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新高考数学一轮复习分层提升练习第23练 平面向量基本定理和坐标表示（2份打包，原卷版+含解析）
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这是一份新高考数学一轮复习分层提升练习第23练 平面向量基本定理和坐标表示（2份打包，原卷版+含解析），文件包含新高考数学一轮复习分层提升练习第23练平面向量基本定理和坐标表示原卷版doc、新高考数学一轮复习分层提升练习第23练平面向量基本定理和坐标表示含解析doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共52页， 欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）在 SKIPIF 1 < 0 中，点D在边AB上， SKIPIF 1 < 0 ．记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
2．（2020·山东·统考高考真题）已知平行四边形 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点（如图所示），设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】连结 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中位线，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
二、双空题
3．（2022·天津·统考高考真题）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D是AC中点， SKIPIF 1 < 0 ，试用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 为___________，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为____________
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为基底，表示出 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以点 SKIPIF 1 < 0 为原点建立平面直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以 SKIPIF 1 < 0 为半径的圆，方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即可根据几何性质可知，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切时， SKIPIF 1 < 0 最大，即求出．
【详解】方法一：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
方法二：如图所示，建立坐标系：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以 SKIPIF 1 < 0 为半径的圆，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切时， SKIPIF 1 < 0 最大，此时 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．已知点 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而根据 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出向量 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
【详解】由题意，点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故选:A．
2．已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是线段AB的中点，那么向量 SKIPIF 1 < 0 的坐标是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由中点坐标公式以及向量的坐标运算即可求解.
【详解】由中点坐标公式可得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
故选：B
3．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据基底需为不共线的非零向量，由此依次判断各个选项即可.
【详解】对于A， SKIPIF 1 < 0 ，不可以作为基底，A错误；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线，不可以作为基底，B错误；
对于C， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 为不共线的非零向量，可以作为一组基底，C正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线，不可以作为基底，D错误.
故选：C
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则m＝（ ）
A．－2B．2C．3D．－3
【答案】C
【分析】根据向量共线的坐标表示求解即可；
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
5．在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上的中点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】C
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上的中点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，得到 SKIPIF 1 < 0 ，再利用平面向量的线性运算求解.
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上的中点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
6．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据平面向量平行的坐标表示列式可求出结果.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
7．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据向量减法的几何意义，化简整理即可得出答案.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
8．在梯形 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据平面向量的基本定理化简，可得答案.
【详解】由题意， SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
9．已知E、F分别为四边形ABCD的边CD、BC边上的中点，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】先判断 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中位线，可得 SKIPIF 1 < 0 ，化简可得结论．
【详解】如图所示：
∵E、F分别为四边形ABCD的边CD、BC边上的中点，故 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中位线，
则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B．
10．平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据给定的几何图形，结合向量的线性运算求解作答.
【详解】在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
11．在正六边形ABCDEF中，FD与CE相交于点G，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据题意，由平面向量基本定理表示出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到结果.
【详解】
如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为正六边形，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
12．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据向量平行的坐标表示,可得 SKIPIF 1 < 0 ,简单计算,可得结果.
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 命题成立，
反之，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 不一定成立.
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件.
故选；A.
13．在 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】利用平面向量基本定理得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，从而列出方程组，求出 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，求出答案.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，
SKIPIF 1 < 0 三点共线，故可设 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 三点共线，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
14．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算列式，再借助方程思想求解作答.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ...①, SKIPIF 1 < 0 ...②，
由①+ SKIPIF 1 < 0 ②得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
15．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为CD的中点，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据向量的线性运算结合条件即可得答案.
【详解】由已知得
SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
二、多选题
16．已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列向量与 SKIPIF 1 < 0 平行的向量是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【分析】根据向量平行的定理逐一判断即可.
【详解】由已知 SKIPIF 1 < 0 ，
存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，
存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，
存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，
不存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：ABC.
17．如图， SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【分析】利用平面向量加法、减法以及数乘的几何意义，结合图形的几何性质，可得答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：AD.
18．如图，在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中，E、F分别是 SKIPIF 1 < 0 边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（ ）.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【分析】根据向量加法法则、向量减法法则及平面向量基本定理即可求解.
【详解】选项A：由题意知，E、F分别是 SKIPIF 1 < 0 边上的两个三等分点，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 方向相同，则 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
选项B：由图可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
选项C： SKIPIF 1 < 0 ，所以C错误；
选项D： SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：AB.
19．已知M为△ABC的重心，D为边BC的中点，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【分析】根据三角形重心的性质及向量的线性运算、基本定理一一判定即可.
