2025高考数学一轮复习-第50讲-随机事件与概率-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-第50讲-随机事件与概率-专项训练【含解析】，共12页。

A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9
2. “黑匣子”是飞机常用的电子记录设备之一，黑匣子有两个，为驾驶舱语音记录器和飞行数据记录器.某兴趣小组对黑匣子内部构造进行相关课题研究，记事件A 为“只研究驾驶舱语音记录器”，事件B 为“至少研究一个黑匣子”，事件C 为“至多研究一个黑匣子”，事件D 为“两个黑匣子都研究”，则( )
A. A 与C 是互斥事件B. B 与D 是对立事件
C. B 与C 是对立事件D. C 与D 是互斥事件
3.在《周易》中，长横“——”表示阳爻，两个短横“— —”表示阴爻.有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有23=8 种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”.有放回地取阳爻和阴爻一次有两种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次有八种情况.所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析.在一次“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是( )
A. 17 B. 516 C. 916 D. 58
4.一个正方体有一个面为红色，两个面为绿色，三个面为黄色，另一个正方体有两个面为红色，两个面为绿色，两个面为黄色，同时掷这两个正方体，两个正方体朝上的面颜色不同的概率为( )
A. 13 B. 56 C. 23 D. 712
5.（多选）某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第1号车站（首发站）乘车，假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的，则( )
A. 甲、乙两人下车的所有可能的结果有9种
B. 甲、乙两人同时在第2号车站下车的概率为19
C. 甲、乙两人同时在第4号车站下车的概率为13
D. 甲、乙两人在不同的车站下车的概率为23
6. 已知某电脑卖家只卖甲、乙两个品牌的电脑，其中甲品牌的电脑占70% ，甲品牌的电脑中，优质率为80% ；乙品牌的电脑中，优质率为90% ，从该电脑卖家中随机购买一台电脑，则买到优质电脑的概率为 .
7.花博会有四个不同的展馆，甲、乙各选2个去参观，则两人选择中恰有一个馆相同的概率为 .
8.现有5名师范大学毕业生主动要求到西部某地的甲、乙、丙三校支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名毕业生分配到甲校的概率为 .
9. 已知不透明的袋中装有三个黑球（记为B1 ，B2 和B3 ）、两个红球（记为R1 和R2 ），从中不放回地依次随机抽取两个球.
（1） 用集合的形式写出试验的样本空间；
（2） 求抽到的两个球都是黑球的概率.
[B级 综合运用]
10.在二项式x+124xn 的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )
A. 16 B. 14 C. 13 D. 512
11. 某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39 ，32 ，33 名成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一名成员，则他至少参加2个小组的概率为 ，他至多参加2个小组的概率为 .
12. 某个班级周一上午准备安排语文、数学、英语、物理、生物5节课，则数学和物理排课不相邻的概率为 .
13.一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：f1x=x ，f2x=x2 ，f3x=x3 ，f4x=sinx ，f5x=csx ，f6x=2x+1 .现从盒子中逐一抽取卡片并判断函数的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为X ，则X<3 的概率为 .
14. 某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.
（1） 求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；
（2） 某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率.
[C级 素养提升]
15.（多选）有6个相同的球，分别标有数字1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.记第一次取出的球的数字为X1 ，第二次取出的球的数字为X2 .设X=[X1X2] ，其中[x] 表示不超过x 的最大整数，如[1]=1 ，[2.5]=2 ，则( )
A. PX1>X2=512 B. PX1+X2=5=29
C. 事件“X1=6 ”与“X=0 ”互斥D. 事件“X2=1 ”与“X=0 ”对立
16.某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0 ，1 ，2 ，3 ，将这个玩具抛掷n 次，记第n 次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为an ，数列{an} 的前n 项和为Sn .记Sn 是3的倍数的概率为Pn .
（1） 求P1 ，P2 ；
（2） 求Pn .
