2023-2024学年四川省攀枝花市高一下学期期末教学质量监测数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年四川省攀枝花市高一下学期期末教学质量监测数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.某中学高一、高二、高三年级的学生分别为900人、950人、1000人，为了解不同年级学生身体素质情况，现用比例分配的分层随机抽样的方法从高三年级抽取了40人，则其他年级应该抽取的学生人数为( )
A. 36B. 38C. 74D. 114
2.下列命题中正确的是( )
A. 三点确定一个平面
B. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
C. 圆的一条直径与圆上一点可确定一个平面
D. 四边形可确定一个平面
3.已知e是单位向量，a=6，若a在e方向上的投影向量是−3e，则a与e的夹角为( )
A. π6B. 5π6C. 3π4D. 2π3
4.复数(1−i1+i)9=( )
A. −iB. iC. −1D. 1
5.已知随机事件A，B，C中，A与B相互独立，B与C对立，且P(A)=0.3，P(C)=0.6，则P(A∪B)=( )
A. 0.4B. 0.58C. 0.7D. 0.72
6.已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列说法正确的是( )
A. 若α⊥β，m⊂α，则m⊥βB. 若m⊥α，m⊥n，则n//α．
C. 若m//α，n//β，α//β，则m//nD. 若m//n，m⊥α，n//β，则α⊥β
7.将半径为2，圆心角为π的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为( )
A. 33πB. 2 33πC. 3πD. 2 3π
8.2022年12月26日，位于攀枝花市三线文化广场的三线建设英雄纪念碑正式落成，与攀枝花中国三线建设博物馆交相呼应，充分展示三线建设的丰功伟绩，传承弘扬“三线精神”，凝聚赓续奋斗的力量源泉、某校研究性学习小组想要测量该纪念碑的高度，现选取与碑底D在同一个水平面内的两个测量基点A与B，现测得∠DAB=45∘，∠ABD=60∘，AB=63米，在点A处测得碑顶C的仰角为30°，则纪念碑高CD约为( )(结果保留整数，参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7)
A. 27米B. 33米C. 39米D. 40米
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于复数z及其共轭复数z，下列说法正确的是( )
A. |z|2=z2B. |z|2=|z|2
C. z⋅z=|z|2D. z−z一定是纯虚数
10.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚正面朝上”，事件B=“第二枚正面朝上”，事件C=“两枚均正面朝上”，下列说法正确的是( )
A. A∪B=ΩB. B∩C=CC. A与B相互独立D. A与C互斥
11.下列有关平面向量的说法中正确的是( )
A. 已知a，b均为非零向量，若|a+b|=|a−b|，则a⊥b
B. 若a⋅c=b⋅c且c≠0，则a=b
C. 在▵ABC中，若AD=13AB+23AC，则点D为BC边上靠近C的三等分点
D. 在平面四边形ABCD中，若OA+OC=OB+OD，则四边形ABCD为矩形
12.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=1，AB=BC= 3，cs∠ABC=13，点D是A1C1的中点，点P为线段A1B上的一个动点，下列说法正确的是( )
A. 平面B1CD与底面ABC的交线平行于B1D
B. 三棱锥P−B1CD的体积为定值
C. 异面直线A1B与CD所成的角为30∘
D. AP+PC1的最小值为 7
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一组数据6，7，8，a，12的平均数为7，则此组数据的极差为 ．
14.已知平面向量a与b的夹角为π6，且|a|=1，|b|= 3，则|a−2b|= ．
15.甲、乙、丙三名同学参加某项技能测试，已知甲、乙、丙通过测试的概率分别为12，23，34，且三人是否通过测试彼此独立，则甲、乙、丙三人中恰有两人通过测试的概率为 ．
16.正四面体P−ABC外接球的体积为 6π，则其内切球的表面积为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知点A(1,2)，B(2,4)，C(4,k)．
(1)若A，B，C三点共线，求|AC|；
(2)若AB⊥(AB−AC)，求cs⟨AB,AC⟩．
18.(本小题12分)
袋中有6个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是12，得到黄球或绿球的概率是23，试求：
(1)从中任取一球，得到黑球．黄球．绿球的概率各是多少？
(2)从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？
19.(本小题12分)
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创建者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均不低于40分)分成六段：40,50,50,60，…，90,100，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值，并求样本成绩的第75百分位数；
(2)现从以上各段中采用样本量比例分配的分层随机抽样再抽取20份答卷作为“典型答卷”进一步统计研究，若落在80,90的“典型答卷”的平均成绩与方差分别是82和8，落在90,100的“典型答卷”的平均成绩与方差分别是96和1，据此估计这100份答卷中落在80,100的所有答卷的成绩的方差s2．
20.(本小题12分)
如图，AE⊥平面ABCD，CF//AE，BF//平面ADE．