【详解】如图，根据向量加法的平行四边形法则，易得 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
由题意得M为线段AD的靠近D点的三等分点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：ABC
20．设点M是 SKIPIF 1 < 0 所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则点M是BC的中点
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则点M是 SKIPIF 1 < 0 的重心
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则点M，B，C三点共线
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
【答案】AC
【分析】根据平面向量的线性运算法则，以及 SKIPIF 1 < 0 重心的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，如图（1）所示，根据向量的平行四边形法则，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以A正确；
对于B中，若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，则满足 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以B不正确；
对于C中，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 三点共线，所以C正确；
对于D中，如图（2）所示，由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以D不正确.
故选：AC.
三、填空题
21．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】首先求出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
22．已知点 SKIPIF 1 < 0 ，若向量 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，解得答案.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
23．已知 SKIPIF 1 < 0 ，三点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 共线，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】求出向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标，分析可知 SKIPIF 1 < 0 ，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，三点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 共线，则 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
24．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，D是AB的中点，E是BC延长线上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，用向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ._________________
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据平面向量的线性运算可得结果.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，又D是AB的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
25．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】计算出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标，由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
26．已知在平行四边形ABCD中，点E满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用向量的四则运算化简求值.
【详解】如图所示：
平行四边形ABCD中，点E满足 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
27．在 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 满足: SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 =_________.
【答案】3
【分析】根据条件，利用向量的线性运算得到 SKIPIF 1 < 0 ，再利用平面向量基本定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出结果.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故由平面向量基本定理得到， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：3.
28．已知 SKIPIF 1 < 0 的面积为24，点D，E分别在边BC，AC上，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接AD，BE交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为________．
【答案】4
【分析】根据平面向量的线性运算，结合三点共线的结论，即可由比例得面积关系.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
由于 SKIPIF 1 < 0 三点共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：4
29．若 SKIPIF 1 < 0 ，点D在第一象限且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据向量的坐标运算结合已知可求得点D的坐标，根据其在第一象限即可求得答案.
【详解】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故D点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，由于D在第一象限，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题
30．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上靠近点 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，设 SKIPIF 1 < 0 .
(1)用向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 表示向量 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 三点共线.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【分析】（1）利用向量的线性运算及平面向量的基本定理即可求解；
（2）利用向量的线性运算及向量共线的充要条件即可求解.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行，
又 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有公共点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 三点共线.
31．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边CD，AD的中点，连接AE，BF交于点G.若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】作出辅助线，结合全等和相似知识和平面向量基本定理求出答案.
【详解】如图，延长CD，BF交于点H.
因为平行四边形ABCD中，F为边AD的中点，
易证 SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又因为四边形ABCD为平行四边形， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行，
所以 SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，
因为E为边CD的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC的中点，BE与AF交于点G．则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】如图，以 SKIPIF 1 < 0 为原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 所在的直线为 SKIPIF 1 < 0 轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，分别利用 SKIPIF 1 < 0 三点共线和 SKIPIF 1 < 0 三点共线结合共线向量定理可求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，再利用平面向量基本定理可求得结果.
【详解】如图，以 SKIPIF 1 < 0 为原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 所在的直线为 SKIPIF 1 < 0 轴建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为2，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 三点共线，所以存在唯一实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 三点共线，所以存在唯一实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
2．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别在边 SKIPIF 1 < 0 和边 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，点 SKIPIF 1 < 0 靠近点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 靠近点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】利用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ，结合平面向量基本定理确定其表达式.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
3．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由已知可知 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，然后结合向量的线性运算及三角形重心的性质可求．
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
4．如图所示， SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值（ ）
A．1B．3C．5D．8
【答案】D
【分析】利用平面向量共线定理与线性运算即可得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，再结合基本不等式“1”的代换即可求得最值.
【详解】因为点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则可设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
5．在 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 所在直线上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，若向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．3B．4C． SKIPIF 1 < 0 D．9
【答案】B
【分析】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，又点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，再利用“1”的代换，结合基本不等式求解即可．
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的最小值为4．
故选：B．
6．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线分别交直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据三点共线以及平面向量基本定理推出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据基本不等式可求出结果.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 三点共线，所以可设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
7．在正六边形 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 内（包括边界）的一个动点，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 为动点，所以不容易利用数量积来得到 SKIPIF 1 < 0 的关系，因为六边形为正六边形，所以建立坐标系各个点的坐标易于确定，
可得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以设 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 所满足的可行域为 SKIPIF 1 < 0 ，代入可得： SKIPIF 1 < 0 ，通过线性规划可得： SKIPIF 1 < 0 .
