
C.9~12月的月温差相对于5~8月,波动性更大
D.每月最高气温与最低气温的平均值在所统计的前6个月里逐月增加
13.(2023南通质检)近五年来某草场羊只数量与草地植被指数的数据如下表所示,绘制相应的散点图,如图所示:
根据图表得到以下判断:①羊只数量与草地植被指数成减函数关系;②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为r1,去掉第一年数据后得到的相关系数为r2,则|r1|<|r2|;③可以利用回归直线方程,准确地得到当羊只数量为2万只时的草地植被指数.以上判断中正确的个数是 .
14.为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为y^=b^x+a^.已知∑i=110xi=225,∑i=110yi=1 600,b^=4,该班某学生的脚长为24厘米,据此估计其身高为 厘米.
15.根据统计,某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)的对应数据的散点图如图所示.
依据数据的散点图可以看出,可用线性回归模型拟合y与x的关系,请计算相关系数r并加以说明(若|r|>0.75,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合);
(2)求y关于x的经验回归方程,并预测液体肥料每亩使用量为12千克时,西红柿亩产量的增加量y.
附:相关系数公式r=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2·∑i=1n(yi-y)2,b^=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-nx2,a^=y−b^x.
参考数据:∑i=15(xi-x)(yi-y)=6,∑i=15(xi-x)2=20,∑i=15(yi-y)2=2,0.9≈0.95.
创 新 应用练
16.某同学使用某品牌暖水瓶,其内胆规格如图所示.水瓶内胆壁厚不计,且内胆分为①②③④四个部分(如图),它们分别为一个半球、一个大圆柱、一个圆台和一个小圆柱体.若圆台部分的体积为52π cm3,且水瓶灌满水后盖上瓶塞时水溢出10π3 cm3.盖上瓶塞后,暖水瓶的最大盛水量为V.
(1)求V.
(2)该同学发现:该品牌暖水瓶盛不同体积的热水时,保温效果不同.为了研究保温效果最好时暖水瓶的盛水体积,做以下实验:从盛有最大盛水量V的水的暖水瓶中倒出不同体积的水,并记录水瓶内不同体积水在不同时刻的水温,发现水温y(单位:℃)与时刻t满足经验回归方程y=ct+d,通过计算得到下表:
注:表中倒出体积x(单位:cm3)是指从盛有最大盛水量的水的暖水瓶中倒出的那部分水的体积.其中:
令w=|c|,wi=|ci|,xi=30(i-1),i=1,2,…,16.对于数据(xi,wi)(i=1,2,…,7),可求得回归直线方程为L1:w=βx+α,对于数据(xi,wi)(i=8,9,…,16),可求得回归直线方程为L2:w=0.000 9x+0.7.
(ⅰ)指出|c|的实际意义,并求出回归直线L1的方程.参考数据:92 800≈0.003 2
(ⅱ)若直线L1与直线L2的交点横坐标为最佳倒出体积,请问保温瓶约盛多少体积水时(盛水体积保留整数,且π取3.14),保温效果最佳？
附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线v=β^u+α^中的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i=1n(ui-u)(vi-v)∑i=1n(ui-u)2,α^=v−β^u.
参考答案
1.C 2.C 3.D 4.D 5.ABD 6.ABD
8 8.②③④
9.解 (1)由参考公式和参考数据可得r=∑i=15(xi-x)(yi-y)∑i=15(xi-x)2∑i=15(yi-y)2=1610×26=865≈88.06≈0.993,
显然|r|接近1,故y与x有很强的线性相关关系.
(2)由参考公式得b^=∑i=15(xi-x)(yi-y)∑i=15(xi-x)2=1610=1.6,由表中数据可得x=15×(1+2+3+4+5)=3,y=15×(17+18+20+22+23)=20,
故a^=y−b^x=20-1.6×3=15.2,∴回归直线方程为y^=1.6x+15.2,又2024年对应的代号为6,所以y^=1.6×6+15.2=24.8,
由此预估2024年该新能源汽车企业的销售量为24.8万辆.
10.A 11.A 12.ABC 13.1 14.166
15.解 (1)相关系数r=
∑i=15(xi-x)(yi-y)∑i=15(xi-x)2·∑i=15(yi-y)2
=625×2=910≈0.95.
因为|r|>0.75,所以y与x有较强的相关关系.
(2)由已知数据可得x=2+4+5+6+85=5,
y=3+4+4+4+55=4,
所以b^=∑i=15xiyi-5xy∑i=15xi2-5x2=620=0.3.
那么a^=4-5×0.3=2.5,
所以经验回归方程为y^=0.3x+2.5.当x=12时,y^=0.3×12+2.5=6.1,即当液体肥料每亩使用量为12千克时,西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克.
16.解 (1)依题意得,半球的半径为r=5 cm,体积为V1=12×43×125π=2503π(cm3),
大圆柱体积V2=25π×20=500π(cm3),小圆柱体积V3=4π×2=8π(cm3),
∴盖上瓶塞后,暖水瓶的最大盛水量为2503π+500π+8π+52π-103π=640π(cm3).
(2)(ⅰ)|c|的实际意义为倒出x cm3体积水时,暖水瓶内水的降温速率.
|c|越小,降温速率越小,保温效果越好;|c|越大,降温速率越大,保温效果越差.
∵xi=30(i-1),i=1,2,…,7,对于回归直线L1:ω=βx+α,
x=x1+x2+…+x77=90,
ω=ω1+ω2+…+ω77=1.1,
∑i=17(xi-x)(ωi-ω)=-81,
∑i=17(xi-x)2=25 200,
∴β^=∑i=1n(xi-x)(ωi-ω)∑i=1n(xi-x)2=-8125 200=-92 800≈-0.003 2,
∴α^=ω−β^·x=1.1+0.003 2×90=1.388.
∴回归直线L1的方程为ω=-0.003 2x+1.388.
(ⅱ)联立ω=-0.003 2x+1.388,ω=0.000 9x+0.7,得x≈167.8,
∴保温瓶最佳倒出体积约为167.8 cm3.
保温瓶盛水体积约为640π-167.8≈640×3.14-167.8=1 841.8(cm3),
∴当保温瓶盛水体积约为1 841.8 cm3时,保温效果最佳.
月份
1月
2月
3月
4月
5月
月份
编号x
1
2
3
4
5
销量
y/部
50
96
a
185
227
固定资
产价值x
3
3
5
6
6
7
8
9
9
10
工业增
加值y
15
17
25
28
30
36
37
42
40
45
年份
2019年
2020年
2021年
2022年
2023年
年份
代号x
1
2
3
4
5
销售量
y/万辆
17
18
20
22
23
x
5
10
15
20
25
y
103
105
110
111
114
年份
1
2
3
4
5
羊只数量/万只
1.4
0.9
0.75
0.6
0.3
草地植被指数
1.1
4.3
15.6
31.3
49.7
倒出体
积x/cm3
0
30
60
90
120
拟合
结果
y=
c1t+d
y=
c2t+d
y=
c3t+d
y=
c4t+d
y=
c5t+d
倒出体
积x/cm3
150
180
210
…
450
拟合
结果
y=
c6t+d
y=
c7t+d
y=
c8t+d
…
y=
c16t+d
c1
c2
c3
c4
c5
c6
c7
-1.4
-1.3
-1.2
-1
-1.1
-0.9
-0.8