2025高考数学一轮复习-46.2-非线性回归模型与回归效果分析-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-46.2-非线性回归模型与回归效果分析-专项训练【含答案】，共8页。试卷主要包含了有下列数据，5B等内容，欢迎下载使用。

1.(2023无锡质检)有下列数据:
下列四个函数中,拟合效果最好的为( )

A.y=3×2x-1B.y=lg2x
C.y=3xD.y=x2
2.如图这是某地区在60天内流感的累计病例人数y(万人)与时间x(天)的散点图.下列最适宜作为此模型的回归方程的类型是( )
A.y=a+bxB.y=a+bx
C.y=a+bexD.y=a+bln x
3.用模型y=cekx拟合一组数据时,为了求出经验回归方程,设z=ln y,其变换后得到的经验回归方程为z=0.5x+2,则c=( )
A.0.5B.e0.5C.2D.e2
4.已知变量y关于x的非线性经验回归方程为y^=eb^x-0.5,其一组数据如下表所示:
若x=5,则预测y的值可能为( )
A.e5B.e112C.e7D.e152
5.(多选题)指数曲线y=aebx进行线性变换后得到的回归方程为u=1-0.6x,则函数y=x2+bx+a在下列区间上单调递增的是( )
A.(1,+∞)B.310,+∞
C.0,+∞D.(3,+∞)
6.(多选题)如图,这是一组试验数据的散点图,拟合方程为y=bx+c(x>0),令t=1x,则y关于t的回归直线过点(2,5),(12,25),则当y∈(1.01,1.02)时,x的取值可以是( )
B.50C.120D.150
7.(2023镇江月考)已知变量x,y的关系可以用模型y=c·ekx拟合,设z=ln y,其变换后得到一组数据如下表:
由上表可得经验回归方程z^=0.7x+a,则c= .
8.(2023南通质检)已知一种植物一年生长的高度y与发芽期的平均温度x的关系可以用模型y=c1ec2x(其中e为自然对数的底数)拟合,设z=ln y,其变换后得到一组数据:
由上表可得经验回归方程z^=0.2x+a,则当x=35时,估计该植物一年生长的高度y的值为 .
9.中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关,经验表明,某种绿茶用85 ℃的水泡制,再等到茶水温度降至60 ℃时饮用,可以产生最佳口感.某研究人员每隔1分钟测量一次茶水温度,得到下表所示数据.
(1)从表中所给的5个水温数据中任选2个,求其中恰有1个水温数据低于72 ℃的概率.
(2)在25 ℃室温下,设茶水温度从85 ℃开始,经过x min后的温度为y ℃,根据这些数据的散点图,可用回归方程y^=60ax+25(k∈R,0(ⅰ)根据表中数据求温度y(℃)关于时间x的回归方程;(结果精确到0.01)
(ⅱ)根据表中数据求刚泡过的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感.(结果保留整数)
参考数据:lg0.927≈-23.3,lg0.9212≈-29.8.
综 合 提升练
10.若一函数模型为y=ax2+bx+c(a≠0),则将y转化为t的经验回归方程,需做变换t=( )
A.x2B.(x+a)2
C.x+b2a2D.以上都不对
11.(2023苏州月考)某酒店推出特色茶食品“排骨茶”,为了解每壶“排骨茶”中所放茶叶克数x与食客的满意率y的关系,调查研究发现,可选择函数模型y=1100ebx+c来拟合y与x的关系,现有以下统计数据:
则可求得y关于x的非线性经验回归方程为( )
A.y=1100e0.043x+4.291
B.y=1100e0.043x-4.291
C.y=1100e-0.043x-4.291
D.y=1100e-0.043x+4.291
12.(多选题)某中学有学生近600人,要求学生在每天上午7:30之前进校,现有一个调查小组调查某天7:00~7:30进校人数的情况,得到如图和表(其中纵坐标y表示第x-1分钟至第x分钟的到校人数,1≤x≤30,x∈N*,如当x=9时,纵坐标y=4表示在7:08~7:09这一分钟内进校的人数为4).根据调查所得数据,甲同学得到的回归方程是y=3.6x-27(图中的实线表示),乙同学得到的回归方程是y=(图中的虚线表示),则下列结论正确的是( )
A.7:00~7:30内,每分钟的进校人数y与相应时间x呈正相关
B.乙同学的回归方程拟合效果更好
C.根据甲同学得到的回归方程可知该校当天7:09~7:10这一分钟内的进校人数是9
D.该校超过半数的学生都选择在规定到校时间的前5分钟内进校
13.用模型y=aekx拟合一组数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),若x1+x2+…+x10=10,y1y2·…·y10=e70,设z=ln y,得变换后的经验回归方程为z^=bx+4,则ak= .