二、多选题
8．向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若A，B，C三点共线，则k的值可能为（ ）
A．2B．－2C．11D．－11
【答案】BC
【分析】由已知求出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，根据向量共线的坐标运算，列出方程求解，即可得出答案.
【详解】由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
因为A，B，C三点共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得k＝－2或11．故选：BC．
9．下列说法中正确的有（ ）
A．已知 SKIPIF 1 < 0 是平面内两个非零向量，对于实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 一定在该平面内
B．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面内的一组基底，若实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．已知 SKIPIF 1 < 0 是平面内两个非零向量，若实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
D．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面内的一组基底，对平面内任一向量 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 的实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有且只有一对
【答案】ABD
【分析】根据平面向量基本定理分别判断各个选项即可.
【详解】对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面内两个非零向量，
对于实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由向量运算法则得 SKIPIF 1 < 0 一定在该平面内，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面内的一组基底，
若实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 ，则由基底的定义得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面内两个非零向量，
若实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 ，
则由向量相等的定义得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不一定成立，故 SKIPIF 1 < 0 错误；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面内的一组基底，对平面内任一向量 SKIPIF 1 < 0 ，
由共面向量基本定理得使 SKIPIF 1 < 0 的实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有且只有一对，故 SKIPIF 1 < 0 正确．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
10．在直角梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 分别为线段 SKIPIF 1 < 0 的两个三等分点，点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值可能是（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
【答案】AB
【分析】建立平面直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ，用坐标表示出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 列方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后可得.
【详解】
如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
故选：AB.
11．在 SKIPIF 1 < 0 所在的平面上存在一点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法错误的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹不可能经过 SKIPIF 1 < 0 的外心
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹不可能经过 SKIPIF 1 < 0 的垂心
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹可能经过 SKIPIF 1 < 0 的重心
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹可能经过 SKIPIF 1 < 0 的内心
【答案】ABC
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 ，结合向量共线的推论判断 SKIPIF 1 < 0 的轨迹，讨论 SKIPIF 1 < 0 形状判断A、B正误；根据重心的性质得 SKIPIF 1 < 0 判断C；根据题设设等边三角形，确定 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 点的轨迹可能经过 SKIPIF 1 < 0 的内心判断D.
【详解】若 SKIPIF 1 < 0 ，根据向量共线的推论知： SKIPIF 1 < 0 共线，即 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
SKIPIF 1 < 0 中，当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 的中点为三角形外心，故 SKIPIF 1 < 0 有可能为外心，A错；
若 SKIPIF 1 < 0 ，不妨取 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0
此时 SKIPIF 1 < 0 的轨迹经过 SKIPIF 1 < 0 的垂心，B错；
若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，必有 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，C错；
若 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，结合 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 点在 SKIPIF 1 < 0 的中线上，也在 SKIPIF 1 < 0 的平分线上， SKIPIF 1 < 0 的轨迹可能经过 SKIPIF 1 < 0 的内心，D正确.
故选：ABC
三、填空题
12．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，D为边BC的中点，E为AD靠近A点的三等分点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _____________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据向量的线性运算法则，利用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ，结合平面向量基本定理求 SKIPIF 1 < 0 ，由此可求 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】因为E为AD靠近A点的三等分点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为D为边BC的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
13．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 _________ .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 三点共线可得存在实数 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 三点共线可解得 SKIPIF 1 < 0 ，利用向量的线性运算化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】由题可知， SKIPIF 1 < 0 三点共线，由共线定理可知，
存在实数 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 三点共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即可得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14．正 SKIPIF 1 < 0 的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，中心为点 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的动直线 SKIPIF 1 < 0 与边 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别相交于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，给出下列四个结论：
① SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 不是定值，与直线 SKIPIF 1 < 0 的位置有关；
④ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①④
【分析】对于①：根据等边三角形得性质结合平面向量得线性运算可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，运算判断；对于②：根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，代入结合数量积的定义和运算律处理运算；对于③：根据三点共线结论可判断③；利用③中的结论以及平面向量数量积的运算性质、基本不等式求出 SKIPIF 1 < 0 的最小值，可判断④.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为正 SKIPIF 1 < 0 的中心，则 SKIPIF 1 < 0 ，①正确；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，②错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线，设 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 不共线，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，③错误；
因为过 SKIPIF 1 < 0 的动直线 SKIPIF 1 < 0 与边 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别相交于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由基本不等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，④正确.
故答案为：①④.
