2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市东方红中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市东方红中学高一（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数z=2024i20241+i(其中i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.冰嘎别名冰叅，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”，通常以木镞之，大小不一，一般径寸余，上端为圆柱形，下端为锥形(如图①).如图②所示的是一个陀螺立体结构图，已知B，C分别是上、下底面圆的圆心，AC=8，AB=3，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积为( )
A. 24πB. 32πC. 56π3D. 9π
3.已知向量a，b满足|a|=3，|b|=2，|a+b|= 19，则|2a−3b|=( )
A. 3B. 3 2C. 6D. 3 6
4.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=π3,b=4，下面使得△ABC有两组解的a的值可以为( )
A. 3B. 13C. 2D. 2 3
5.如图，正六边形的边长为2 3，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则MA⋅MB的取值范围为( )
A. [9,12]
B. [8,11]
C. [8,10]
D. [10,12]
6.若角α的终边经过点(1,−2)，则sinα+3cs3α6cs3α−2sinαcs2α+sin2α=( )
A. − 510B. 55C. 12D. 110
7.古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面上B，C两点与点A在一条直线上，且在点A的同侧，若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和30°，且BC=150m，则该球体建筑物的最高点距离地面为( )
A. 150mB. 75(1+ 3)mC. 75(2− 3)mD. 75 3m
8.已知三棱锥S−ABC的四个顶点均在同一球面上，AB=BC= 3,AC=3，且三棱锥S−ABC体积的最大值为 32，则该球的表面积为( )
A. 12πB. 24πC. 49π4D. 343π48
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 已知复数z满足iz=(1−i)(2+i)，i为虚数单位，则z是方程x2+2x+10=0的一个根
B. 已知sinx=−1213，x∈(π,3π2)，则x=π+arcsin1213
C. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D. cs36°cs72°=18
10.已知函数f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)，且f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点，则( )
A. ω的取值范围是[73,176)
B. f(x)的图像在(0,2π)上最多有5条对称轴
C. f(x)的图像在(0,2π)上有3个最大值点
D. f(x)在(0,π17)上单调递增
11.如图，已知圆锥的底面圆心为O，半径r= 3，圆锥的体积为π，内切球的球心为O1，则下列说法正确的是( )
A. 侧面积为2 3π
B. 内切球O1的表面积为(84−48 3)π
C. 过点P作平面α截圆锥的截面面积的最大值为 3
D. 设母线PB中点为M，从A点沿圆锥表面到M的最近路线长为 5−4cs 3π2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′=6，C′D′=4，则四边形ABCD的周长为______．
13.在锐角三角形ABC中，(2−b)(sinA+sinB)=(c−b)sinC，若a=2，则b2+c2的取值范围是______．
14.已知平面向量a,b，且|a|=|b|=2,a⋅b=2，向量c满足|c−2a−2b|=|a−b|，则当|c−λb|(λ∈R)成最小值时λ= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
图①是一块正四棱台ABCD−A1B1C1D1的铁料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm，O1，O分别是上、下底面的中心，棱台高30cm．
(1)求正四棱台ABCD−A1B1C1D1的表面积；
(2)若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台(如图②)，求削去部分与圆台的体积之比．
16.(本小题15分)
在△ABC中，点E，F是△ABC所在平面内的两点，AB=3，AC=2，∠BAC=π3，CE+BE=0，AC=3FC．
(1)以AB，AC为基底表示向量EF，并求|EF|；
(2)D为直线EF上的一点，设CD=xAB+yAC(x,y是实数)，若直线CD经过△ABC的垂心，求x，y的值．
17.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3(a−b)c=3sinC−2sinBsinA+sinB．
(1)求sinA；
(2)若△ABC的面积为16 23．
(i)已知E为BC的中点，求AE的最小值；
(ii)求内角A的平分线AD的最大值．
18.(本小题17分)
设fn(x)=sinnωx+csnωx，其中ω>0，n∈N∗．
(1)若f6(x)的最小正周期为π，求ω的值；
(2)若对任意x1,x2∈[π16,π12],x10，所以sinA= 3csA，所以tanA= 3，
因为A∈(0,π)，所以A=π3．
(2)由(1)得csA=b2+c2−a22bc=12，
所以b2+c2−a2=bc，又a2−(b−c)2=4，所以bc=4，
如图，设|HA|=x,|HB|=y,|HC|=z，

因为A=60°，所以△ABC的三个内角均小于120°，
所以根据题意可得∠AHB=∠BHC=∠AHC=120°，
又S△AHB+S△BHC+S△AHC=S△ABC，
所以12⋅xy⋅ 32+12⋅yz⋅ 32+12⋅xz⋅ 32=12⋅bc⋅ 32．
则xy+yz+xz=bc=4．
所以HA⋅HB+HB⋅HC+HA⋅HC=xy⋅(−12)+yz⋅(−12)+xz⋅(−12)
=−12(xy+yz+xz)=−2．
(3)证明：在△ABC中，由余弦定理以及三角形的面积公式得：
1tan∠BAC=cs∠BACsin∠BAC=b2+c2−a22bcsin∠BAC=b2+c2−a24S△ABC，
1tan∠ABC=cs∠ABCsin∠ABC=a2+c2−b22asin∠ABC=a2+c2−b24S△ABC，
1tan∠ACB=cs∠ACBsin∠ACB=a2+b2−c22absin∠ACB=a2+b2−c24S△ABC，
三式相加可得1tan∠BAC+1tan∠ABC+1tan∠ACB=a2+b2+c24S△ABC，①
在△PAB中，由余弦定理以及三角形的面积公式得：
1tanθ=csθsinθ=AP2+c2−BP22AP⋅csinθ=AP2+c2−BP24S△PAB．
在△PBC和△PCA中，同理可得1tanθ=BP2+a2−CP24S△PBC,1tanθ=CP2+b2−AP24S△ACA．
所以1tanθ=AP2+c2−BP24S△PAB=BP2+a2−CP24S△PBC=CP2+b2−AP24S△CCA，
因为S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PCA．
由等比性质得1tanθ=AP2+c2−BP2+BP2+a2−CP2+CP2+b2−AP24S△PAB+4S△PBC+4S△NA=a2+b2+c24S△ABC，②
由①②式可证得1tanθ=1tan∠BAC+1tan∠ABC+1tan∠ACB．