2025高考数学一轮复习-第42讲-双曲线-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-第42讲-双曲线-专项训练【含解析】，共10页。试卷主要包含了设双曲线C，已知点O，A，B，设F1，F2分别是双曲线C，已知双曲线C，已知椭圆C1，故选A等内容，欢迎下载使用。

1．“方程eq \f(x2,m－1)－eq \f(y2,m＋2)＝1表示双曲线”的一个必要不充分条件为( )
A．m∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．m∈(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．m∈(－∞，－2)
D．m∈(1，＋∞)
2．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为eq \r(3)x±y＝0，则该双曲线实轴长为( )
A．2 B．1
C．eq \r(3)D．2eq \r(3)
3．设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,24a2)＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为C右支上的一点，且PF1⊥PF2，则tan ∠PF2F1＝( )
A．eq \f(4,3)B．eq \f(7,4)
C．2D．eq \f(12,5)
4．已知点O(0,0)，A(－2,0)，B(2,0)．设点P满足|PA|－|PB|＝2，且P为函数y＝3eq \r(4－x2)图象上的点，则|OP|＝( )
A．eq \f(\r(22),2)B．eq \f(4\r(10),5)
C．eq \r(7)D．eq \r(10)
5．(多选)设F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,m＋n)－eq \f(y2,m－n)＝1的左、右焦点，且|F1F2|＝4，则下列结论正确的有( )
A．m＝2
B．当n＝0时，C的离心率是2
C．F1到渐近线的距离随着n的增大而减小
D．当n＝1时，C的实轴长是虚轴长的两倍
6．(多选)设F1，F2分别是双曲线C：x2－eq \f(y2,b)＝1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，若△ABF1为正三角形，则( )
A．b＝2B．C的焦距为2eq \r(5)
C．C的离心率为eq \r(3)D．△ABF1的面积为4eq \r(3)
7．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C右支上一点，|PF|－|PO|＝2a，则双曲线C的离心率的取值范围是________．
8．已知点A在双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上，点O是坐标原点，直线OA的斜率为eq \f(\r(3),3)，若线段OA的垂直平分线经过双曲线的顶点，则双曲线的渐近线方程为________．
9．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为(eq \r(5)，0)，一条渐近线方程为2x－y＝0．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知倾斜角为eq \f(3π,4)的直线l与双曲线C交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为4，求直线l的方程．
10．(多选)已知椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且eq \(MF1,\s\up7(―→))·eq \(MF2,\s\up7(―→))＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点．若∠F1PF2＝eq \f(π,3)，则下列各项正确的是( )
A．eq \f(e2,e1)＝2B．e1e2＝eq \f(\r(3),2)
C．eeq \\al(2,1)＋eeq \\al(2,2)＝eq \f(5,2)D．eeq \\al(2,2)－eeq \\al(2,1)＝1
11．已知双曲线C：eq \f(x2,k)－eq \f(y2,5)＝1(k＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且双曲线C的焦距为10，则k＝________；若点P在双曲线C上，且cs∠F1PF2＝eq \f(2,3)，则△F1PF2的面积为________．
12．试写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为y＝±2x的双曲线方程____________．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx交双曲线C于M，N两点．
(1)若M(2,3)，四边形MF1NF2的面积为12，求双曲线C的方程；
(2)若eq \f(\r(3),3)≤k≤eq \r(3)，且四边形MF1NF2是矩形，求双曲线C的离心率e的取值范围．
14．已知F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A．(1,2) B．(1,3)
C．(3，＋∞) D．(2,3)
15．在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－eq \r(17)，0)，F2(eq \r(17)，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2．记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线x＝eq \f(1,2)上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
2025高考数学一轮复习-第42讲-双曲线-专项训练【解析版】
1．“方程eq \f(x2,m－1)－eq \f(y2,m＋2)＝1表示双曲线”的一个必要不充分条件为( )
A．m∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．m∈(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．m∈(－∞，－2)
D．m∈(1，＋∞)
解析：A 由方程eq \f(x2,m－1)－eq \f(y2,m＋2)＝1表示双曲线，知(m－1)·(m＋2)＞0，∴m∈(－∞，－2)∪(1，＋∞)，故它的一个必要不充分条件为m∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故选A．