14.某品牌手机销售商今年1,2,3月份的销售量分别是1万部、1.2万部、1.3万部,为估计以后每个月的销售量,现以这三个月的销售为依据,用一个函数模拟该品牌手机的销售量y(单位:万部)与月份x之间的关系,并从二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)或函数y=abx+c(b>0,b≠1)中选用一个效果好的函数进行模拟,若4月份的销售量为1.37万件,则5月份的销售量为 万件.
15.(2023南京质检)某公司拟对某种材料进行应用改造,产品的成本由原料成本及非原料成本组成,每件产品的非原料成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关,经统计得到如下数据:
对历史数据对比分析,考虑用函数模型①y=a+bx,②y=cedx分别对两个变量的关系进行拟合,令模型①中u=1x,模型②中w=ln y,对数据作了初步处理,已计算得到如下数据:
设u和y的样本相关系数为r1,x和w的样本相关系数为r2,经计算得出r2=-0.94,请从样本相关系数(精确到0.01)的角度判断哪个模型拟合效果更好.
(2)根据(1)的选择及表中数据,建立y关于x的非线性经验回归方程,并用其估计当每件产品的非原料成本为21元时,产量约为多少千件?
参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线v^=a^+β^u的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i=1nuivi-nu·v∑i=1nui2-nu2,α^=v−β^u,相关系数r=∑i=1nuivi-nu·v∑i=1nui2-nu2·∑i=1nvi2-nv2.
创 新 应用练
16.为了提高智慧城市水平,某市公交公司近期推出扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引了越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,x表示活动推出的天数,y表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如下表所示:
根据以上数据,绘制了散点图.
(1)根据散点图判断,在推广期内,y=a+bx与y=c·dx(c,d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由).
(2)根据(1)的判断结果及表中的数据,建立y与x的回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次.
(3)推广期结束后,车队对乘客的支付方式进行统计,结果如表:
该车队为缓解周边居民出行压力,以90万元的单价购进了一批新车,根据以往的经验可知,每辆车每个月的运营成本约为0.66万元.已知该线路公交车票价为2元,使用现金支付的乘客无优惠,使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠,扫码支付的乘客随机优惠.根据统计结果得知,使用扫码支付的乘客有16的概率享受7折优惠,有13的概率享受8折优惠,有12的概率享受9折优惠.预计该车队每辆车每个月有2万人次乘车,根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,在不考虑其他因素的条件下,按照上述收费标准,请你估计这批车辆需要几年(结果取整数年)才能盈利.
参考数据:
其中vi=lg yi,v=17∑i=17vi,
参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线v^=α^+β^u的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i=1nuivi-nu·v∑i=1nui2-nu2,α^=v−β^u.
参考答案
1.A 2.C 3.D 4.D 5.ABD 6.CD
7.e-0.9 8.e5
9.解 (1)由题意可知,低于72 ℃的数据有2个,故所求概率P=C31C21C53=610=35.
(2)(ⅰ)计算每分钟(yi-25)的值与上一分钟(yi-1-25)的值的比值,列出下表:
所以a^=14∑i=14(0.90+0.93+0.92+0.93)≈0.92,
故回归方程
为y^=60×0.92x+25.
