2025高考数学一轮复习-10.8-二项分布与正态分布-专项训练【含解析】

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1．已知随机变量X服从二项分布B(n，p)．若E(X)＝2，D(X)＝eq \f(4,3)，则p＝( )
A．eq \f(3,4) B．eq \f(2,3)
C．eq \f(1,3) D．eq \f(1,4)
2．某高三学生进行心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为eq \f(4,5)，则连续测试4次，至少有3次通过的概率为( )
A．eq \f(512,625)B．eq \f(256,625)
C．eq \f(64,625)D．eq \f(64,125)
3．为加强体育锻炼，让运动成为习惯，某校进行了一次体能测试，这次体能测试满分为100分，从高三年级抽取1 000名学生的测试结果，已知测试结果ξ服从正态分布N(70，σ2)．若ξ在(50,70)内取值的概率为0．4，则ξ在90分以上取值的概率为( )
A．0．05 B．0．1
C．0．2D．0．4
4．已知随机变量ξ，η满足ξ～B(2，p)，η＋2ξ＝1，且P(ξ≤1)＝eq \f(3,4)，则D(η)的值为( )
A．0B．1
C．2D．3
5．(多选)袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则( )
A．X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2,3)))B．P(X＝2)＝eq \f(8,81)
C．E(X)＝eq \f(8,3)D．D(X)＝eq \f(8,9)
6．(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σeq \\al(2,1))，N(μ2，σeq \\al(2,2))，其态分布密度曲线eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(正态分布密度曲线是函数fx＝\f(1,\r(2π) σ)，x∈－∞，＋∞的图象))如图所示，则下列说法正确的是( )
A．甲类水果的平均质量为0．4 kg
B．甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右
C．平均质量分布在[0．4,0．8]时甲类水果比乙类水果占比大
D．σ2＝1．99
7．已知随机变量ξ～B(6，p)，且E(ξ)＝2，则D(3ξ＋2)＝________．
8．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A＝eq \x(a1)eq \x(a2)eq \x(a3)eq \x(a4)eq \x(a5)，其中A的各位数字中，a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为eq \f(1,3)，出现1的概率为eq \f(2,3)，则启动一次出现的数字A中恰有两个0的概率为________．
9．在某市2021年6月的高中质量检测考试中，高二年级学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)．已知参加本次考试的全市高二年级学生约100 000人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第________名．
(参考数值：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0．682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0．954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0．997 3)
10．羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打用羽毛和软木刷制作而成的一种小型球类的室内运动项目．羽毛球比赛的计分规则：采用21分制，即双方分数先达21分者胜，3局2胜．每回合中，取胜的一方加1分．每局中一方先得21分且领先至少2分即算该局获胜，否则继续比赛；若双方打成29平后，一方领先1分，即算该局取胜．某次羽毛球比赛中，甲选手在每回合中得分的概率为eq \f(3,4)，乙选手在每回合中得分的概率为eq \f(1,4)．
(1)在一局比赛中，若甲、乙两名选手的得分均为18，求再经过4回合比赛甲获胜的概率；
(2)在一局比赛中，记前4回合比赛甲选手得分为X，求X的分布列及数学期望E(X)．
11．假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响．若在两次射击中至多命中一次的概率是eq \f(16,25)，则该射手每次射击的命中率为( )
A．eq \f(9,25)B．eq \f(2,5)
C．eq \f(3,5)D．eq \f(3,4)
12．如图，在网格状小地图中，一机器人从A(0,0)点出发，每秒向上或向右行走1格到相应顶点，已知向上的概率是eq \f(2,3)，向右的概率是eq \f(1,3)，则6秒后到达B(4,2)点的概率为( )
A．eq \f(16,729)B．eq \f(80,243)
C．eq \f(4,729)D．eq \f(20,243)
13．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
2025高考数学一轮复习-10.8-二项分布与正态分布-专项训练【解析版】
1．已知随机变量X服从二项分布B(n，p)．若E(X)＝2，D(X)＝eq \f(4,3)，则p＝( )
A．eq \f(3,4) B．eq \f(2,3)
C．eq \f(1,3) D．eq \f(1,4)
解析：C 由随机变量X服从二项分布B(n，p)．又E(X)＝2, D(X)＝eq \f(4,3)，所以np＝2，np(1－p)＝eq \f(4,3)，解得p＝eq \f(1,3)，故选C．
2．某高三学生进行心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为eq \f(4,5)，则连续测试4次，至少有3次通过的概率为( )