2．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为eq \r(3)x±y＝0，则该双曲线实轴长为( )
A．2 B．1
C．eq \r(3)D．2eq \r(3)
解析：A 由题意知，渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，则eq \f(b,a)＝eq \r(3)，又焦点为F(2,0)，即c＝2，所以c2＝a2＋b2＝4a2＝4，则a2＝1，即a＝1或－1(舍去)，所以实轴长为2a＝2，故选A．
3．设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,24a2)＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为C右支上的一点，且PF1⊥PF2，则tan ∠PF2F1＝( )
A．eq \f(4,3)B．eq \f(7,4)
C．2D．eq \f(12,5)
解析：A 易知c2＝25a2，则c＝5a，|F1F2|＝2c＝10a．因为P为C右支上的一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a．因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，则(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝100a2，解得|PF2|＝6a(负值舍去)，所以|PF1|＝8a，故tan∠PF2F1＝eq \f(|PF1|,|PF2|)＝eq \f(4,3)．故选A．
4．已知点O(0,0)，A(－2,0)，B(2,0)．设点P满足|PA|－|PB|＝2，且P为函数y＝3eq \r(4－x2)图象上的点，则|OP|＝( )
A．eq \f(\r(22),2)B．eq \f(4\r(10),5)
C．eq \r(7)D．eq \r(10)
解析：D 由|PA|－|PB|＝2<|AB|＝4，知点P的轨迹是双曲线的右支，点P的轨迹方程为x2－eq \f(y2,3)＝1(x≥1)，又y＝3eq \r(4－x2)，所以x2＝eq \f(13,4)，y2＝eq \f(27,4)，所以|OP|＝eq \r(x2＋y2)＝ eq \r(\f(13,4)＋\f(27,4))＝eq \r(10)，故选D．
5．(多选)设F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,m＋n)－eq \f(y2,m－n)＝1的左、右焦点，且|F1F2|＝4，则下列结论正确的有( )
A．m＝2
B．当n＝0时，C的离心率是2
C．F1到渐近线的距离随着n的增大而减小
D．当n＝1时，C的实轴长是虚轴长的两倍
解析：AC 对于选项A：由双曲线的方程可得a2＝m＋n，b2＝m－n，所以c2＝a2＋b2＝m＋n＋m－n＝2m，因为2c＝4，所以c＝2，所以c2＝2m＝4，可得m＝2，故选项A正确；对于选项B：当n＝0时，双曲线C：eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1，此时a2＝b2＝2，c2＝4，所以离心率e＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(2)，故选项B不正确；对于选项C：双曲线C：eq \f(x2,m＋n)－eq \f(y2,m－n)＝1中，由选项A知：m＝2，a2＝2＋n，b2＝2－n，双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，不妨取焦点F1(－2,0)，则F1到渐近线的距离d＝eq \f(|－2b|,\r(4))＝b＝eq \r(2－n)，所以F1到渐近线的距离随着n的增大而减小，故选项C正确；对于选项D：当n＝1时，a＝eq \r(2＋1)＝eq \r(3)，b＝eq \r(2－1)＝1，所以实轴长为2eq \r(3)，虚轴长为2，不满足C的实轴长是虚轴长的两倍，故选项D不正确．故选A、C．
6．(多选)设F1，F2分别是双曲线C：x2－eq \f(y2,b)＝1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，若△ABF1为正三角形，则( )
A．b＝2B．C的焦距为2eq \r(5)
C．C的离心率为eq \r(3)D．△ABF1的面积为4eq \r(3)
解析：ACD 设|AF2|＝t，则|AF1|＝2t，|F1F2|＝eq \r(3)t，离心率e＝eq \f(|F1F2|,|AF1|－|AF2|)＝eq \r(3)，选项C正确．因此 eq \r(1＋\f(b,1))＝eq \r(3)，b＝2，选项A正确．|F1F2|＝2eq \r(1＋b)＝2eq \r(3)，选项B错误．△ABF1的面积为eq \f(1,2)|F1F2|eq \f(2b,1)＝4eq \r(3)，选项D正确．故选A、C、D．
7．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C右支上一点，|PF|－|PO|＝2a，则双曲线C的离心率的取值范围是________．
解析：设双曲线C的右焦点为F1，由双曲线的定义可知|PF|－|PF1|＝2a，又|PF|－|PO|＝2a，所以|PO|＝|PF1|，即点P在OF1的垂直平分线上，所以P点的横坐标为eq \f(c,2)，因为点P在双曲线上，显然有eq \f(c,2)≥a，即e＝eq \f(c,a)≥2，所以离心率e的取值范围是[2，＋∞)．
答案：[2，＋∞)
8．已知点A在双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上，点O是坐标原点，直线OA的斜率为eq \f(\r(3),3)，若线段OA的垂直平分线经过双曲线的顶点，则双曲线的渐近线方程为________．
解析：不妨设点A在第一象限，此时线段OA的垂直平分线经过双曲线的右顶点B(a,0)，如图所示，连接AB，则|AB|＝|OB|＝a，根据直线OA的斜率为eq \f(\r(3),3)，可得直线OA的倾斜角为30°，所以直线AB的倾斜角为60°，所以点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)a，\f(\r(3),2)a))，又由点A在双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1上，可得eq \f(9,4)－eq \f(3a2,4b2)＝1，可得3a2＝5b2，即eq \f(b,a)＝eq \f(\r(15),5)，故双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(15),5)x．
答案：y＝±eq \f(\r(15),5)x