(ⅱ)将y=60代入y^=60×0.92x+25,得60×0.92x+25=60,所以0.92x=712,两边取对数,得x=lg0.92712=lg0.927-lg0.9212,
由参考数据知lg0.927≈-23.3,
lg0.9212≈-29.8,
所以x≈6.5 min,所以刚泡过的茶水大约需要放置7 min才能达到最佳饮用口感.
10.C 11.A 12.ABD 13.3e4
15.解 (1)由题知u=1x,则y=a+bx可转化为y=a+bu,
y与u的相关系数为
r1=∑i=18uiyi-8u·y(∑i=18ui2-8u2)(∑i=18yi2-8y2)=
610.61×6 185.5≈6161.4≈0.99.
因为|r1|>|r2|,所以函数模型①拟合效果更好.
(2)因为b^=∑i=18uiyi-8u·y∑i=18ui2-8u2=183.4-8×0.34×451.53-8×0.115=610.61=100,
则a^=y−b^u=45-100×0.34=11,
所以y关于x的回归方程为y^=11+100x.
当y^=21时,y^=11+100x=21,
解得x=10,所以当每件产品的非原料成本为21元时,预计产量为10千件.
16.解 (1)由散点图的形状可得y=c·dx(c,d均为大于零的常数)适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型.
(2)因为y=c·dx,所以两边同时取常用对数可得,lg y=lg c+xlg d,
设lg y=v,则v=lg c+xlg d.
因为x=4,v=1.54,∑i=17xi=140,
所以lg d=∑i=17xivi-7xv∑i=17xi2-7x2
=50.12-7×4×1.54140-7×42=728=0.25,
把样本点的中心(4,1.54)代入v=lg c+xlg d,所以lg c=0.54,
故v=0.54+0.25x,
即lg y=0.54+0.25x,
所以y与x的回归方程为y^=100.54+0.25x.
当x=8时,y^=100.54+0.25×8=102.54=347,所以活动推出第8天,使用扫码支付的人次为3 470.
(3)记一名乘客一次乘车支付的费用为Z元,则Z的可能取值为2,1.8,1.6,1.4,
所以P(Z=2)=0.1,P(Z=1.8)=0.3×12=0.15,P(Z=1.6)=0.6+0.3×13=0.7,P(Z=1.4)=0.3×16=0.05,
所以一名乘客一次乘车的平均费用为2×0.1+1.8×0.15+1.6×0.7+1.4×0.05=1.66(元),
由题意可知,1.66×2×12n-0.66×12n-90>0,解得n>9031.92,
又n∈N*,所以n取3,估计这批车辆需要3年才能盈利.
x
1
2
3
y
3
5.99
12.01
x
1
2
3
4
y
e
e3
e4
e6
x
4
6
8
10
z
2
3
5
6
x
20
23
25
27
30
z
2
2.4
3
3
4.6
时间t/min
0
1
2
3
4
水温y/℃
85
79
75
71
68
茶叶克数x
1
2
3
4
5
ln(100y)
4.34
4.36
4.44
4.45
4.51
x
1
5
9
15
19
21
24
27
28
29
30
y
1
3
4
4
11
21
36
66
94
101
106
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
112
61
44.5
35
30.5
28
25
24
u
y
u2
∑i=18yi2
∑i=18ui2
0.34
45
0.115
22 385.5
1.53
∑i=18uiyi
(∑i=18ui2-8u2)(∑i=18yi2-8y2)
e-2
183.4
0.61×6 185.5≈61.4
0.135
x
1
2
3
4
5
6
7
y
6
11
21
34
66
101
196
支付方式
现金
乘车卡
扫码
比例
10%
60%
30%
y
v
∑i=17xiyi
∑i=17xivi
100.54
62.14
1.54
2 535
50.12
3.47
xi
0
1
2
3
4
yi-25
60
54
50
46
43
yi-25yi-1-25
0.90
0.93
0.92
0.93