2024年广东省广州113中中考数学四模试卷（含答案）

这是一份2024年广东省广州113中中考数学四模试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.赤道长约为40000000m，用科学记数法可以把数字40000000表示为( )
A. 4×107B. 40×106C. 400×105D. 40000×103
2.下列各数：−4，−2.5，0，|−1|，其中比−3小的数是( )
A. −2.5B. |−1|C. −4D. 0
3.下列几何体的主视图既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. 9=±3B. (−7)2=−7
C. 3ab−ab=2D. (−2x2)2=4x4
5.如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点F在AB边上，AE⊥CF且AE平分∠BAC，已知DE=1，AC=4，则AB的长为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
6.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲)，把余下的部分拼成一个矩形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式( )
A. (a+b)2=a2+2ab+b2B. (a−b)2=a2−2ab+b2
C. a2−b2=(a+b)(a−b)D. (a+2b)(a−2b)=a2−ab−2b2
7.▱ABCD中，AB，BC的长分别等于一元二次方程x2−5x+6=0两根之和与两根之积，则对角线AC长的取值范围是( )
A. AC>1 B. 15或AC<11 D. 18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点.若点B′恰好落在AB边上，则点A到直线A′C的距离等于( )
A. 3 3B. 2 3C. 2D. 3
9.规定”△”为有序实数对的运算，如果(a,b)△(c,d)=(ac+bd,ad+bc).如果对任意实数a，b都有(a,b)△(x,y)=(a,b)，则(x,y)为( )
A. (0,1)B. (1,0)C. (−1,0)D. (0,−1)
10.如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AB=4，BC=6，不改变矩形的形状和大小，当顶点A在x轴正半轴上左右移动时，另一顶点D始终在y轴正半轴上随之上下移动.则下列说法：①当ODOA=23时，对角线BD//x轴；②在矩形运动过程中，C、O两点有最大距离8；③M为AD中点，当△ODM的面积是92时，△OAD是等腰三角形.其中正确的是( )
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.因式分解：ax2−2ax+a=______．
12.分式方程2x−1=1的解为______．
13.代数式1 x−8有意义时，x应满足的条件是 ．
14.如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是____(结果保留π)．
15.如图，线段AB表示连通A、B两市之间的公路，两市相距150km，分别从A、B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示，tanα=1.6，tanβ=1.4.则C处到公路AB的距离为______km．
16.如图，△ABC中，∠B=60°，AD为BC边上的中线，则ACAD的最小值为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
解方程组3x−y=63x−5y=6．
18.(本小题4分)
如图，点E、F在线段BC上，AB//CD，∠A=∠D，BE=CF，证明：AE=DF．
19.(本小题6分)
已知H=(1b−1a)÷a2−2ab+b22ab(a≠0,b≠0，且a≠b)．
(1)化简H；
(2)若数轴上点A、B表示的数分别为a，b，且AB=2，求H的值．
20.(本小题6分)
广州市某中学响应国家政策，减轻家长负担，为学生提供优质午托.食堂为参加午托的960名同学提供了A、B、C、D四种套餐，为了解同学对这四种套餐的喜好情况，学校随机抽取了240名进行“你最喜欢哪一种套餐(必选且只选一种)”问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：

(1)在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为______，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为______；
(2)依据本次调查的结果，估计所有午托同学中最喜欢B套餐的人数；
