2023-2024学年宁夏石嘴山三中高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年宁夏石嘴山三中高二（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x2−4x+3≤0}，B={x|2a>cD. a>b>c
6.用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度及测量技术的原因，测得n个数据a1，a2，a3，⋯，an，当x为( )时，能使这n个数据的方差f(x)=1ni=1n(x−a1)2最小．
A. max{a1,a2,a3,⋯,an}B. min{a1,a2,a3,⋯,an}
C. na1a2a3⋯anD. 1ni=1nai
7.标准对数远视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的1010倍，若视力4.1的视标边长为a，则视力4.9的视标边长为( )
A. 1045a
B. 10910a
C. 10−45a
D. 10−910a
8.已知实数a，b满足a=e2−a，1+lnb=e1−lnb，则ab=( )
A. 1eB. 1C. eD. e2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.求下列函数的导数，其中正确的是( )
A. (x2+lg3x)′=2x+1xln3B. (csxx)′=−xsinx+csxx2
C. (x3ex)′=(3x2+x3)exD. (xcs2x)′=cs2x+2xsin2x
10.下列说法正确的是( )
A. y= 1+x⋅ 1−x与y= 1−x2表示同一个函数
B. 函数f(2x−1)的定义域为(−1,2)，则函数f(1−x)的定义域为(−2,4)
C. 已知函数f(x)=−x2−ax−5(x≤1)ax(x>1)在(−∞,+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是[−3,−1]
D. 函数y=1−x+ 1−2x的值域为[12,+∞)
11.设函数f(x)=2x3+3ax2+1，则( )
A. 当a0时，x=0是f(x)的极大值点
C. 存在a，b，使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴
D. 存在a，使得点(1,−3)为曲线y=f(x)的对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)= x−ax，若f(x)在[1,4]上单调递减，则a的取值范围______．
13.设a>1，若1lg9a−3lga27=1，则a= ______．
14.已知函数f(x)=x2+alnx有两条与直线y=2x平行的切线，且切点坐标分别为P(x1,f(x1))，Q(x2,f(x2))，则x1x2x1+x2的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=13x3−x2+1．
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)设f(x)在区间[−1,4]上的最大值和最小值分别为M，m，求M−m．
16.(本小题15分)
(1)已知曲线y=x3+x−2在点P0处的切线l垂直于直线x+4y−1=0，且点P0在第三象限，求点P0的坐标；
(2)在平面直角坐标系xOy中，记曲线f(x)=2x−mx(x∈R,m≠−2)在x=1处的切线为直线l1，若直线l1在两坐标轴上的截距之和为12，求l1的方程．
17.(本小题15分)
为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场.根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如表．
(1)根据上表数据，从①y=ax+b(a≠0)，②y=ax+bx(a>0,b>0)中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系(无需说明理由)，并利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；
(2)记你所选取的函数y=f(x)，若存在x∈[16,+∞)，使得不等式kf(x)−2k2−48≤0成立，求正实数k的取值范围．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex+ax2，a∈R．
(1)若a=1，求limΔx→0f(1+2Δx)−f(1)Δx；
(2)讨论f′(x)的单调性；
(3)若f(x)在(0,+∞)上有两个零点，求a的取值范围．
19.(本小题17分)
泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式.当f(x)在x=0处的n(n∈N∗)阶导数都存在时，它的公式表达式如下f(x)=f(0)+f′(0)x+f″(0)2!x2+f‴(0)3!x3+⋯+fn(0)n!xn+⋯.注：f′(0)表示函数f(x)在原点处的一阶导数，f″(0)表示在原点处的二阶导数，以此类推，和fn(0)(n≥3)表示在原点处的n阶导数．
(1)求f(x)=ln(1+x)的泰勒公式(写到含x3的项为止即可)，并估算ln1.1的值(精确到小数点后三位)；
(2)当x>0时，比较ln(1+x)与x−x22的大小，并证明；
(3)设n∈N∗，证明：k=1n2k−12k2ln(−2a)，令g′(x)2，令 ℎ′(x)0时有g(x)=ln(1+x)−x+x22>g(0)=0，
所以ln(1+x)>x−x22．
(3)证明：由(2)得，ln(1+1k)>1k−1k22=1k−12k2，即ln(k+1)−lnk>1k−12k2，k∈N∗，
所以(ln2−ln1)+(ln3−ln2)+⋯+(ln(n+1)−lnn)>k=1n(1k−12k2)，即ln(n+1)>k=1n2k−12k2，
令ℎ(x)=ln(1+x)−x，x>0，则ℎ′(x)=11+x−1=−x1+x