2025高考数学一轮复习-第38讲-直线的方程及位置关系-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-第38讲-直线的方程及位置关系-专项训练【含答案】，共5页。试卷主要包含了直线x+3y-2=0的倾斜角为，M是直线l，直线l，对于直线l等内容，欢迎下载使用。

基 础 巩固练
1.直线x+3y-2=0的倾斜角为( )

A.π6B.π4
C.π3D.5π6
2.已知经过P(a,2),Q(-2,1)两点的直线的斜率为1,则a=( )
A.-3B.3
C.1D.-1
3.M是直线l:2x-y-4=0与x轴的交点,将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°,得到的直线方程是( )
A.x+y-3=0B.x-3y-2=0
C.3x-y+6=0D.3x+y-6=0
4.直线l:kx-y+1-2k=0过的定点是( )
A.(2,-1)B.(1,-2)
C.(2,1)D.(-1,-2)
5.(多选题)如图所示,下列四条直线l1,l2,l3,l4的斜率分别是k1,k2,k3,k4,倾斜角分别是α1,α2,α3,α4,则下列关系正确的是( )
A.k2B.k3C.α2<α1<α4<α3
D.α3<α2<α1<α4
6.(多选题)对于直线l:x=my+1,下列说法错误的是( )
A.直线l过定点(1,0)
B.直线l的斜率必定存在
C.当m=2时,直线l与两坐标轴所围成三角形的面积为14
D.当m=3时,直线l的倾斜角为60°
7.已知直线l的斜率为16,且和坐标轴围成面积为3的三角形,则直线l的方程为 .
8.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围为.
9.已知一条动直线3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0.
(1)证明直线过定点,并求出定点P的坐标;
(2)若直线不经过第二象限,求m的取值范围;
(3)若直线与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,△AOB的面积为6,求直线的方程.
综 合 提升练
10.直线x·sin α+y+2=0的倾斜角的取值范围是( )
A.[0,π)B.0,π4∪3π4,π
C.0,π4D.0,π4∪π2,π
11.如果AB>0且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不经过的象限为( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
12.(2023连云港期中)直线2x+3y-6=0分别交x轴和y轴于A,B两点,P是直线y=-x上的一点,要使|PA|+|PB|的值最小,则点P的坐标是( )
A.(-1,1)B.(1,-1)
C.(0,0)D.12,-12
13.若正方形一条对角线所在直线的斜率为3,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为 , .
14.已知直线l过点M(2,1),且与x轴,y轴的正半轴分别相交于A,B两点.求:
(1)当|MA|·|MB|取最小值时,直线l的方程;
(2)当|MA|2+|MB|2取得最小值时,直线l的方程.
创 新 应用练
15.为了绿化城市,准备在如图1所示的区域ABCDE内修建一个矩形PQRD的草坪,其中∠AED=∠EDC=∠DCB=90°,点Q在AB上,且PQ∥CD,QR⊥CD.经测量,BC=70 m,CD=80 m,DE=100 m,AE=60 m.
(1)如图2,建立平面直角坐标系,求线段AB所在直线的方程;
(2)在(1)的基础上,应如何设计才能使草坪的占地面积最大?确定此时点Q的坐标并求出此最大面积(精确到1 m2).
图1
图2
参考答案
1.D 2.D 3.D 4.C 5.BC 6.BD
7.x-6y+6=0或x-6y-6=0
8.(-∞,-1)∪12,+∞
9.解 (1)整理直线方程得(3x+y-6)m+3x-y-2=0.
由3x+y-6=0,3x-y-2=0,解得x=43,y=2,
故直线过定点P43,2.
(2)由(1)知,直线过定点P43,2,
当直线与y轴没有交点时,m-1=0,即m=1,此时直线方程为x=43,符合题意.
当直线与y轴有交点时,m≠1,
求出直线的纵截距,其小于或等于零即可满足题意.
令x=0,则(m-1)y-6m-2=0,y=6m+2m-1.
若直线不经过第二象限,则6m+2m-1≤0,解得-13≤m<1.
所以m的取值范围为-13,1.
(3)设直线方程为xa+yb=1(a>0,b>0),则ab=12,①
由题意得,43a+2b=1,②
由①②整理得a2-6a+8=0,
解得a=4或a=2,则b=3或b=6,
当a=2,b=6时,直线方程为3x+y-6=0,
即有3(m+1)m-1=3,且-6m+2m-1=-6,解得m∈⌀,
∴所求直线的方程为x4+y3=1,即3x+4y-12=0.
10.B 11.C 12.C
13.12,-2
14.解 (1)方法一:如图,设∠BAO=θ,则sin θ=1|MA|,cs θ=2|MB|,∴|MA|·|MB|=2sinθcsθ=4sin2θ,显然当θ=π4时,|MA|·|MB|取得最小值4,此时kl=-1,故所求直线的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.
方法二:设A(a,0),B(0,b),则|MA|·|MB|=-MA·MB=-(a-2,-1)·(-2,b-1)=2a+b-5=(2a+b)2a+1b-5=2ba+2ab≥4,当且仅当a=b=3时取等号,∴|MA|·|MB|的最小值为4,此时直线l的方程为x+y-3=0.
方法三:若设直线l的方程为y-1=k(x-2),则A2k-1k,0,B(0,1-2k),∴|MA|·|MB|=1k2+1·4+4k2=2-1k+(-k)≥4,当且仅当-k=-1k,即k=-1时取等号.故|MA|·|MB|的最小值为4,此时直线l的方程为x+y-3=0.
(2)同(1)中方法一可知|MA|=1sinθ,|MB|=2csθ,
∴|MA|2+|MB|2=1sin2θ+4cs2θ
=(sin2θ+cs2θ)1sin2θ+4cs2θ
=5+cs2θsin2θ+4sin2θcs2θ≥9当且仅当cs2θ=2sin2θ,即tan θ=22时取等号.
∴|MA|2+|MB|2的最小值为9,
此时直线的斜率k=-22,
故所求直线的方程为y-1=-22·(x-2),即2x+2y-2(2+1)=0.
注:本题也可设直线方程为y-1=k(x-2)(k<0)求解.
15.解 (1)由题意得AO=80-60=20,OB=100-70=30,
∴A(0,20),B(30,0),
∴线段AB所在直线的方程为x30+y20=1.
(2)设Q(x,y),由(1)知线段AB的方程为x30+y20=1(0≤x≤30),
∵RQ=100-x,PQ=80-y,y=201-x30=20-23x,
∴草坪的占地面积为S矩形PQRD=RQ·PQ=(100-x)(80-y)
=(100-x)80-20+23x
=(100-x)60+23x
=-23x2+203x+6 000
=-23(x-5)2+18 0503(0≤x≤30),
∴当x=5,y=503时,草坪的占地面积最大,最大面积约为6 017 m2,此时Q5,503.