9．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为(eq \r(5)，0)，一条渐近线方程为2x－y＝0．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知倾斜角为eq \f(3π,4)的直线l与双曲线C交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为4，求直线l的方程．
解：(1)由焦点可知c＝eq \r(5)，
又一条渐近线方程为2x－y＝0，所以eq \f(b,a)＝2，
由c2＝a2＋b2可得5＝a2＋4a2，解得a2＝1，b2＝4，
故双曲线C的标准方程为x2－eq \f(y2,4)＝1．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点的坐标为(x0,4)，
则xeq \\al(2,1)－eq \f(y\\al(2,1),4)＝1，①
xeq \\al(2,2)－eq \f(y\\al(2,2),4)＝1，②
②－①得xeq \\al(2,2)－xeq \\al(2,1)＝eq \f(y\\al(2,2),4)－eq \f(y\\al(2,1),4)，
即k＝eq \f(4x0,y0)＝eq \f(4x0,4)＝x0，又k＝taneq \f(3π,4)＝－1，所以x0＝－1，所以直线l的方程为y－4＝－(x＋1)，即x＋y－3＝0．
10．(多选)已知椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且eq \(MF1,\s\up7(―→))·eq \(MF2,\s\up7(―→))＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点．若∠F1PF2＝eq \f(π,3)，则下列各项正确的是( )
A．eq \f(e2,e1)＝2B．e1e2＝eq \f(\r(3),2)
C．eeq \\al(2,1)＋eeq \\al(2,2)＝eq \f(5,2)D．eeq \\al(2,2)－eeq \\al(2,1)＝1
解析：BD 因为eq \(MF1,\s\up7(―→))·eq \(MF2,\s\up7(―→))＝0且|eq \(MF1,\s\up7(―→))|＝|eq \(MF2,\s\up7(―→))|，所以△MF1F2为等腰直角三角形．设椭圆的半焦距为c，则c＝b＝eq \f(\r(2),2)a，所以e1＝eq \f(\r(2),2)．在三角形PF1F2中，∠F1PF2＝eq \f(π,3)，设PF1＝x，PF2＝y，双曲线C2的实半轴长为a′，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－xy＝4c2，,x＋y＝2\r(2)c，,|x－y|＝2a′，))故xy＝eq \f(4,3)c2，故(x－y)2＝x2＋y2－xy－xy＝eq \f(8c2,3)，所以(a′)2＝eq \f(2c2,3)，即e2＝eq \f(\r(6),2)，故eq \f(e2,e1)＝eq \r(3)，e1e2＝eq \f(\r(3),2)，eeq \\al(2,1)＋eeq \\al(2,2)＝2，eeq \\al(2,2)－eeq \\al(2,1)＝1，故选B、D．
11．已知双曲线C：eq \f(x2,k)－eq \f(y2,5)＝1(k＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且双曲线C的焦距为10，则k＝________；若点P在双曲线C上，且cs∠F1PF2＝eq \f(2,3)，则△F1PF2的面积为________．
解析：由题意，知2c＝10，所以c＝5，所以k＋5＝25，所以k＝20．设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|m－n|＝4eq \r(5) ①．在△F1PF2中，由余弦定理，知m2＋n2－2mncs∠F1PF2＝100 ②．由①②及cs∠F1PF2＝eq \f(2,3)得mn＝30．又sin∠F1PF2＝eq \r(1－cs2∠F1PF2)＝eq \f(\r(5),3)，所以Seq \a\vs4\al(△F1PF2)＝eq \f(1,2)mnsin∠F1PF2＝5eq \r(5)．
答案：20 5eq \r(5)
12．试写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为y＝±2x的双曲线方程____________．
解析：∵渐近线方程为2x±y＝0，设双曲线方程为4x2－y2＝λ，λ≠0，∴双曲线的方程为x2－eq \f(y2,4)＝1(或其他以y＝±2x为渐近线的双曲线方程)．
答案：x2－eq \f(y2,4)＝1(或其他以y＝±2x为渐近线的双曲线方程)
13．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx交双曲线C于M，N两点．
(1)若M(2,3)，四边形MF1NF2的面积为12，求双曲线C的方程；
(2)若eq \f(\r(3),3)≤k≤eq \r(3)，且四边形MF1NF2是矩形，求双曲线C的离心率e的取值范围．
解：(1)因为直线y＝kx交双曲线C于M，N两点，
所以M，N两点关于原点对称，从而四边形MF1NF2是平行四边形，
设双曲线C的焦距为2c，则四边形MF1NF2的面积S＝2×eq \f(1,2)×2c×3＝12，解得c＝2，
从而F1(－2,0)，F2(2,0)，所以|MF2|＝eq \r(2－22＋3－02)＝3，|MF1|＝eq \r(2＋22＋3－02)＝5，
于是2a＝|MF1|－|MF2|＝2，解得a＝1，所以b＝eq \r(3)，
所以双曲线C的方程为x2－eq \f(y2,3)＝1．
(2)设M(x1，y1)，则N(－x1，－y1)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1，,y＝kx，))得eq \f(x2,a2)－eq \f(k2,b2)x2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)－\f(k2,b2)))x2＝1．
因为eq \(MF2,\s\up7(―→))·eq \(F1N,\s\up7(―→))＝(x1＋c，kx1)·(－x1＋c，－kx1)＝c2－(k2＋1)xeq \\al(2,1)＝0，
所以c2－(k2＋1)eq \f(1,\f(1,a2)－\f(k2,b2))＝0，化简得k2＝eq \f(b4,a2b2＋c2)．
因为eq \f(1,3)≤k2≤3，所以eq \f(1,3)≤eq \f(b4,a2b2＋c2)≤3．
由eq \f(b4,a2b2＋c2)≤3得e4－8e2＋4≤0，解得1＜e≤eq \r(3)＋1；
由eq \f(1,3)≤eq \f(b4,a2b2＋c2)得3e4－8e2＋4≥0，解得e≥eq \r(2)．
