2023-2024学年湖南省益阳市安化县高二下学期7月期末考试数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年湖南省益阳市安化县高二下学期7月期末考试数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合P=−1,0,1，Q=x∈R−1≤x0D. 当a=12时，f(x)min=0
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列an前n项和为Sn，Sn=2n2−n，则下列结论成立的有( )
A. 数列an为等差数列
B. 数列Snn的前100项和为10000
C. 若a2a3=a1ak，则k=4
D. 若1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1an−1an>833，则n的最小值为8
10.湖南张家界是5A级景区，有许多好看的景点．李先生和张先生预选该景区的玻璃栈道和凤凰古城游玩．李先生和张先生第一天去玻璃栈道和凤凰古城游玩的概率分别为0.3和0.7，如果他们第一天去玻璃栈道，那么第二天去玻璃栈道的概率为0.7；如果第一天去凤凰古城，那么第二天去玻璃栈道的概率为0.6.设A1=“第一天去玻璃栈道”；A2=“第二天去玻璃栈道”；B1=“第一天去凤凰古城”；B2=“第二天去凤凰古城”，则( )
A. PA2A1=0.7B. PA2B1=0.3C. PA2=0.63D. PB2=0.37
11.已知函数f(x)=(x−2)ex下列说法正确的是( )
A. f(x)的单调减区间是(−∞,2)
B. x=1是函数f(x)的一个极值点
C. f(x)只有一个零点
D. f(x)≥a对任意的x∈R恒成立时，a取值范围为(−∞,−e]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(−1,2)，b=(t,1)，若a//b，则实数t= ．
13.若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如208,136都是“十全十美数”，则一共有 个“十全十美数”．
14.若函数f(x)=xex−(m−1)e2x存在唯一极值点，则实数m的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在▵ABC中， 3sinA−csA=1．
(1)求角A；
(2)D为边BC的中点，AD= 3，求▵ABC面积的最大值．
16.(本小题12分)
树人中学为了落实教育部颁布的“五项管理”，举办高二学生跳绳比赛，学校根据男女生比例从男生中随机抽取120人，女生中随机抽取100人，进行成绩统计分析，其中成绩在160分以上为优秀，根据样本统计数据分别制作了男生、女生成绩频数分布表：
男生成绩：
女生成绩：
(1)①根据上述数据完成下列2×2列联表：
②依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关？
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，(n=a+b+c+d)，
(2)以样本中的频率作为概率，从高二跳绳比赛成绩优秀的学生中随机抽取3人参加全市中学生跳绳比赛.设3人中女生人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx，g(x)=kx．
(1)F(x)=f(x)+ax，求F(x)的单调区间；
(2)若方程f(x)=g(x)有两个解，求k的取值范围；
18.(本小题12分)
已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(−1,0)、F2(1,0)，M在椭圆E上，且△MF1F2面积的最大值为 3．
(1)求椭圆E的方程；
(2)直线l:y=kx+m与椭圆E相交于P，Q两点，且4k2+3=4m2，求证：△OPQ(O为坐标原点)的面积为定值．
19.(本小题12分)
立德中学高中数学创新小组开展一项数学实验(1)给出两块相同的边长都为8cm的正三角形薄铁片(如图1、图2)，其中图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥；图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形(阴影部分)每个四边形中有且只有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)形容器．
(1)试求图1剪拼的正三棱锥体积的大小；
(2)设正三棱柱底面边长为x，将正三棱柱形容器的容积V表示为关于x的函数，并标明其定义域，并求其最值．
(3)如果给出的是一块任意三角形的纸片(如图3)，要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请仿照图2设计剪拼方案，用虚线标示在图3中，并作简要说明．
参考答案
1.C
2.D
3.A
4.D
5.B
6.B
7.B
8.C
9.AB
10.ACD
11.BCD
12.−12##−0.5
13.54
14.−∞,1
15.解：(1)
根据题意， 3sinA−csA=1，
则sinA−π6=12，由于A∈0,π，则A−π6∈−π6,5π6，
则A−π6=π6，所以A=π3；
(2)
因为D为边BC的中点，所以AD=12AB+AC，
则AD2=14AB+AC2=14AB2+AC2+2AB⋅AC，
即3=14c2+b2+2bccsπ3=14c2+b2+bc≥34bc，
所以bc≤4，当且仅当b=c=2时，等号成立，
所以S△ABC=12bcsinA≤12×4× 32= 3，
所以▵ABC面积的最大值为 3．

16.解：(1)
①依题意可得2×2列联表：
②零假设H0为跳绳比赛成绩优秀与性别独立，
由列联表可得χ2=22080×60−40×402120×100×120×100=70445≈15.644>10.828=x0.001，
依据小概率值α=0.001的独立性检验，可以认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关，
该结论犯错误的概率不超过0.001．
(2)
高二跳绳比赛成绩优秀的学生中女生的概率为40120=13，
则X∼B3,13，所以X的可能取值为0、1、2、3，
则PX=0=C301301−133=827，PX=1=C311311−132=1227=49
PX=2=C321321−131=627=29，PX=3=C331331−130=127，
所以X的分布列为：
所以EX=3×13=1．

17.解：(1)
由题意，函数定义域为{x|x>0}，
F(x)=lnx+ax，F′(x)=1x−ax2=x−ax2，
当a≤0时，F′(x)>0恒成立，即F(x)在(0,+∞)单调递增；
当a>0时，令F′(x)>0，则x>a；令F′(x)