15．如图， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 边的中点， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点（不含 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），且 SKIPIF 1 < 0 ，（x， SKIPIF 1 < 0 ），若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数a的最大值为_______．
【答案】8
【分析】由题意易知 SKIPIF 1 < 0 ，由此即可求出 SKIPIF 1 < 0 的最小值，即为a的最大值.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 三点共线，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，取“=”.
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为8.
故答案为：8
四、解答题
16．如图所示，在 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 是BC的中点，点 SKIPIF 1 < 0 在边AC上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与BN相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】证明见解析
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别共线可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，进而求解即可证明结论.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别共线，
所以存在实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以结论得证.
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在该三角形的内切圆上运动，若 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为实数），则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，再结合余弦定理，面积公式可求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 边上高 SKIPIF 1 < 0 ，内切圆半径 SKIPIF 1 < 0 ，最后根据平行线等比关系即可求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 在内切圆上，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
假设 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，
由平行线等比关系可得，要使 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的比例最小，则 SKIPIF 1 < 0 在内切圆的最高点，如图所示，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 边上高为 SKIPIF 1 < 0 ，内切圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：这道题关键的地方是转化得到 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，观察到分母的系数相加为1，则可得到 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，再结合平行线等比关系以及图象可得到比例最小的具体位置
2．如图，点C是半径为1的扇形圆弧 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．4
【答案】C
【分析】由平面向量数量积的运算，结合两角和的正弦公式，求三角函数的最值即可.
【详解】如图所示，以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴，过 SKIPIF 1 < 0 作与 SKIPIF 1 < 0 垂直的线作为 SKIPIF 1 < 0 轴，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
3．在直角梯形ABCD中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点E为BC边上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可.
【详解】建立如图所示的直角坐角坐标系，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此有 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，xy有最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
故选：B
【点睛】关键点睛：建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键.
二、多选题
4．在给出的下列命题中，正确的是（ ）
A．已知点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 所在的平面内，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的外心
B．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形
C．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形
D．在矩形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 在以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心且与BD相切的圆上．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为1．
【答案】AC
【分析】根据已知即可得出A项正确；由已知可得出点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的平分线上，且 SKIPIF 1 < 0 ，只能得出等腰三角形；根据已知可得出 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的外心、重心、垂心，即可得出C项；由已知求出半径，以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，写出点的坐标，用三角函数表示出 SKIPIF 1 < 0 ，然后用辅助角公式，即可得出最值.
【详解】对于A项，由已知可得点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 三个顶点的距离相等，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 所在的平面内，所以点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的外心，故A正确；
对于B项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的平分线上.
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形，但无法确定是否为直角三角形，故B项错误；
对于C项，由 SKIPIF 1 < 0 ，结合A的结论，可知点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的外心.
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
如图1，取 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 共线，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心.
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的垂心.
综上可知， SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，故C项正确；
对于D项，
如图2，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得， SKIPIF 1 < 0 ，即圆的半径 SKIPIF 1 < 0 .
以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 所在的直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立平面直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在圆上，根据三角函数的定义，可设点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值1， SKIPIF 1 < 0 有最大值3；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有最小值1.
故D项错误.
故选：AC.
【点睛】方法点睛：建立适当的坐标系，得出点的坐标，用坐标表示向量的运算，进而根据三角函数的性质，即可解决问题.
三、填空题
5．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，若对每一个确定的向量 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 变化时，实数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据向量的几何表示和共线条件以及几何关系即可求解.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
如图，
所以点A的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，1为半径的圆，取OB中点E，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点C在直线 SKIPIF 1 < 0 上，故 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的值最小，
当 SKIPIF 1 < 0 情况下，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切时 SKIPIF 1 < 0 最大， SKIPIF 1 < 0 取最大，
此时， SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
6．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据余弦定理、正弦定理以及平面向量基本定理求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而求得正确答案.
【详解】过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以在三角形 SKIPIF 1 < 0 中，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在三角形 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
在三角形 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】平面向量的基本定理可以解决向量分解的问题，相当于向量线性运算.在求解几何图形问题的过程中，可考虑利用正弦定理或余弦定理来进行边角转化.
四、解答题
7．已知 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，Q是边AB（含端点）上的动点.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，O点为AP与CQ的交点，请用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若点Q使得 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围及 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由A、O、P三点共线，令 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后由C、O、Q三点共线，可求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求得结果；
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，化简后可表示出 SKIPIF 1 < 0 ，利用函数的单调性可求出其范围， SKIPIF 1 < 0 ，从而可求出其最大值.