2025高考数学一轮复习-第50讲-随机事件与概率-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 已知A 与B 是互斥事件，且PA=0.4 ，PB=0.2 ，则PA∪B= ( C )
A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9
[解析]选C.由题意知A ，B 是互斥事件，所以PA∪B=PA+PB ，且PA=1−PA=1−0.4=0.6 ，则PA∪B=0.6+0.2=0.8 .故选C.
2. “黑匣子”是飞机常用的电子记录设备之一，黑匣子有两个，为驾驶舱语音记录器和飞行数据记录器.某兴趣小组对黑匣子内部构造进行相关课题研究，记事件A 为“只研究驾驶舱语音记录器”，事件B 为“至少研究一个黑匣子”，事件C 为“至多研究一个黑匣子”，事件D 为“两个黑匣子都研究”，则( D )
A. A 与C 是互斥事件B. B 与D 是对立事件
C. B 与C 是对立事件D. C 与D 是互斥事件
[解析]选D.事件A 为“只研究驾驶舱语音记录器”；事件B 为“至少研究一个黑匣子”，包含“只研究驾驶舱语音记录器”“只研究飞行数据记录器”“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”；事件C 为“至多研究一个黑匣子”， 包含“只研究驾驶舱语音记录器”“只研究飞行数据记录器”“两个黑匣子都不研究”；事件D 为“两个黑匣子都研究”，即“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”.
所以对于A，事件A 与事件C 不是互斥事件，故A不正确；
对于B，事件B 与事件D 不是对立事件，故B不正确；
对于C，事件B 与事件C 不是对立事件，故C不正确；
对于D，事件C 和事件D 不能同时发生，故C 与D 是互斥事件，故D正确.故选D.
3.在《周易》中，长横“——”表示阳爻，两个短横“— —”表示阴爻.有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有23=8 种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”.有放回地取阳爻和阴爻一次有两种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次有八种情况.所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析.在一次“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是( B )
A. 17 B. 516 C. 916 D. 58
[解析]选B.在一次“算卦”中得到六爻，样本点的总数为n=26=64 ，
这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻包含的样本点数为m=C63=20 ，所以这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是P=mn=2064=516 ，故选B.
4.一个正方体有一个面为红色，两个面为绿色，三个面为黄色，另一个正方体有两个面为红色，两个面为绿色，两个面为黄色，同时掷这两个正方体，两个正方体朝上的面颜色不同的概率为( C )
A. 13 B. 56 C. 23 D. 712
[解析]选C.记第一个正方体红色的面为a ，绿色的面为b1 ，b2 ，黄色的面为c1 ，c2 ，c3 ，第二个正方体红色的面为A1 ，A2 ，绿色的面为B1 ，B2 ，黄色的面为C1 ，C2 ，
同时掷这两个正方体，两个正方体朝上的面不同结果种数为62=36 ，其中，事件“两个正方体朝上的面颜色相同”所包含的样本点有a,A1 ，a,A2 ，b1,B1 ，b1,B2 ，b2,B1 ，b2,B2 ，c1,C1 ，c1,C2 ，c2,C1 ，c2,C2 ，c3,C1 ，c3,C2 ，共12个，
因此，两个正方体朝上的面颜色不同的概率为P=1−1236=23 .故选C.
5.（多选）某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第1号车站（首发站）乘车，假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的，则( ABD )
A. 甲、乙两人下车的所有可能的结果有9种
B. 甲、乙两人同时在第2号车站下车的概率为19
C. 甲、乙两人同时在第4号车站下车的概率为13
D. 甲、乙两人在不同的车站下车的概率为23
[解析]选ABD.对于A，甲下车的情况有第2号车站，第3号车站，第4号车站，共3种，同理可得，乙下车的情况数也是3，则总情况数为3×3=9 ，故A正确；
对于B，甲、乙两人同时在第2号车站下车的情况数为1，则概率为19 ，故B正确；
对于C，甲、乙两人同时在第4号车站下车的情况数为1，则概率为19 ，故C错误；
对于D，甲、乙两人在相同车站下车的情况数为3，则在不同车站下车的情况数为9−3=6 ，即概率为69=23 ，故D正确.故选ABD.