因此，e的取值范围为[eq \r(2)，eq \r(3)＋1]．
14．已知F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A．(1,2) B．(1,3)
C．(3，＋∞) D．(2,3)
解析：A 在△PF1F2中，sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，由正弦定理得，|PF1|＝3|PF2|，又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a，所以
|PF1|＝3a，|PF2|＝a，在△PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，得3a＋a＞2c，即2a＞c，所以e＝eq \f(c,a)＜2，又e＞1，所以1＜e＜2，故选A．
15．在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－eq \r(17)，0)，F2(eq \r(17)，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2．记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线x＝eq \f(1,2)上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
解：(1)因为|MF1|－|MF2|＝2＜|F1F2|＝2eq \r(17)，
所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支．
设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，半焦距为c，则2a＝2，c＝eq \r(17)，得a＝1，b2＝c2－a2＝16，
所以点M的轨迹C的方程为x2－eq \f(y2,16)＝1(x≥1)．
(2)设Teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，t))，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为0，设直线AB的方程为y－t＝k1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))(k1≠0)，直线PQ的方程为y－t＝k2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))(k2≠0)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－t＝k1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，,x2－\f(y2,16)＝1，))得(16－keq \\al(2,1))x2－2k1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(k1,2)))x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(k1,2)))2－16＝0．
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，易知16－keq \\al(2,1)≠0，
则xAxB＝eq \f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(k1,2)))2－16,16－k\\al(2,1))，xA＋xB＝eq \f(2k1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(k1,2))),16－k\\al(2,1))，
所以|TA|＝eq \r(1＋k\\al(2,1))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(xA－\f(1,2)))＝eq \r(1＋k\\al(2,1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xA－\f(1,2)))，
|TB|＝eq \r(1＋k\\al(2,1))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(xB－\f(1,2)))＝eq \r(1＋k\\al(2,1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xB－\f(1,2)))，
则|TA|·|TB|＝(1＋keq \\al(2,1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xA－\f(1,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xB－\f(1,2)))
＝(1＋keq \\al(2,1))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(xAxB－\f(1,2)xA＋xB＋\f(1,4)))
＝(1＋keq \\al(2,1))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(k1,2)))2－16,16－k\\al(2,1))－\f(1,2)·\f(2k1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(k1,2))),16－k\\al(2,1))＋\f(1,4)))
＝eq \f(1＋k\\al(2,1)t2＋12,k\\al(2,1)－16)．
同理得|TP|·|TQ|＝eq \f(1＋k\\al(2,2)t2＋12,k\\al(2,2)－16)．
因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，所以eq \f(1＋k\\al(2,1)t2＋12,k\\al(2,1)－16)＝eq \f(1＋k\\al(2,2)t2＋12,k\\al(2,2)－16)，所以keq \\al(2,2)－16＋keq \\al(2,1)keq \\al(2,2)－16keq \\al(2,1)＝keq \\al(2,1)－16＋keq \\al(2,1)keq \\al(2,2)－16keq \\al(2,2)，即keq \\al(2,1)＝keq \\al(2,2)，
又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0．
故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0．