2025高考数学一轮复习-10.1-分类加法计数原理与分步乘法计数原理-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-10.1-分类加法计数原理与分步乘法计数原理-专项训练【含解析】，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若一个三位数的自然数各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定义为“单重数”．例如：232,114等，则不超过200的“单重数”中，从小到大排列第22个“单重数”是( )
A．166B．171
C．181D．188
2．7名旅客分别从3个不同的景区中选择一处游览，不同选法种数是( )
A．343B．2 187
C．210D．35
3．已知集合P＝{1,2,3,4,5}，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A，B)的个数为( )
A．49B．48
C．47D．46
4．几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：(1)甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；(2)乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；(3)丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；(4)丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；(5)戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E，则这九根树枝从高到低不同的顺序共有( )
A．23种B．24种
C．32种D．33种
5．将编号1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有( )
A．16种B．12种
C．9种D．6种
6．李雷和韩亮两人都计划在国庆节的7天假期中，到“东亚文化之都——泉州”“两日游”，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有( )
A．16种B．18种
C．20种D．24种
7.如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有( )
A．192种B．336种
C．600种D．624种
8．(多选题)某人有3个电子邮箱，他要发n(n≥4)封不同的电子邮件，则对满足n≥4的任意n值，不同的发送方法可能有( )
A．64种B．81种
C．243种D．730种
二、填空题
9．由数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的三位数，其中个位数字比十位数字大的偶数共有 个．
10．现用4种不同的颜色为一行字“严勤活实”涂颜色，要求相邻的两个字涂色不同，则不同的涂色种数为 .
11．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有 种；若在同一个城市投资的项目不超过3个，则该外商不同的投资方案有 种．
三、解答题
12．某学校高二年级有12名语文教师、13名数学教师、15名英语教师，市教育局拟召开一个新课程研讨会．
(1)若选派1名教师参会，有多少种派法？
(2)若三个学科各派1名教师参会，有多少种派法？
(3)若选派2名不同学科的教师参会，有多少种派法？
13．为提高学生学习数学的兴趣，南京师范大学附属中学拟开设《数学史》、《微积分先修课程》、《数学探究》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的．
(1)求三位同学选择的课程互不相同的选课种数；
(2)若甲、乙两位同学不能选择同一门课程，求三人共有多少种不同的选课种数；
(3)若至少有两位同学选择《数学史》，求三人共有多少种不同的选课种数．
14．(多选题)下列求解方法只需要使用“分步乘法计数原理”的有( )
A．某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中的两本，求购买方案种数
B．若x∈{2,3,5}，y∈{6,7,8}，求xy的不同值个数
C．已知两条异面直线a，b上分别有4个点和7个点，求这11个点可以确定不同的平面个数
D．某体育馆有8个门供球迷出入，某球迷从其中一门进入，另一门走出，求不同的进出方法种数
15．如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，共有 种不同涂色方法；若要求4种颜色都用上且任意两个相邻区域不同色，共有 种不同涂色方法．(用数字作答)
16．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b，c∈M，则：
(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数？
(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数？
2025高考数学一轮复习-10.1-分类加法计数原理与分步乘法计数原理-专项训练【解析版】
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一、选择题
1．若一个三位数的自然数各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定义为“单重数”．例如：232,114等，则不超过200的“单重数”中，从小到大排列第22个“单重数”是( B )
A．166B．171
C．181D．188
解析：由题意可得，不超过200的数，
两个数字一样同为0时，有100,200, 有2个，
两个数字一样同为1时，有110,101,112,121,113,131，…，119,191，共18个，
两个数字一样同为2时，有122，有1个，
同理，两个数字一样同为3,4,5,6,7,8,9时各1个，
综上，不超过200的“单重数”共有2＋18＋8＝28个，
其中最大的是200，较小的依次为199,191,188,181,177,171，故第22个“单重数”为171，故选B.
2．7名旅客分别从3个不同的景区中选择一处游览，不同选法种数是( B )
A．343B．2 187
C．210D．35
解析：由题意，每名旅客可选择方案有3种，因此7名旅客分别从3个不同的景区中选择一处游览，不同选法种数是3×3×3×3×3×3×3＝2 187.故选B.
3．已知集合P＝{1,2,3,4,5}，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A，B)的个数为( A )
A．49B．48
C．47D．46
解析：由集合P＝{1,2,3,4,5}知：
①若A中的最大数为1时，B中只要不含1即可：A的集合为{1}，而B有24－1＝15种集合，集合对(A，B)的个数为15；
②若A中的最大数为2时，B中只要不含1、2即可：A的集合为{2}，{1,2}，而B有23－1＝7种，集合对(A，B)的个数为2×7＝14；
③若A中的最大数为3时，B中只要不含1、2、3即可：A的集合为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，而B有22－1＝3种，集合对(A，B)的个数为4×3＝12；
④若A中的最大数为4时，B中只要不含1、2、3、4即可：A的集合为{4}，{1,4}，{2,4}，{3,4}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2，3,4}，{1,2,3,4}，而B有21－1＝1种，集合对(A，B)的个数为8×1＝8.∴一共有15＋14＋12＋8＝49个，故选A.