(3)如果你是学生会主席，你决定从甲、乙、丙、丁四名学生会干部中随机选两人担任食堂“食品安全监督员”，求甲被选到的概率．
21.(本小题8分)
史载伟大诗人屈原之弟子宋玉与楚怀王对话，赞美东家之子“增之一分则太长，减之一分则太短，著粉则太白，施朱而太赤…”．
(1)据考据，当时一分约为现在的0.3厘米，若东家之子增十分后的身高是减十分后身高的1.03倍，求其身高是多少厘米？
(2)楚时好华服，东家之子欲买绢与锦共12匹制成裳，绢价每匹15钱，锦价每匹20钱，若锦的数量不少于绢数量的2倍，请你为他设计一种购买方案，使所需总费用最低．
22.(本小题10分)
如图，点P是⊙O直径AB延长线上一点．
(1)尺规作图：在⊙O外作点M，使PM=PQ，MO=AB；(只需作一种情况，不写作法，保留作图痕迹)
(2)连接PM，OM，OM交⊙O于点N．
①求证：PN⊥ON；
②若AB=6，PB=2，求sin∠APM．
23.(本小题10分)
如图，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线y=kx(k>0)经过边OB的中点C和AE的中点D.已知等边△OAB的边长为4．
(1)求该双曲线所表示的函数解析式；
(2)求等边△AEF的边长．
24.(本小题12分)
已知一次函数y1=4x−12的图象与x轴相交于点A，二次函数y2=ax2+bx+c的图象过点A与B(−1,0)．
(1)求c与a之间的等量关系式；
(2)若对于任意实数x，总有y2−y1≥0，求二次函数的解析式；
(3)记(2)中抛物线与y轴交点为C，点Q为对称轴上一动点，当∠BQC>45°时，求点Q纵坐标的取值范围．
25.(本小题12分)
如图，点A是圆中优弧DC上一动点，CB平分∠ACD，AG平分∠DAC交BC于点G，AD交BC于E．
(1)求证：∠AGC=90°+12∠D；
(2)若BE⋅BC=25，求BG的长；
(3)记CGAG=k，BG=a，∠DAC=n°，求在点A运动过程中，点G运动路径长(用含n，a，k的式子表示)．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.D
5.B
6.C
7.D
8.D
9.B
10.D
11.a(x−1)2
12.x=3
13.x>8
14.8−2π
15.50
16. 21− 33
17.解：3x−y=6①3x−5y=6②，
①−②得：y=0，
把y=0代入①得：x=2，
∴方程组的解为：x=2y=0．
18.证明：∵AB//CD，
∴∠B=∠C．
在△ABE和△DCF中，
∠A=∠D∠B=∠CBE=CF,
∴△ABE≌△DCF(AAS)．
∴AE=DF．
19.解(1)H=(1b−1a)÷a2−2ab+b22ab
=a−bab÷(a−b)22ab
=a−bab⋅2ab(a−b)2
=2a−b；
(2)∵数轴上点A、B表示的数分别为a，b，且AB=2，
∴a−b=±2，
∴H=2±2=±1．
20.(1)在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为：240×25%=60，
扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为：360°×240−60−84−24240=108°，
故答案为：60，108°；
(2)960×84240=336(人)，
答：估计所有午托同学中最喜欢B套餐的有336人；
(3)树状图如下所示，
由上可得，一共有12种等可能性，其中甲被选到的可能性有6种，
故甲被选到的概率为612=12．
21.解：(1)设东家之子的身高是x厘米，
根据题意得：x+0.3×10=1.03(x−0.3×10)，
解得：x=203．
答：东家之子的身高是203厘米；
(2)设购买m匹绢，则购买(12−m)匹锦，
根据题意得：12−m≥2m，
解得：m≤4．
设所需总费用为w钱，则w=15m+20(12−m)，
即w=−5m+240，
∵−5<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=4时，w取得最小值，此时12−m=12−4=8．
答：当购买4匹绢，8匹锦时，所需总费用最低．
22.(1)解：图形如图所示：

(2)①证明：∵OM=AM.AO=OB=ON，
∴ON=MN，
∵PO=PM，
∴PN⊥OM；
②过点M作MH⊥AP于点H．
∵ON=12AB=3，OP=AB+PB−AO=6+2−3=5，
∵PN⊥OM，
∴PN= OP2−ON2= 52−32=4，
∵S△OPM=12⋅OM⋅PN=12⋅OP⋅MH，
∴MH=6×45=245，
∴sin∠APM=MHPM=2455=2425．
23.解：(1)过点C作CG⊥OA于点G，
∵点C是等边△OAB的边OB的中点，
∴OC=2，∠AOB=60°，
∴OG=1，CG=OG⋅tan60°=1⋅ 3= 3，
∴点C的坐标是(1, 3)，
由 3=k1，得：k= 3，
∴该双曲线所表示的函数解析式为y= 3x；
(2)过点D作DH⊥AF于点H，设AH=a，则DH= 3a.
