2025高考数学一轮复习-第4讲-不等式的性质、基本不等式-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-第4讲-不等式的性质、基本不等式-专项训练【含解析】，共9页。试卷主要包含了 单项选择题， 多项选择题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。

一、 单项选择题
1．设a，b均为非零实数且a＜b，则下列结论中正确的是( )
A． eq \f(1,a)＞ eq \f(1,b)B．a2＜b2
C． eq \f(1,a2)＜ eq \f(1,b2)D．a3＜b3
2．已知实数a＞b＞0＞c，则下列结论一定正确的是( )
A． eq \f(a,b)＞ eq \f(a,c)B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(a)＞ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(c)
C． eq \f(1,a)＜ eq \f(1,c)D．a2＞c2
3．已知a＞0，b＞0，若直线l1：ax＋by－2＝0与直线l2：2x＋(1－a)y＋1＝0垂直，则a＋2b的最小值为( )
A．1B．3
C．8D．9
4．已知x＞0，y＞0，且 eq \f(1,x＋2)＋ eq \f(1,y)＝ eq \f(2,3)，若x＋y＞m2＋3m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－4，6)B．(－3，0)
C．(－4，1)D．(1，3)
5．(2023·深圳罗湖期末)某科技企业开发生产一种智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本ω(x)万元．其中ω(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋10x，0＜x≤40，,71x＋\f(10 000,x)－945，x＞40，))若该公司一年内生产的该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为( )
A．720万元B．800万元
C．875万元D．900万元
二、 多项选择题
6．下列结论中，正确的有( )
A．若a＞b，则 eq \f(a,c2)＞ eq \f(b,c2)
B．若ab＝4，则a2＋b2≥8
C．若a＞b，则ab＜a2
D．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c
7．(2023·曲靖一模)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列结论一定正确的有( )
A．(a＋2b)2≥8abB． eq \f(1,\r(a))＋ eq \f(1,\r(b))≥2 eq \r(ab)
C．ab有最大值4D． eq \f(1,a)＋ eq \f(4,b)有最小值9
8．设a＞0，b＞0，且a＋2b＝2，则( )
A．ab的最大值为 eq \f(1,2)
B．a＋b的最小值为1
C．a2＋b2的最小值为 eq \f(4,5)
D． eq \f(a－b＋2,ab)的最小值为 eq \f(9,2)
三、 填空题
9．已知实数a，b满足－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，则3a－5b的取值范围是___．
10．已知a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为___．
11．若a＞0，b＞0，a＋b＝9，则 eq \f(36,a)＋ eq \f(a,b)的最小值为____．
四、 解答题
12．已知a，b为正实数，且4a2＋b2＝2.
(1) 求ab的最大值，并求此时a，b的值；
(2) 求a eq \r(1＋b2)的最大值，并求此时a，b的值．
13．已知a＞1，b＞2.
(1) 若(a－1)(b－2)＝4，求 eq \f(1,a－1)＋ eq \f(1,b－2)的最小值及此时a，b的值；
(2) 若2a＋b＝6，求 eq \f(1,a－1)＋ eq \f(1,b－2)的最小值及此时a，b的值；
(3) 若 eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)＝1，求 eq \f(1,a－1)＋ eq \f(1,b－2)的最小值及此时a，b的值．
14．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)＝ eq \f(20,x＋5)(x＞0).将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y(单位：万元)．
(1) 要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；
(2) 设备占地面积x为多少时，y的值最小？
2025高考数学一轮复习-第4讲-不等式的性质、基本不等式-专项训练（解析版）
一、 单项选择题
1．设a，b均为非零实数且a＜b，则下列结论中正确的是( D )
A． eq \f(1,a)＞ eq \f(1,b)B．a2＜b2
C． eq \f(1,a2)＜ eq \f(1,b2)D．a3＜b3
【解析】对于A，取a＝－1，b＝1，则 eq \f(1,a)＜ eq \f(1,b)，A错误；对于B，取a＝－1，b＝1，则a2＝b2，B错误；对于C，取a＝－1，b＝1，则 eq \f(1,a2)＝ eq \f(1,b2)，C错误；对于D，由a＜b，可得b3－a3＝(b－a)·(b2＋ab＋a2)＝(b－a) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,2)a))\s\up12(2)＋\f(3,4)a2))＞0，所以a3＜b3，D正确．