6. 已知某电脑卖家只卖甲、乙两个品牌的电脑，其中甲品牌的电脑占70% ，甲品牌的电脑中，优质率为80% ；乙品牌的电脑中，优质率为90% ，从该电脑卖家中随机购买一台电脑，则买到优质电脑的概率为0.83.
[解析]随机购买一台电脑，买到甲品牌优质电脑的概率为70%×80%=56%=0.56 ，买到乙品牌优质电脑的概率为1−70%×90%=27%=0.27 ，则买到优质电脑的概率为0.56+0.27=0.83 .
7.花博会有四个不同的展馆，甲、乙各选2个去参观，则两人选择中恰有一个馆相同的概率为23 .
[解析]记事件A 为“两人选择中恰有一个馆相同”，
则PA=C42C42C42+C42C42C42=1236=13 ，
所以PA=1−PA=23 .
8.现有5名师范大学毕业生主动要求到西部某地的甲、乙、丙三校支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名毕业生分配到甲校的概率为25 .
[解析]将5名毕业生按1:1:3 和1:2:2 分成3组的不同分法有C53+C52C32A22=10+10×32=25 （种），
因此5名毕业生按每个学校至少去1人，分配到甲、乙、丙三校的不同分法数为25A33=150 ，恰好有2名毕业生分配到甲校的不同分法数为C52C32A22=60 ，所以恰好有2名毕业生分配到甲校的概率P=60150=25 .
9. 已知不透明的袋中装有三个黑球（记为B1 ，B2 和B3 ）、两个红球（记为R1 和R2 ），从中不放回地依次随机抽取两个球.
（1） 用集合的形式写出试验的样本空间；
[答案]解：试验的样本空间
Ω={B1,B2,B1,B3,B1,R1,B1,R2,B2,B1,B2,B3,B2,R1,B2,R2,B3,B1,B3,B2,B3,R1,B3,R2,R1,B1,R1,B2,R1,B3,R1,R2,R2,B1,R2,B2,R2,B3,R2,R1} .
（2） 求抽到的两个球都是黑球的概率.
[答案]设事件A= “抽到两个黑球”，则A={B1,B2,B1,B3,B2,B1,B2,B3,B3,B1,B3,B2} .
因为样本空间Ω 中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.
因此PA=nAnΩ=620=310 .
所以抽到的两个球都是黑球的概率为310 .
[B级 综合运用]
10.在二项式x+124xn 的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( D )
A. 16 B. 14 C. 13 D. 512
[解析]选D.展开式的通项为Tr+1=Cnrxn−r⋅124xr=Cnr⋅2−r⋅x2n−3r40≤r≤n ，由题意2Cn1⋅2−1=Cn0⋅20+Cn2⋅2−2 ，解得n=8 ，所以当r=0 ,4 ,8时，16−3r4 为整数，相应的项为有理项，因此题中二项式展开式中共有9项，其中有3项是有理项，6项是无理项，所求概率为P=A66A73A99=512 .故选D.
11. 某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39 ，32 ，33 名成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一名成员，则他至少参加2个小组的概率为35 ，他至多参加2个小组的概率为1315 .
[解析]记“恰好参加2个小组”为事件A ，“恰好参加3个小组”为事件B ，随机选取一名成员，恰好参加2个小组的概率PA=1160+760+1060=715 ，恰好参加3个小组的概率PB=860=215 ，则至少参加2个小组的概率为PA+PB=715+215=35 ，至多参加2个小组的概率为1−PB=1−215=1315 .
12. 某个班级周一上午准备安排语文、数学、英语、物理、生物5节课，则数学和物理排课不相邻的概率为35 .