【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵A、O、P三点共线，令 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ，
而C、O、Q三点共线，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
（2）可得 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
可知 SKIPIF 1 < 0 是关于t的函数在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】关键点点睛：此题考查平面向量基本定理的应用，考查平面向量数量积的运算，考查平面向量共线定理的应用，第（2）问解题的关键是根据题意将 SKIPIF 1 < 0 用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示出来，然后由 SKIPIF 1 < 0 列方程可表示出 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求得答案，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）在 SKIPIF 1 < 0 中，点D在边AB上， SKIPIF 1 < 0 ．记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
2．（2020·山东·统考高考真题）已知平行四边形 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点（如图所示），设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】连结 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中位线，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
二、双空题
3．（2022·天津·统考高考真题）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D是AC中点， SKIPIF 1 < 0 ，试用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 为___________，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为____________
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为基底，表示出 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以点 SKIPIF 1 < 0 为原点建立平面直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以 SKIPIF 1 < 0 为半径的圆，方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即可根据几何性质可知，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切时， SKIPIF 1 < 0 最大，即求出．
【详解】方法一：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
方法二：如图所示，建立坐标系：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以 SKIPIF 1 < 0 为半径的圆，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切时， SKIPIF 1 < 0 最大，此时 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．已知点 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而根据 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出向量 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
【详解】由题意，点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故选:A．
2．已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是线段AB的中点，那么向量 SKIPIF 1 < 0 的坐标是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由中点坐标公式以及向量的坐标运算即可求解.
【详解】由中点坐标公式可得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
故选：B
3．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据基底需为不共线的非零向量，由此依次判断各个选项即可.
【详解】对于A， SKIPIF 1 < 0 ，不可以作为基底，A错误；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线，不可以作为基底，B错误；
对于C， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 为不共线的非零向量，可以作为一组基底，C正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线，不可以作为基底，D错误.
故选：C
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则m＝（ ）
A．－2B．2C．3D．－3
【答案】C
【分析】根据向量共线的坐标表示求解即可；
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
5．在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上的中点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】C
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上的中点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，得到 SKIPIF 1 < 0 ，再利用平面向量的线性运算求解.
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上的中点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
6．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据平面向量平行的坐标表示列式可求出结果.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
7．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据向量减法的几何意义，化简整理即可得出答案.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
8．在梯形 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据平面向量的基本定理化简，可得答案.
【详解】由题意， SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
9．已知E、F分别为四边形ABCD的边CD、BC边上的中点，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】先判断 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中位线，可得 SKIPIF 1 < 0 ，化简可得结论．
【详解】如图所示：
∵E、F分别为四边形ABCD的边CD、BC边上的中点，故 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中位线，
则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B．
10．平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据给定的几何图形，结合向量的线性运算求解作答.
【详解】在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
11．在正六边形ABCDEF中，FD与CE相交于点G，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据题意，由平面向量基本定理表示出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到结果.
【详解】
如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为正六边形，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
12．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据向量平行的坐标表示,可得 SKIPIF 1 < 0 ,简单计算,可得结果.
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 命题成立，
反之，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 不一定成立.
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件.
故选；A.
13．在 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】利用平面向量基本定理得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，从而列出方程组，求出 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，求出答案.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，
SKIPIF 1 < 0 三点共线，故可设 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 三点共线，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
14．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算列式，再借助方程思想求解作答.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ...①, SKIPIF 1 < 0 ...②，
由①+ SKIPIF 1 < 0 ②得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
15．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为CD的中点，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据向量的线性运算结合条件即可得答案.
【详解】由已知得
SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
二、多选题
16．已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列向量与 SKIPIF 1 < 0 平行的向量是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【分析】根据向量平行的定理逐一判断即可.
【详解】由已知 SKIPIF 1 < 0 ，
存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，
存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，
存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，
不存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：ABC.
17．如图， SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【分析】利用平面向量加法、减法以及数乘的几何意义，结合图形的几何性质，可得答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：AD.
18．如图，在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中，E、F分别是 SKIPIF 1 < 0 边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（ ）.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【分析】根据向量加法法则、向量减法法则及平面向量基本定理即可求解.
【详解】选项A：由题意知，E、F分别是 SKIPIF 1 < 0 边上的两个三等分点，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 方向相同，则 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
选项B：由图可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
选项C： SKIPIF 1 < 0 ，所以C错误；
选项D： SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：AB.
19．已知M为△ABC的重心，D为边BC的中点，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【分析】根据三角形重心的性质及向量的线性运算、基本定理一一判定即可.