A．eq \f(512,625)B．eq \f(256,625)
C．eq \f(64,625)D．eq \f(64,125)
解析：A 4次独立重复实验，故概率为Ceq \\al(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))3·eq \f(1,5)＋Ceq \\al(4,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))4＝eq \f(512,625)．
3．为加强体育锻炼，让运动成为习惯，某校进行了一次体能测试，这次体能测试满分为100分，从高三年级抽取1 000名学生的测试结果，已知测试结果ξ服从正态分布N(70，σ2)．若ξ在(50,70)内取值的概率为0．4，则ξ在90分以上取值的概率为( )
A．0．05 B．0．1
C．0．2D．0．4
解析：B ∵ξ服从正态分布N(70，σ2)，∴正态曲线的对称轴是直线x＝70，∴ξ在(70,100)内取值的概率为0．5．∵ξ在(50,70)内取值的概率为0．4，∴ξ在(70,90)内取值的概率为0．4，则ξ在90分以上取值的概率为0．5－0．4＝0．1．故选B．
4．已知随机变量ξ，η满足ξ～B(2，p)，η＋2ξ＝1，且P(ξ≤1)＝eq \f(3,4)，则D(η)的值为( )
A．0B．1
C．2D．3
解析：C 因为随机变量ξ满足ξ～B(2，p)，P(ξ≤1)＝eq \f(3,4)，所以有P(ξ≤1)＝Ceq \\al(0,2)(1－p)2＋Ceq \\al(1,2)p(1－p)＝1－p2＝eq \f(3,4)，即p＝eq \f(1,2)．则D(ξ)＝2×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＝eq \f(1,2)，η＝1－2ξ，D(η)＝4D(ξ)＝2．故选C．
5．(多选)袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则( )
A．X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2,3)))B．P(X＝2)＝eq \f(8,81)
C．E(X)＝eq \f(8,3)D．D(X)＝eq \f(8,9)
解析：ACD 从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分，取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，所以随机变量X服从二项分布X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2,3)))，故A正确；X＝2，则其概率为P(X＝2)＝Ceq \\al(2,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＝eq \f(8,27)，故B错误；因为X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2,3)))，所以X的期望E(X)＝4×eq \f(2,3)＝eq \f(8,3)，故C正确；因为X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2,3)))，所以X的方差D(X)＝4×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(8,9)，故D正确．故选A、C、D．
6．(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σeq \\al(2,1))，N(μ2，σeq \\al(2,2))，其正态分布密度曲线eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(正态分布密度曲线是函数fx＝\f(1,\r(2π) σ)，x∈－∞，＋∞的图象))如图所示，则下列说法正确的是( )
A．甲类水果的平均质量为0．4 kg
B．甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右
C．平均质量分布在[0．4,0．8]时甲类水果比乙类水果占比大
D．σ2＝1．99
解析：ABC 由题图可知，甲类水果的平均质量为μ1＝0．4 kg，故A正确；由图可知，甲类水果的质量分布比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；由图可看出平均质量分布在[0．4,0．8]时甲类水果比乙类水果占比大，故C正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数满足eq \f(1,\r(2π)σ2)＝1．99，则σ2≠1．99，故D错误，故选A、B、C．
7．已知随机变量ξ～B(6，p)，且E(ξ)＝2，则D(3ξ＋2)＝________．
解析：因为ξ～B(6，p)，所以E(ξ)＝n·p＝6·p＝2，解得p＝eq \f(1,3)，又因为D(ξ)＝n·p·(1－p)＝2·eq \f(2,3)＝eq \f(4,3)，所以D(3ξ＋2)＝9D(ξ)＝12．
答案：12
8．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A＝eq \x(a1)eq \x(a2)eq \x(a3)eq \x(a4)eq \x(a5)，其中A的各位数字中，a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为eq \f(1,3)，出现1的概率为eq \f(2,3)，则启动一次出现的数字A中恰有两个0的概率为________．
解析：根据题意，A中恰有两个0的概率，即在a2，a3，a4，a5四个数中恰好有2个0,2个1，则A中恰有两个0的概率P＝Ceq \\al(2,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＝eq \f(8,27)．
答案：eq \f(8,27)
9．在某市2021年6月的高中质量检测考试中，高二年级学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)．已知参加本次考试的全市高二年级学生约100 000人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第________名．