2．已知实数a＞b＞0＞c，则下列结论一定正确的是( A )
A． eq \f(a,b)＞ eq \f(a,c)B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(a)＞ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(c)
C． eq \f(1,a)＜ eq \f(1,c)D．a2＞c2
【解析】对于A，因为a＞b＞0＞c，所以 eq \f(a,b)＞0＞ eq \f(a,c)，故A正确；对于B，因为函数y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)在R上单调递减，且a＞c，所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(a)＜ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(c)，故B错误；对于C，因为a＞0＞c，则 eq \f(1,a)＞0＞ eq \f(1,c)，故C错误；对于D，若a＝1，c＝－2，满足a＞0＞c，但a2＜c2，故D错误．
3．已知a＞0，b＞0，若直线l1：ax＋by－2＝0与直线l2：2x＋(1－a)y＋1＝0垂直，则a＋2b的最小值为( D )
A．1B．3
C．8D．9
【解析】由题可知两条直线的斜率一定存在，因为两直线垂直，所以斜率乘积为－1，即－ eq \f(a,b)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,1－a)))＝－1，即2a＋b＝ab，整理得 eq \f(2,b)＋ eq \f(1,a)＝1，所以a＋2b＝(a＋2b)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,b)＋\f(1,a)))＝ eq \f(2a,b)＋1＋4＋ eq \f(2b,a)≥5＋2 eq \r(\f(2a,b)·\f(2b,a))＝9，当且仅当a＝b＝3时等号成立．因此a＋2b的最小值为9.
4．已知x＞0，y＞0，且 eq \f(1,x＋2)＋ eq \f(1,y)＝ eq \f(2,3)，若x＋y＞m2＋3m恒成立，则实数m的取值范围是( C )
A．(－4，6)B．(－3，0)
C．(－4，1)D．(1，3)
【解析】因为x＞0，y＞0，且 eq \f(1,x＋2)＋ eq \f(1,y)＝ eq \f(2,3)，所以x＋2＋y＝ eq \f(3,2)(x＋2＋y) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x＋2)＋\f(1,y)))＝ eq \f(3,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(y,x＋2)＋\f(x＋2,y)＋1))≥ eq \f(3,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋2\r(\f(y,x＋2)·\f(x＋2,y))))＝6，当且仅当 eq \f(y,x＋2)＝ eq \f(x＋2,y)，即y＝3，x＝1时取等号，所以x＋y≥4.因为x＋y＞m2＋3m恒成立，所以m2＋3m＜4，即(m－1)(m＋4)＜0，解得－4＜m＜1.所以实数m的取值范围是(－4，1).
5．(2023·深圳罗湖期末)某科技企业开发生产一种智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本ω(x)万元．其中ω(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋10x，0＜x≤40，,71x＋\f(10 000,x)－945，x＞40，))若该公司一年内生产的该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为( C )
A．720万元B．800万元
C．875万元D．900万元
【解析】该企业每年利润为f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(70x－(x2＋10x＋25)，0＜x≤40，,70x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(71x＋\f(10 000,x)－945＋25))，x＞40，))当0＜x≤40时，f(x)＝－x2＋60x－25＝－(x－30)2＋875，当x＝30时，f(x)取得最大值875；当x＞40时，f(x)＝920－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(10 000,x)))≤920－2 eq \r(x·\f(10 000,x))＝720，当且仅当x＝100时等号成立，即在x＝100时，f(x)取得最大值720.由875＞720，可得该企业每年利润的最大值为875万元．
二、 多项选择题
6．下列结论中，正确的有( BD )
A．若a＞b，则 eq \f(a,c2)＞ eq \f(b,c2)
B．若ab＝4，则a2＋b2≥8
C．若a＞b，则ab＜a2
D．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c