[解析]样本空间样本点总数为A55=120 ，先安排好语文、英语、生物，有A33 种排法，再插入数学和物理，有A42 种排法，事件所含样本点个数为A33A42=72 ，故所求概率P=72120=35 .
13.一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：f1x=x ，f2x=x2 ，f3x=x3 ，f4x=sinx ，f5x=csx ，f6x=2x+1 .现从盒子中逐一抽取卡片并判断函数的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为X ，则X<3 的概率为45 .
[解析]易判断f2x=x2 ，f5x=csx ，f6x=2x+1 为偶函数，所以写有偶函数的卡片有3张，X 的取值范围是{1,2,3,4}.PX=1=C31C61=12 ，PX=2=C31C31C61C51=310 ，
所以PX<3=PX=1+PX=2=12+310=45 .
14. 某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.
（1） 求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；
[答案]解：由题意，参加集训的男、女生各有6名，入选代表队学生全从B 中学抽取（等价于A 中学没有学生入选代表队）的概率为C33C43C63C63=1100 ，因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1−1100=99100 .
（2） 某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率.
[答案]设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A ，记“参赛女生有2人”为事件B ，“参赛女生有3人”为事件C ，则PB=C32C32C64=35 ，PC=C33C31C64=15 .由互斥事件的概率加法公式，得PA=PB+PC=35+15=45 ，故所求事件的概率为45 .
[C级 素养提升]
15.（多选）有6个相同的球，分别标有数字1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.记第一次取出的球的数字为X1 ，第二次取出的球的数字为X2 .设X=[X1X2] ，其中[x] 表示不超过x 的最大整数，如[1]=1 ，[2.5]=2 ，则( AC )
A. PX1>X2=512 B. PX1+X2=5=29
C. 事件“X1=6 ”与“X=0 ”互斥D. 事件“X2=1 ”与“X=0 ”对立
[解析]选AC.因为从中有放回的随机取两次，所以有6×6=36 （种）情况，X1=X2 ，有6种情况，
所以X1>X2 的情况共有36−62=15 （种），
所以PX1>X2=1536=512 ，因此A正确；
两次取球数字和为5有以下4种情况：1,4 ，2,3 ,3,2 ,4,1 ,
所以PX1+X2=5=436=19 ，因此B不正确；
当X1=6 时，X=[X1X2]=[6X2]≠0 ，所以事件“X1=6 ”与“X=0 ”互斥，因此C正确；
当X2=1 时，X=[X1X2]=[X1]≠0 ，但是当X2=2 ,X1=2 时，X=[X1X2]=1≠0 ，所以事件“X2=1 ”与“X=0 ”不是对立事件，因此D不正确.故选AC.
16.某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0 ，1 ，2 ，3 ，将这个玩具抛掷n 次，记第n 次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为an ，数列{an} 的前n 项和为Sn .记Sn 是3的倍数的概率为Pn .
（1） 求P1 ，P2 ；
[答案]解：抛掷一次，一共有4个结果，出现一个0或一个3时符合要求，故P1=12 .
抛掷两次，一共有42=16 （个）结果，出现1+2 ，2+1 ，0+0 ，3+3 ，0+3 ，3+0 时，符合要求，共计6种情况，故P2=616=38 .
（2） 求Pn .
[答案]设Sn 被3除时余1的概率为P1n ，Sn 被3除时余2的概率为P2n ，
则Pn+1=12Pn+14P1n+14P2n ，①
P1n+1=14Pn+12P1n+14P2n ，②
P2n+1=14Pn+14P1n+12P2n ，③
①-（②+③），得Pn+1−[P1n+1+P2n+1]=−12[P1n+P2n] ，
化简，得4Pn+1=Pn+1 ，
所以Pn+1−13=14[Pn−13] .
又P1=12 ，
所以数列{Pn−13} 是以16 为首项，14 为公比的等比数列，
所以Pn=13+23×14n .