【详解】如图，根据向量加法的平行四边形法则，易得 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
由题意得M为线段AD的靠近D点的三等分点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：ABC
20．设点M是 SKIPIF 1 < 0 所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则点M是BC的中点
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则点M是 SKIPIF 1 < 0 的重心
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则点M，B，C三点共线
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
【答案】AC
【分析】根据平面向量的线性运算法则，以及 SKIPIF 1 < 0 重心的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，如图（1）所示，根据向量的平行四边形法则，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以A正确；
对于B中，若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，则满足 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以B不正确；
对于C中，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 三点共线，所以C正确；
对于D中，如图（2）所示，由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以D不正确.
故选：AC.
三、填空题
21．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】首先求出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
22．已知点 SKIPIF 1 < 0 ，若向量 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，解得答案.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
23．已知 SKIPIF 1 < 0 ，三点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 共线，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】求出向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标，分析可知 SKIPIF 1 < 0 ，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，三点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 共线，则 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
24．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，D是AB的中点，E是BC延长线上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，用向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ._________________
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据平面向量的线性运算可得结果.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，又D是AB的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
25．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】计算出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标，由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
26．已知在平行四边形ABCD中，点E满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用向量的四则运算化简求值.
【详解】如图所示：
平行四边形ABCD中，点E满足 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
27．在 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 满足: SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 =_________.
【答案】3
【分析】根据条件，利用向量的线性运算得到 SKIPIF 1 < 0 ，再利用平面向量基本定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出结果.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故由平面向量基本定理得到， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：3.
28．已知 SKIPIF 1 < 0 的面积为24，点D，E分别在边BC，AC上，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接AD，BE交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为________．
【答案】4
【分析】根据平面向量的线性运算，结合三点共线的结论，即可由比例得面积关系.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
由于 SKIPIF 1 < 0 三点共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：4
29．若 SKIPIF 1 < 0 ，点D在第一象限且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据向量的坐标运算结合已知可求得点D的坐标，根据其在第一象限即可求得答案.
【详解】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故D点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，由于D在第一象限，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题
30．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上靠近点 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，设 SKIPIF 1 < 0 .
(1)用向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 表示向量 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 三点共线.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【分析】（1）利用向量的线性运算及平面向量的基本定理即可求解；
（2）利用向量的线性运算及向量共线的充要条件即可求解.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行，
又 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有公共点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 三点共线.
31．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边CD，AD的中点，连接AE，BF交于点G.若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】作出辅助线，结合全等和相似知识和平面向量基本定理求出答案.
【详解】如图，延长CD，BF交于点H.
因为平行四边形ABCD中，F为边AD的中点，
易证 SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又因为四边形ABCD为平行四边形， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行，
所以 SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，
因为E为边CD的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC的中点，BE与AF交于点G．则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】如图，以 SKIPIF 1 < 0 为原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 所在的直线为 SKIPIF 1 < 0 轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，分别利用 SKIPIF 1 < 0 三点共线和 SKIPIF 1 < 0 三点共线结合共线向量定理可求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，再利用平面向量基本定理可求得结果.
【详解】如图，以 SKIPIF 1 < 0 为原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 所在的直线为 SKIPIF 1 < 0 轴建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为2，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 三点共线，所以存在唯一实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 三点共线，所以存在唯一实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
2．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别在边 SKIPIF 1 < 0 和边 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，点 SKIPIF 1 < 0 靠近点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 靠近点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】利用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ，结合平面向量基本定理确定其表达式.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
3．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由已知可知 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，然后结合向量的线性运算及三角形重心的性质可求．
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
4．如图所示， SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值（ ）
A．1B．3C．5D．8
【答案】D
【分析】利用平面向量共线定理与线性运算即可得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，再结合基本不等式“1”的代换即可求得最值.
【详解】因为点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则可设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
5．在 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 所在直线上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，若向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．3B．4C． SKIPIF 1 < 0 D．9
【答案】B
【分析】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，又点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，再利用“1”的代换，结合基本不等式求解即可．
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的最小值为4．
故选：B．
6．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线分别交直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据三点共线以及平面向量基本定理推出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据基本不等式可求出结果.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 三点共线，所以可设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
7．在正六边形 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 内（包括边界）的一个动点，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 为动点，所以不容易利用数量积来得到 SKIPIF 1 < 0 的关系，因为六边形为正六边形，所以建立坐标系各个点的坐标易于确定，
可得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以设 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 所满足的可行域为 SKIPIF 1 < 0 ，代入可得： SKIPIF 1 < 0 ，通过线性规划可得： SKIPIF 1 < 0 .
二、多选题
8．向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若A，B，C三点共线，则k的值可能为（ ）
A．2B．－2C．11D．－11
【答案】BC
【分析】由已知求出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，根据向量共线的坐标运算，列出方程求解，即可得出答案.