【解析】对于A，若c＝0，则 eq \f(a,c2)， eq \f(b,c2)无意义，故A错误；对于B，若ab＝4，则a2＋b2≥2ab＝8，当且仅当a＝b＝±2时等号成立，故B正确；对于C，由于不确定a的符号，故无法判断，例如a＝0，b＝－1，则ab＝a2＝0，故C错误；对于D，若a＞b，c＞d，则－d＞－c，所以a－d＞b－c，故D正确．
7．(2023·曲靖一模)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列结论一定正确的有( AC )
A．(a＋2b)2≥8abB． eq \f(1,\r(a))＋ eq \f(1,\r(b))≥2 eq \r(ab)
C．ab有最大值4D． eq \f(1,a)＋ eq \f(4,b)有最小值9
【解析】对于A，(a＋2b)2＝a2＋4b2＋4ab≥2·a·2b＋4ab＝8ab，故A正确；对于B，找反例，当a＝b＝2时， eq \f(1,\r(a))＋ eq \f(1,\r(b))＝ eq \r(2)，2 eq \r(ab)＝4， eq \f(1,\r(a))＋ eq \f(1,\r(b))＜2 eq \r(ab)，故B错误；对于C，因为a＋b＝4≥2 eq \r(ab)，所以ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故C正确；对于D， eq \f(1,a)＋ eq \f(4,b)＝ eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(4,b)))(a＋b)＝ eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋4＋\f(b,a)＋\f(4a,b)))≥ eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋2\r(\f(b,a)·\f(4a,b))))＝ eq \f(9,4)，当且仅当a＝ eq \f(4,3)，b＝ eq \f(8,3)时取等号，故D错误．
8．设a＞0，b＞0，且a＋2b＝2，则( ACD )
A．ab的最大值为 eq \f(1,2)
B．a＋b的最小值为1
C．a2＋b2的最小值为 eq \f(4,5)
D． eq \f(a－b＋2,ab)的最小值为 eq \f(9,2)
【解析】对于A，a＞0，b＞0，2 eq \r(2ab)≤a＋2b＝2⇒ab≤ eq \f(1,2)，当且仅当a＝1，b＝ eq \f(1,2)时取等号，故A正确；对于B，a＋b＝2－b，a＝2－2b.因为a＞0，b＞0，所以0＜b＜1，1＜a＋b＜2，故B错误；对于C，a2＋b2＝(2－2b)2＋b2＝5b2－8b＋4＝5 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(4,5))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(4,5)≥ eq \f(4,5)，当且仅当a＝ eq \f(2,5)，b＝ eq \f(4,5)时取等号，故C正确；对于D， eq \f(a－b＋2,ab)＝ eq \f(a－b＋a＋2b,ab)＝ eq \f(2a＋b,ab)＝ eq \f(2,b)＋ eq \f(1,a)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b)))·(a＋2b)· eq \f(1,2)＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(2b,a)＋\f(2a,b)))≥ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋2\r(\f(2b,a)·\f(2a,b))))＝ eq \f(9,2)，当且仅当 eq \f(2b,a)＝ eq \f(2a,b)，即a＝b＝ eq \f(2,3)时取等号，故D正确．
三、 填空题
9．已知实数a，b满足－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，则3a－5b的取值范围是__[6，19]__．
【解析】因为3a－5b＝－(a＋b)＋4(a－b)，由－3≤a＋b≤－2，得2≤－(a＋b)≤3，由1≤a－b≤4，得4≤4(a－b)≤16，所以6≤3a－5b≤19，即3a－5b的取值范围是[6，19].
10．已知a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为__6__．
【解析】因为ab＝a＋b＋3≤ eq \f(1,4)(a＋b)2，所以(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，即(a＋b－6)(a＋b＋2)≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2.因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥6(当且仅当a＝b＝3时取等号).
11．若a＞0，b＞0，a＋b＝9，则 eq \f(36,a)＋ eq \f(a,b)的最小值为__8__．
【解析】 eq \f(36,a)＋ eq \f(a,b)＝ eq \f(4(a＋b),a)＋ eq \f(a,b)＝4＋ eq \f(4b,a)＋ eq \f(a,b)≥4＋2 eq \r(\f(4b,a)·\f(a,b))＝8，当且仅当a＝6，b＝3时取等号，故 eq \f(36,a)＋ eq \f(a,b)的最小值为8.
四、 解答题
12．已知a，b为正实数，且4a2＋b2＝2.