∴点D的坐标为(4+a, 3a)，
∵点D是双曲线y= 3x上的点，
由xy= 3，得 3a(4+a)= 3，
即：a2+4a−1=0，
解得：a1= 5−2，a2=− 5−2(舍去)，
∴AD=2AH=2 5−4，
∴等边△AEF的边长是2AD=4 5−8．
24.解：(1)一次函数y1=4x−12的图象与x轴相交于点A，则点A(3,0)，
由题意得，抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−3)=a(x2−2x−3)，
即c=−3a；
(2)由对于任意实数x，总有y2−y1≥0知，抛物线和一次函数只有一个交点A，
联立两个函数表达式得：a(x2−2x−3)=4x−12，
则Δ=(2a+4)2−4a(12−3a)=0，
解得：a=1，
则抛物线的表达式为：y=x2−2x−3；
(3)作△ABC的外接圆E，根据函数和圆的对称性点E在抛物线的对称轴上，设抛物线的对称轴交圆于点P、P′，

∵∠CAB=45°=∠BPC=∠BP′C，
故当点Q在P、P′之间时，∠BQC>45°，
设点E(1,m)，
由AE=CE得：(1−3)2+m2=1+(m+3)2，
解得：m=−1，
则点E(1,−1)，
则圆E的半径R= 1+22= 5，
则点P、P′的坐标分别为：(1, 5−1)、(1,− 5−1)，
则点Q纵坐标的取值范围为：− 5−125.(1)证明：∵CB平分∠ACD，
∴∠ACG=12∠ACD．
∵AG平分∠DAC，
∴∠CAG=12∠DAC，
∵∠AGC=180°−∠ACG−∠CAG，
∴∠AGC=180°−12(∠ACD+∠DAC)，
∵∠D+∠DAC+∠ACD=180°，
∴∠ACD+∠DAC=180°−∠D，
∴∠AGC=180°−12(180°−∠D)．
∴∠AGC=90°+12∠D；
(2)解：连接AB，如图，
∵CB平分∠ACD，
∴∠ACB=∠DCB，
∴BD=AB，
∴∠BAD=∠ACB．
∵∠B=∠B，
∴△ABE∽△CBA，
∴ABBE=BCAB，
∴AB2=BE⋅BC=25，
∴AB=5．
∵AG平分∠DAC，
∴∠GAC=∠GAD，
∵∠AGB=∠GAC+∠GCA，∠BAG=∠GAD+∠BAD，
∴∠AGB=∠BAG，
∴BG=AB=5；
(3)解：延长AG，交圆于点F，连接FD，FC，AB，如图，
∵AG平分∠DAC，
∴∠DAF=∠CAF，
∴DF=CF，
∴FD=FC，∠DCF=∠FAC．
∵CB平分∠ACD，
∴∠ACB=∠DCB，
∵∠FGC=∠GAC+∠ACB，∠FCB=∠DCF+∠DCB，
∴∠FGC=∠FCB，
∴FG=FC，
∴FG=FB=FC，
∴点G运动路径为以点F为圆心，FD为半径的圆弧CD．
∵∠ABG=∠AFC，∠BAF=∠BCF，
∴△ABG∽△CFG，
∴BGFG=AGCG，
∵CGAG=k，BG=a，
∴FG=ka．
∵四边形ADFC为圆的内接四边形，
∴∠DFC+∠DAC=180°，
∵∠DAC=n°，
∴∠DFC=180°−n．
∴点G运动路径长=(180−n)πka180．