(参考数值：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0．682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0．954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0．997 3)
解析：因为考试的成绩X服从正态分布N(98,100)，所以μ＝98，σ＝10，
所以，108＝μ＋σ，则P(X≥108)＝P(X≥μ＋σ)＝eq \f(1－Pμ－σ≤X≤μ＋σ,2)＝0．158 65，数学成绩为108分的学生大约排在全市第100 000×0．158 65＝15 865名．
答案：15 865
10．羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打用羽毛和软木刷制作而成的一种小型球类的室内运动项目．羽毛球比赛的计分规则：采用21分制，即双方分数先达21分者胜，3局2胜．每回合中，取胜的一方加1分．每局中一方先得21分且领先至少2分即算该局获胜，否则继续比赛；若双方打成29平后，一方领先1分，即算该局取胜．某次羽毛球比赛中，甲选手在每回合中得分的概率为eq \f(3,4)，乙选手在每回合中得分的概率为eq \f(1,4)．
(1)在一局比赛中，若甲、乙两名选手的得分均为18，求再经过4回合比赛甲获胜的概率；
(2)在一局比赛中，记前4回合比赛甲选手得分为X，求X的分布列及数学期望E(X)．
解：(1)记再经过4回合比赛，甲获胜为事件A，
可知甲在第4回合胜，前3回合胜2场，所以P(A)＝eq \f(3,4)×Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝eq \f(81,256)．
(2)易知X的取值为0,1,2,3,4，且X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(3,4)))，
P(X＝0)＝Ceq \\al(0,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))4＝eq \f(1,256)，P(X＝1)＝Ceq \\al(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))3×eq \f(3,4)＝eq \f(3,64)，P(X＝2)＝Ceq \\al(2,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2＝eq \f(27,128)，P(X＝3)＝Ceq \\al(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))3＝eq \f(27,64)，P(X＝4)＝Ceq \\al(4,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))4＝eq \f(81,256)，
所以X的分布列为
数学期望E(X)＝np＝4×eq \f(3,4)＝3．
11．假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响．若在两次射击中至多命中一次的概率是eq \f(16,25)，则该射手每次射击的命中率为( )
A．eq \f(9,25)B．eq \f(2,5)
C．eq \f(3,5)D．eq \f(3,4)
解析：C 设该射手射击命中的概率为p，两次射击命中的次数为X，则X～B(2，p)，由题可知：P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq \f(16,25)，即Ceq \\al(0,2)p0(1－p)2＋Ceq \\al(1,2)p(1－p)＝eq \f(16,25)，解得p＝eq \f(3,5)．故选C．
12．如图，在网格状小地图中，一机器人从A(0,0)点出发，每秒向上或向右行走1格到相应顶点，已知向上的概率是eq \f(2,3)，向右的概率是eq \f(1,3)，则6秒后到达B(4,2)点的概率为( )
A．eq \f(16,729)B．eq \f(80,243)
C．eq \f(4,729)D．eq \f(20,243)
解析：D 根据题意可知，机器人每秒运动一次，则6秒共运动6次，若其从A(0,0)点出发，6秒后到达B(4,2)，则需要向右走4步，向上走2步，故其6秒后到达B的概率为Ceq \\al(2,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))4＝eq \f(60,729)＝eq \f(20,243)．
13．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
解：(1)因为20件产品中恰有2件不合格品的概率为
f(p)＝Ceq \\al(2,20)p2·(1－p)18，
所以f′(p)＝Ceq \\al(2,20)[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]
＝2Ceq \\al(2,20)p(1－p)17(1－10p)．
令f′(p)＝0，得p＝0．1．
当p∈(0,0．1)时，f′(p)>0；
当p∈(0．1,1)时，f′(p)<0．
所以f(p)的最大值点为p0＝0．1．
(2)由(1)知，p＝0．1．
①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0．1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y．所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490．
②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元．由于E(X)>400，故应该对余下的产品作检验．
X
0
1
2
3
4
P
eq \f(1,256)
eq \f(3,64)
eq \f(27,128)
eq \f(27,64)
eq \f(81,256)