【详解】由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
因为A，B，C三点共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得k＝－2或11．故选：BC．
9．下列说法中正确的有（ ）
A．已知 SKIPIF 1 < 0 是平面内两个非零向量，对于实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 一定在该平面内
B．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面内的一组基底，若实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．已知 SKIPIF 1 < 0 是平面内两个非零向量，若实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
D．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面内的一组基底，对平面内任一向量 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 的实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有且只有一对
【答案】ABD
【分析】根据平面向量基本定理分别判断各个选项即可.
【详解】对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面内两个非零向量，
对于实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由向量运算法则得 SKIPIF 1 < 0 一定在该平面内，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面内的一组基底，
若实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 ，则由基底的定义得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面内两个非零向量，
若实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 ，
则由向量相等的定义得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不一定成立，故 SKIPIF 1 < 0 错误；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面内的一组基底，对平面内任一向量 SKIPIF 1 < 0 ，
由共面向量基本定理得使 SKIPIF 1 < 0 的实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有且只有一对，故 SKIPIF 1 < 0 正确．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
10．在直角梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 分别为线段 SKIPIF 1 < 0 的两个三等分点，点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值可能是（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
【答案】AB
【分析】建立平面直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ，用坐标表示出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 列方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后可得.
【详解】
如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
故选：AB.
11．在 SKIPIF 1 < 0 所在的平面上存在一点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法错误的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹不可能经过 SKIPIF 1 < 0 的外心
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹不可能经过 SKIPIF 1 < 0 的垂心
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹可能经过 SKIPIF 1 < 0 的重心
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹可能经过 SKIPIF 1 < 0 的内心
【答案】ABC
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 ，结合向量共线的推论判断 SKIPIF 1 < 0 的轨迹，讨论 SKIPIF 1 < 0 形状判断A、B正误；根据重心的性质得 SKIPIF 1 < 0 判断C；根据题设设等边三角形，确定 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 点的轨迹可能经过 SKIPIF 1 < 0 的内心判断D.
【详解】若 SKIPIF 1 < 0 ，根据向量共线的推论知： SKIPIF 1 < 0 共线，即 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
SKIPIF 1 < 0 中，当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 的中点为三角形外心，故 SKIPIF 1 < 0 有可能为外心，A错；
若 SKIPIF 1 < 0 ，不妨取 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0
此时 SKIPIF 1 < 0 的轨迹经过 SKIPIF 1 < 0 的垂心，B错；
若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，必有 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，C错；
若 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，结合 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 点在 SKIPIF 1 < 0 的中线上，也在 SKIPIF 1 < 0 的平分线上， SKIPIF 1 < 0 的轨迹可能经过 SKIPIF 1 < 0 的内心，D正确.
故选：ABC
三、填空题
12．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，D为边BC的中点，E为AD靠近A点的三等分点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _____________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据向量的线性运算法则，利用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ，结合平面向量基本定理求 SKIPIF 1 < 0 ，由此可求 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】因为E为AD靠近A点的三等分点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为D为边BC的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
13．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 _________ .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 三点共线可得存在实数 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 三点共线可解得 SKIPIF 1 < 0 ，利用向量的线性运算化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】由题可知， SKIPIF 1 < 0 三点共线，由共线定理可知，
存在实数 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 三点共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即可得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14．正 SKIPIF 1 < 0 的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，中心为点 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的动直线 SKIPIF 1 < 0 与边 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别相交于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，给出下列四个结论：
① SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 不是定值，与直线 SKIPIF 1 < 0 的位置有关；
④ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①④
【分析】对于①：根据等边三角形得性质结合平面向量得线性运算可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，运算判断；对于②：根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，代入结合数量积的定义和运算律处理运算；对于③：根据三点共线结论可判断③；利用③中的结论以及平面向量数量积的运算性质、基本不等式求出 SKIPIF 1 < 0 的最小值，可判断④.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为正 SKIPIF 1 < 0 的中心，则 SKIPIF 1 < 0 ，①正确；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，②错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线，设 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 不共线，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，③错误；
因为过 SKIPIF 1 < 0 的动直线 SKIPIF 1 < 0 与边 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别相交于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由基本不等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，④正确.
故答案为：①④.
15．如图， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 边的中点， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点（不含 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），且 SKIPIF 1 < 0 ，（x， SKIPIF 1 < 0 ），若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数a的最大值为_______．
【答案】8
【分析】由题意易知 SKIPIF 1 < 0 ，由此即可求出 SKIPIF 1 < 0 的最小值，即为a的最大值.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 三点共线，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，取“=”.
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为8.