4．几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：(1)甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；(2)乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；(3)丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；(4)丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；(5)戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E，则这九根树枝从高到低不同的顺序共有( D )
A．23种B．24种
C．32种D．33种
解析：不妨设A，B，C，D，E，F，G，H，I代表树枝的高度，九根树枝从上至下共九个位置，根据甲依次撞击到树枝A，B，C；乙依次撞击到树枝D，E，F；丙依次撞击到树枝G，A，C；丁依次撞击到树枝B，D，H；戊依次撞击到树枝I，C，E可得G>A>B，在前四个位置，C>E>F，D>E>F，且E，F一定排在后四个位置，
(1)若I排在前四个位置中的一个位置，前四个位置有4种排法，若第五个位置排C，则第六个位置一定排D，后三个位置共有3种排法，若第五个位置排D，则后四个位置共有4种排法，所以I排在前四个位置中的一个位置时，共有4×(3＋4)＝28种排法；
(2)若I不排在前四个位置中的一个位置，则G，A，B，D按顺序排在前四个位置，由于I>C>E>F，所以后五个位置的排法就是H的不同排法，共5种排法，即若I不排在前四个位置中的一个位置共有5种排法，由分类加法计数原理可得，这9根树枝从高到低不同的次序有28＋5＝33种．故选D.
5．将编号1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有( B )
A．16种B．12种
C．9种D．6种
解析：由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当四个小球分组为如下情况时，放球方法有：
当1与2号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当1与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当1与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当2与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当2与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当3与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法，
因此，不同的放球方法有12种．故选B.
6．李雷和韩亮两人都计划在国庆节的7天假期中，到“东亚文化之都——泉州”“两日游”，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有( C )
A．16种B．18种
C．20种D．24种
解析：任意相邻两天组合一起，一共有6种情况，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，若李雷选①②或⑥⑦，则韩亮有4种选择，若李雷选②③或③④或④⑤或⑤⑥，则韩亮有3种选择，所以他们出游的不同方案共有2×4＋4×3＝20种，故选C.
7.如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有( C )
A．192种B．336种
C．600种D．624种
解析：由题意，点E，F，G分别有4,3,2种涂法，
(1)当A与F相同时，A有1种涂色方法，此时B有2种涂色方法，
①若C与F相同，则C有1种涂色方法，此时D有3种涂色方法；
②若C与F不同，则C有1种涂色方法，D有2种涂色方法．
故此时共有4×3×2×1×2×(1×3＋1×2)＝240种涂色方法．
(2)当A与G相同时，A有1种涂色方法，
①若C与F相同，则C有1种涂色方法，此时B有2种涂色方法，D有2种涂色方法；
②若C与F不同，则C有2种涂色方法，此时B有2种涂色方法，D有1种涂色方法．
故此时共有4×3×2×1×(1×2×2＋2×2×1)＝192种涂色方法．
(3)当A既不同于F又不同于G时，A有1种涂色方法．
①若B与F相同，则C与A相同时，D有2种涂色方法，C与A不同时，C和D均只有1种涂色方法；
②若B与F不同，则B有1种涂色方法，
(ⅰ)若C与F相同，则C有1种涂色方法，此时D有2种涂色方法；
(ⅱ)若C与F不同，则必与A相同，C有1种涂色方法，此时D有2种涂色方法．
故此时共有4×3×2×1×[1×(1×2＋1×1)＋1×(1×2＋1×2)]＝168种涂色方法．
综上，共有240＋192＋168＝600种涂色方法．故选C.
8．(多选题)某人有3个电子邮箱，他要发n(n≥4)封不同的电子邮件，则对满足n≥4的任意n值，不同的发送方法可能有( BC )
A．64种B．81种
C．243种D．730种
解析：∵每个邮件选择发的方式有3种不同的情况，所以要发n(n≥4)个电子邮件，发送的方法的种数有3n种．因为n≥4，所以3n≥81.但730≠3n,64≠3n，故选BC.
二、填空题
9．由数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的三位数，其中个位数字比十位数字大的偶数共有36个．
解析：分3种情况讨论：
①当其个位为2时，十位数字只能是1，百位数字有4种情况，此时有4个符合题意的三位数；
②当其个位为4时，十位数字可以是1,2,3，百位数字有4种情况，此时有3×4＝12个符合题意的三位数；
③当其个位为6时，十位数字可以是1,2,3,4,5，百位数字有4种情况，此时有5×4＝20个符合题意的三位数，
则共有4＋12＋20＝36个符合题意的三位数．
10．现用4种不同的颜色为一行字“严勤活实”涂颜色，要求相邻的两个字涂色不同，则不同的涂色种数为108.