(1) 求ab的最大值，并求此时a，b的值；
【解答】由不等式4a2＋b2≥4ab，解得ab≤ eq \f(1,2)，当且仅当2a＝b＝1时取等号，所以ab的最大值为 eq \f(1,2)，此时a＝ eq \f(1,2)，b＝1.
(2) 求a eq \r(1＋b2)的最大值，并求此时a，b的值．
【解答】 由4a2＋b2＝2，得4a2＋(1＋b2)＝3.由4a2＋(1＋b2)≥2 eq \r(4a2·(1＋b2))＝4a eq \r(1＋b2)，得a eq \r(1＋b2)≤ eq \f(3,4)，当且仅当4a2＝1＋b2，即a＝ eq \f(\r(6),4)，b＝ eq \f(\r(2),2)时取等号，所以a eq \r(1＋b2)的最大值为 eq \f(3,4)，此时a＝ eq \f(\r(6),4)，b＝ eq \f(\r(2),2).
13．已知a＞1，b＞2.
(1) 若(a－1)(b－2)＝4，求 eq \f(1,a－1)＋ eq \f(1,b－2)的最小值及此时a，b的值；
【解答】因为a＞1，b＞2，所以a－1＞0，b－2＞0，所以 eq \f(1,a－1)＋ eq \f(1,b－2)＝ eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a－1)＋\f(1,b－2)))(a－1)(b－2)＝ eq \f(1,4)[(b－2)＋(a－1)]≥ eq \f(1,4)×2 eq \r((b－2)(a－1))＝1，当且仅当 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b－2＝a－1，,(a－1)(b－2)＝4，))即a＝3，b＝4时等号成立，所以 eq \f(1,a－1)＋ eq \f(1,b－2)的最小值为1，此时a＝3，b＝4.
(2) 若2a＋b＝6，求 eq \f(1,a－1)＋ eq \f(1,b－2)的最小值及此时a，b的值；
【解答】 由2a＋b＝6，得2(a－1)＋(b－2)＝2，所以(a－1)＋ eq \f(b－2,2)＝1，所以 eq \f(1,a－1)＋ eq \f(1,b－2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a－1)＋\f(1,b－2)))× eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1((a－1)＋\f(b－2,2)))＝ eq \f(3,2)＋ eq \f(a－1,b－2)＋ eq \f(b－2,2(a－1))≥ eq \f(3＋2\r(2),2)，当且仅当 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b－2＝\r(2)(a－1)，,2(a－1)＋(b－2)＝2，))即a＝3－ eq \r(2)，b＝2 eq \r(2)时等号成立，所以 eq \f(1,a－1)＋ eq \f(1,b－2)的最小值为 eq \f(3＋2\r(2),2)，此时a＝3－ eq \r(2)，b＝2 eq \r(2).
(3) 若 eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)＝1，求 eq \f(1,a－1)＋ eq \f(1,b－2)的最小值及此时a，b的值．
【解答】 因为b＞2，由 eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)＝1，可得a＝ eq \f(b,b－1)，所以a－1＝ eq \f(1,b－1)，所以 eq \f(1,a－1)＋ eq \f(1,b－2)＝b－2＋ eq \f(1,b－2)＋1≥3，当且仅当a＝ eq \f(3,2)，b＝3时等号成立，所以 eq \f(1,a－1)＋ eq \f(1,b－2)的最小值为3，此时a＝ eq \f(3,2)，b＝3.
14．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)＝ eq \f(20,x＋5)(x＞0).将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y(单位：万元)．
(1) 要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；
【解答】由题意得y＝0.2x＋ eq \f(80,x＋5)(x＞0).由y≤7.2，得0.2x＋ eq \f(80,x＋5)≤7.2，整理得x2－31x－220≤0，解得11≤x≤20，即设备占地面积x的取值范围为[11，20].
(2) 设备占地面积x为多少时，y的值最小？
【解答】y＝0.2x＋ eq \f(80,x＋5)＝ eq \f(x＋5,5)＋ eq \f(80,x＋5)－1≥2 eq \r(\f(x＋5,5)×\f(80,x＋5))－1＝7，当且仅当 eq \f(x＋5,5)＝ eq \f(80,x＋5)，即x＝15时等号成立. 所以设备占地面积为15平方米时，y的值最