(1)求证：AD//BC；
(2)若AD⊥AB，AB=AD=CF=2，AE=BC=4，求三棱锥F−BCE的体积．
21.(本小题12分)
在①b1+csA= 3asinB，② 3bcsB+C2=asinB，③asinC=ccsA−π6这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．
▵ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知___________(只需填序号)．
(1)求角A；
(2)设D是BC上一点，且CD=2DB，|AD|=1，求▵ABC面积的最大值．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
22.(本小题12分)
如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将▵AED、▵CFD分别沿DE、DF折起，使A，C两点重合于P，连接EF，PB．
(1)求证：EF⊥PB；
(2)点M是PD上一点，若直线MF与平面PEF所成角的正切值为12，求二面角M−EF−D的余弦值．
参考答案
1.C
2.B
3.D
4.A
5.B
6.D
7.A
8.C
9.BC
10.BCD
11.AC
12.ABD
13.10
14. 7
15.1124
16.2π3 或23π
17.解：(1)
点A(1,2)，B(2,4)，C(4,k)，则AB=(1,2)，AC=(3,k−2)，
由A，B，C三点共线，得AB//AC，则k−2=3×2，解得k=8，即AC=(3,6)，
所以|AC|= 32+62=3 5．
(2)
由(1)知，AB=(1,2)，AB−AC=CB=(−2,4−k)，
由AB⊥(AB−AC)，得AB⋅(AB−AC)=−2+2(4−k)=0，解得k=3，AC=(3,1)，
所以cs⟨AB,AC⟩=AB⋅AC|AB||AC|=5 5× 10= 22．

18.解：(1)从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，
由于A，B，C为互斥事件，
根据已知得P(A)+P(B)+P(C)=1P(A)+P(B)=12P(B)+P(C)=23,
解得P(A)=13P(B)=16P(C)=12,
∴从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是13,16,12；
(2)由(1)知黑球、黄球、绿球个数分别为2，1，3，
得到的两个球同色的可能有：两个黑球只有1种情况，两个绿球共3种情况，
而从6个球中取出2个球的情况共有15种，
所以两个球同色的概率为：1+315=415，
则得到的两个球颜色不相同的概率是：1−415=1115．

19.解：(1)
由频率分布直方图各小矩形的面积之和为1，
得0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010×10=1，所以a=0.030；
成绩落在40,80内的 频率为0.005+0.010+0.020+0.030×10=0.65，
落在40,90内的频率为0.005+0.010+0.020+0.030+0.025×10=0.9，
则第75百分位数m∈(80,90)，0.65+m−80×0.025=0.75，解得m=84，
所以第75百分位数为84．
(2)
依题意，抽取20份答卷中，落在80,90内的有20×0.25=5(份)，落在90,100内的有20×0.1=2(份)，
落在80,100的“典型答卷”的平均成绩x=82×5+96×25+2=86，
落在80,100的“典型答卷”的方差s2=57[8+(82−86)2]+27[1+(96−86)2]=46，
所以估计这100份答卷中落在80,100的所有答卷的成绩的方差为46．

20.解：(1)
由CF//AE，AE⊂平面ADE，CF⊄平面ADE，得CF//平面ADE，
而BF//平面ADE，BF∩CF=F,BF,CF⊂平面BCF，则平面BCF//平面ADE，
又平面BCF∩平面ABCD=BC，平面ADE∩平面ABCD=AD，
所以AD//BC．
(2)
由CF//AE，CF⊂平面BCF，AE⊄平面BCF，得AE//平面BCF，
则点E到平面BCF的距离等于点A到平面BCF的距离，
由AE⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，得AE⊥AB，而AD⊥AB，
AE∩AD=A,AE,AD⊂平面ADE，则AB⊥平面ADE，
由(1)知平面BCF//平面ADE，则AB⊥平面BCF，即点E到平面BCF的距离为AB=2，
由已知得CF⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，得CF⊥BC，▵BCF的面积S▵BCF=12CF⋅BC=4，
三棱锥F−BCE的体积VF−BCE=VE−BCF=13S▵BCF⋅AB=13×4×2=83，
所以三棱锥F−BCE的体积为83．

21.解：(1)
若选①b1+csA= 3asinB，则sinB1+csA= 3sinAsinB，
因为sinB≠0，所以 3sinA−csA=2sinA−π6=1，即sinA−π6=12，
因为0