2023-2024学年云南省曲靖市师宗县高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年云南省曲靖市师宗县高二（下）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集U={1,3,5,7,9}，M={x|x>4且x∈U}，N={3,7,9}，则M∩(∁UN)=( )
A. {1,5}B. {5}C. {1,3,5}D. {3,5}
2.已知复数z=a+2i，若z−⋅(3+i)是实数，则实数a=( )
A. 3B. −3C. 6D. −6
3.函数f(x)=tan(πx)的最小正周期为( )
A. 1B. 2C. πD. 2π
4.在等比数列{an}中，a6=23，公比q= 3，则a10=( )
A. 6B. 3 3C. 12D. 8 3
5.已知向量a=(m,−3)，b=(3m,m+2)，且a⊥b，则m=( )
A. 2B. −1C. 2或−1D. 2或−2
6.从由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的两位数中任取一个，则这个两位数大于40的个数是( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
7.如图，已知圆锥的轴截面是等边三角形，底面圆的半径为2，现把该圆锥打磨成一个球，则该球半径的最大值为( )
A. 33
B. 2 33
C. 23
D. 43
8.已知α∈(0,π)，且3cs2α+14csα+7=0，则tan2α=( )
A. −4 27B. − 23C. 23D. 4 27
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=−7，S2=−12，则下列结论正确的是( )
A. an=2n−9B. {an}为递减数列C. a3+a4=0D. S7=a1
10.已知函数f(x)=x+2x3+4，下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)在(−∞,−1)上单调递增
B. 函数f(x)在(1,+∞)上单调递减
C. 函数f(x)的极小值为13
D. 若f(x)=m有3个不等实根x1，x2，x3，则x1+x2+x3=0
11.设椭圆C：x22+y2=1的左右焦点为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是( )
A. |PF1|+|PF2|=2 2
B. 离心率e= 62
C. △PF1F2面积的最大值为 2
D. 以线段F1F2为直径的圆与直线x+y− 2=0相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)满足f(x)=f(2−x)，且f(x)是偶函数，在[0,1]上有f(x)=2x−1，则f(5)= ______．
13.如图，在直四棱柱A1B1C1D1−ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件______时，有A1C1⊥BD1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.)
14.已知抛物线C：y2=6x，过P(3,2)的直线l交抛物线C于A，B两点，且|PA|=|PB|，则直线l的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2ccsC+c2bcsB=ab2+ac2−a3．
(1)求A；
(2)若b+c=2，求a的最小值．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，AB⊥平面PAD，E是AD的中点，△PAD为等腰直角三角形，DP⊥AP，PA= 2AB．
(1)求证：PE⊥BD；
(2)求PC与平面PBE所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
某工厂在春节期间为职工举办了趣味有奖灯谜活动，有6个灯谜，编号为：1，2，…，6，6个灯谜中猜对1个获“小奖”，猜对3个获“中奖”，猜对6个获“大奖”．
(1)小王从6个灯谜中任取3个作答；设选中编号为1，2，3的灯谜的个数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；
(2)若小王猜对任一编号灯谜的概率为12，求小王在猜对编号为1，2的灯谜的条件下，获得“中奖”的概率．
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1过点M(3,4)，左、右顶点分别为A，B，直线MA与直线MB的斜率之和为3．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线右焦点F2的直线l交双曲线右支于P，Q(P在第一象限)两点，PF2=3F2Q，E是双曲线上一点，△PQE的重心在x轴上，求点E的坐标．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=xa−lnx−xea−x(a>0)．
(1)当a=1时，求函数f(x)的最小值；
(2)若f(x)≥0，求实数a的取值范围．
答案解析
1.B
2.C
3.A
4.A
5.C
6.B
7.B
8.D
9.AD
10.BCD
11.AD
12.1
13.BD⊥AC
14.3x−2y−5=0
15.解：(1)因为在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
b2ccsC+c2bcsB=a(b2+c2−a2)=a⋅2bccsA，
所以bcsC+ccsB=2acsA，
即sinBcsC+sinCcsB=2sinAcsA，
即sinA=2sinAcsA⇒csA=12,A∈(0,π)⇒A=π3；
(2)由余弦定理有a2=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc≥(b+c)2−3⋅(b+c2)2=1，
当且仅当b=c=1时取等号，
故a的最小值为1．
16.解：(1)证明：∵AB⊥平面PAD，又AB⊂平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面PAD，
又E是AD的中点，△PAD为等腰直角三角形，DP⊥AP，
∴PE⊥AD，且PE⊂平面PAD，
又平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD=AD，
∴PE⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，
∴PE⊥BD；
(2)连接CE，设PA= 2AB= 2，
则根据题意易得PE=1，CE= 2，
由(1)知PE⊥平面ABCD，又CE⊂平面ABCD，
∴CE⊥PE，又易证CE⊥BE，且PE∩BE=E，
∴CE⊥平面PBE，
∴PC与平面PBE所成角为∠CPE，
∵在Rt△CPE中，PE=1，CE= 2，∴PC= 3，
∴sin∠CPE=CEPC= 2 3= 63，
故PC与平面PBE所成角的正弦值为 63．
17.解：(1)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P(X=0)=C33C63=120，P(X=1)=23C31CC63=920，P(X=2)=13C32CC63=920，P(X=3)=C33C63=120，
所以X的分布列为：
所以E(X)=0×120+1×920+2×920+3×120=32；
(2)设事件A表示“小王获得“中奖””，事件B表示“小王猜对编号为1，2的灯谜”，
则P(AB)=12×12×C41×(12)4=116，P(B)=12×12=14，
所以P(A|B)=P(AB)P(B)=11614=14．
18.解：(1)易知双曲线C的左、右顶点分别为A(−a,0)，B(a,0)，
所以kMA+kMB=43+a+43−a=249−a2=3，
解得a2=1，
因为点M(3,4)在双曲线上，
所以9−16b2=1，
解得b2=2，
则双曲线方程为x2−y22=1；
(2)设直线l的方程为x=ty+ 3，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立x=ty+ 3x2−y22=1，消去x并整理得(2t2−1)y2+4 3ty+4=0，
此时Δ=16(t2+1)>0，
由韦达定理得y1+y2=−4 3t2t2−1，y1y2=42t2−1，
因为PF2=3F2Q，
所以y1=−3y2，
此时−2y2=−4 3t2t2−1−3y22=42t2−1，
解得t2=111，
此时−3y22=42t2−1=−449，
解得y2=− 4427，
因为△PQE的重心在x轴上，
所以yE+y1+y2=0，
所以yE=2y2=−4 339，
代入双曲线得xE=± 3459．
故E(− 3459,−4 339)或E( 3459,−4 339)．

19.解：(1)当a=1时，令f(x)=x−lnx−xe1−x，
f′(x)=1−1x−1−xex−1=(x−1)(1x+1ex−1)，令f′(x)>0，得x>1，
故函数f(x)的减区间为(0,1)，增区间为(1,+∞)．
可得f(x)min=f(1)=0，故当a=1时，函数f(x)的最小值为0．
(2)由题意有f(1)=1a−ea−1≥0，
又由函数g(x)=1x−ex−1(x>0)单调递减，且g(1)=0，可得0下面证明：当0由函数ℎ(a)=xa−lnx−xea−x(0由(1)有x−lnx−xe1−x≥0，故有ℎ(a)≥0，
故若f(x)≥0，则实数a的取值范围为(0,1]．
X
0
1
2
3
P
120
920
920
120