解析：给“严”字涂色的方法有4种，再给“勤”字涂色的方法有3种，再给“活”字涂色的方法有3种，最后给“实”字涂色的方法有3种，由分步乘法计数原理可知，共有4×3×3×3＝108种．
11．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有60种；若在同一个城市投资的项目不超过3个，则该外商不同的投资方案有64种．
解析：分两种情况：①在一个城市投资两个项目，在另一城市投资一个项目，将项目分成两个与一个，有3种分法；在四个城市当中，选择两个城市作为投资对象，有4×3＝12种，这种情况有3×12＝36种；②有三个城市各获得一个投资的项目，选择没有获得投资项目的城市，4种；安排项目与城市对应，有3×2×1＝6种，这种情况有4×6＝24种．综合两种情况，有36＋24＝60种方案设置投资项目．若在同一个城市投资的项目不超过3个，还有第三种情况：③在一个城市投资三个项目，即从四个候选城市中随机选择一个城市投资，有4种．故该外商不同的投资方案有36＋24＋4＝64种．
三、解答题
12．某学校高二年级有12名语文教师、13名数学教师、15名英语教师，市教育局拟召开一个新课程研讨会．
(1)若选派1名教师参会，有多少种派法？
(2)若三个学科各派1名教师参会，有多少种派法？
(3)若选派2名不同学科的教师参会，有多少种派法？
解：(1)分三类：第一类选语文老师，有12种不同选法；第二类选数学老师，有13种不同选法；第三类选英语老师，有15种不同选法，共有12＋13＋15＝40种不同的选法．
(2)分三步：第一步选语文老师，有12种不同选法；第二步选数学老师，有13种不同选法；第三步选英语老师，有15种不同选法，共有12×13×15＝2 340种不同的选法．
(3)分三类：第一类选一位语文老师和一位数学老师共有12×13种不同的选法；第二类选一位语文老师和一位英语老师共有12×15种不同的选法；第三类选一位英语老师和一位数学老师共有15×13种不同的选法，共有12×13＋12×15＋13×15＝531种不同的选法．
13．为提高学生学习数学的兴趣，南京师范大学附属中学拟开设《数学史》、《微积分先修课程》、《数学探究》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的．
(1)求三位同学选择的课程互不相同的选课种数；
(2)若甲、乙两位同学不能选择同一门课程，求三人共有多少种不同的选课种数；
(3)若至少有两位同学选择《数学史》，求三人共有多少种不同的选课种数．
解：(1)三位同学选择的课程互不相同共有4×3×2＝24种选课种数．
(2)甲、乙两位同学不选择同一门课程共有4×3＝12种情况，丙有4种不同的选择．所以甲、乙两位同学不能选择同一门课程共有12×4＝48种不同的选课种数．
(3)分两种情况讨论：①有两位同学选择《数学史》，有甲乙、甲丙、乙丙3种情况，剩下一位同学从剩余三门课程中选一门有3种选法，共有3×3＝9种不同情况，
②有三位同学选择《数学史》共有1种情况．
综上所述，总共有9＋1＝10种不同的选课种数．
14．(多选题)下列求解方法只需要使用“分步乘法计数原理”的有( BD )
A．某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中的两本，求购买方案种数
B．若x∈{2,3,5}，y∈{6,7,8}，求xy的不同值个数
C．已知两条异面直线a，b上分别有4个点和7个点，求这11个点可以确定不同的平面个数
D．某体育馆有8个门供球迷出入，某球迷从其中一门进入，另一门走出，求不同的进出方法种数
解析：A中，买两本，有3种方案；买三本有1种方案，因此共有方案：3＋1＝4种，需要使用“分类加法计数原理”；B中，分步计算，x有3种不同的取值，y有3种不同的取值，由分步乘法计数原理得，xy有3×3＝9种不同的值，只需要使用“分步乘法计数原理”；C中，分两类：第1类，直线a与直线b上7个点可以确定7个不同的平面；第2类，直线b与直线a上4个点可以确定4个不同的平面，故可以确定7＋4＝11个不同的平面，需要使用“分类加法计数原理”；D中，分两步进行：第一步，选一门进入有8种方法；第二步，从剩下的门中选择一门走出有7种方法，共8×7＝56种方法，只需要使用“分步乘法计数原理”．故选BD.
15．如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，共有144种不同涂色方法；若要求4种颜色都用上且任意两个相邻区域不同色，共有96种不同涂色方法．(用数字作答)
解析：(1)如题图，区域1有4种选法，区域2有3种选法，区域3有2种选法，区域4可选剩下的1种和区域1,2所选的颜色，有3种选法，区域5从区域4剩下的2种颜色中选有2种选法，共有4×3×2×3×2＝144种．
(2)区域3有4种选法，区域1有3种选法，区域2有2种选法，若区域4与区域1或2同色，则区域4有2种选法，区域5有1种选法，若区域4与区域1和2均不同色，则区域4有1种选法，区域5有2种选法，共有4×3×2×(2×1＋1×2)＝96种．
16．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b，c∈M，则：
(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数？
(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数？
解：(1)因为a不能取0，所以有5种取法，b有6种取法，c有6种取法，所以y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180个不同的二次函数．
(2)y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上时，a不能取小于等于0的数，所以有2种取法，b有6种取法，c有6种取法，所以y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72个图象开口向上的二次函数．