故答案为：8
四、解答题
16．如图所示，在 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 是BC的中点，点 SKIPIF 1 < 0 在边AC上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与BN相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】证明见解析
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别共线可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，进而求解即可证明结论.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别共线，
所以存在实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以结论得证.
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在该三角形的内切圆上运动，若 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为实数），则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，再结合余弦定理，面积公式可求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 边上高 SKIPIF 1 < 0 ，内切圆半径 SKIPIF 1 < 0 ，最后根据平行线等比关系即可求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 在内切圆上，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
假设 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，
由平行线等比关系可得，要使 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的比例最小，则 SKIPIF 1 < 0 在内切圆的最高点，如图所示，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 边上高为 SKIPIF 1 < 0 ，内切圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：这道题关键的地方是转化得到 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，观察到分母的系数相加为1，则可得到 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，再结合平行线等比关系以及图象可得到比例最小的具体位置
2．如图，点C是半径为1的扇形圆弧 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．4
【答案】C
【分析】由平面向量数量积的运算，结合两角和的正弦公式，求三角函数的最值即可.
【详解】如图所示，以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴，过 SKIPIF 1 < 0 作与 SKIPIF 1 < 0 垂直的线作为 SKIPIF 1 < 0 轴，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
3．在直角梯形ABCD中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点E为BC边上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可.
【详解】建立如图所示的直角坐角坐标系，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此有 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，xy有最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
故选：B
【点睛】关键点睛：建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键.
二、多选题
4．在给出的下列命题中，正确的是（ ）
A．已知点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 所在的平面内，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的外心
B．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形
C．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形
D．在矩形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 在以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心且与BD相切的圆上．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为1．
【答案】AC
【分析】根据已知即可得出A项正确；由已知可得出点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的平分线上，且 SKIPIF 1 < 0 ，只能得出等腰三角形；根据已知可得出 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的外心、重心、垂心，即可得出C项；由已知求出半径，以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，写出点的坐标，用三角函数表示出 SKIPIF 1 < 0 ，然后用辅助角公式，即可得出最值.
【详解】对于A项，由已知可得点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 三个顶点的距离相等，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 所在的平面内，所以点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的外心，故A正确；
对于B项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的平分线上.
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形，但无法确定是否为直角三角形，故B项错误；
对于C项，由 SKIPIF 1 < 0 ，结合A的结论，可知点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的外心.
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
如图1，取 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 共线，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心.
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的垂心.
综上可知， SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，故C项正确；
对于D项，
如图2，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得， SKIPIF 1 < 0 ，即圆的半径 SKIPIF 1 < 0 .
以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 所在的直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立平面直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在圆上，根据三角函数的定义，可设点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值1， SKIPIF 1 < 0 有最大值3；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有最小值1.
故D项错误.
故选：AC.
【点睛】方法点睛：建立适当的坐标系，得出点的坐标，用坐标表示向量的运算，进而根据三角函数的性质，即可解决问题.
三、填空题
5．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，若对每一个确定的向量 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 变化时，实数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据向量的几何表示和共线条件以及几何关系即可求解.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
如图，
所以点A的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，1为半径的圆，取OB中点E，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点C在直线 SKIPIF 1 < 0 上，故 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的值最小，
当 SKIPIF 1 < 0 情况下，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切时 SKIPIF 1 < 0 最大， SKIPIF 1 < 0 取最大，
此时， SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
6．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据余弦定理、正弦定理以及平面向量基本定理求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而求得正确答案.
【详解】过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以在三角形 SKIPIF 1 < 0 中，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在三角形 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
在三角形 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】平面向量的基本定理可以解决向量分解的问题，相当于向量线性运算.在求解几何图形问题的过程中，可考虑利用正弦定理或余弦定理来进行边角转化.
四、解答题
7．已知 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，Q是边AB（含端点）上的动点.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，O点为AP与CQ的交点，请用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若点Q使得 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围及 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由A、O、P三点共线，令 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后由C、O、Q三点共线，可求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求得结果；
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，化简后可表示出 SKIPIF 1 < 0 ，利用函数的单调性可求出其范围， SKIPIF 1 < 0 ，从而可求出其最大值.
【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵A、O、P三点共线，令 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ，
而C、O、Q三点共线，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
（2）可得 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
可知 SKIPIF 1 < 0 是关于t的函数在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】关键点点睛：此题考查平面向量基本定理的应用，考查平面向量数量积的运算，考查平面向量共线定理的应用，第（2）问解题的关键是根据题意将 SKIPIF 1 < 0 用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示出来，然后由 SKIPIF 1 < 0 列方程可表示出 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求得答案，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
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