2023-2024学年四川省成都市第七中学高二下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年四川省成都市第七中学高二下学期期末考试数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若集合A=1,2,3，B=x,y|x+y−4>0,x,y∈A，则集合B的真子集个数为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
2.已知向量a=x,1−x，b=x+3,9，若a⊥b，则( )
A. x=−2B. x=−12C. x=3D. x=72
3.已知a=2,−1,3是直线l的方向向量，b=m,2,−1是平面α的法向量，若l//α，则m=( )
A. −4B. −52C. 52D. 4
4.已知等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn，且SnTn=n+33n+5，则a5b2+b6=( )
A. 1417B. 417C. 313D. 15
5.从1，3，5，7中任取2个数字，从2，4中任取1个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是( )
A. 8B. 12C. 18D. 72
6.某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据x1,x2,x3,⋯,x9，后来复查数据时，又将x3,x9重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是( )
A. 平均数B. 中位数C. 极差D. 众数
7.抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点．已知一束平行反射镜xσ于x轴的入射光线与抛物线y2=2px的交点为A4,4，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为( )
A. 274B. 214C. 254D. 294
8.函数fx=x−cs3πx的零点个数是( )
A. 8B. 6C. 4D. 2
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则下列说法正确的是( )
A. 直线D1C和BC1所成的角为π4
B. 四面体BDC1A1的体积是83
C. 点A1到平面BDC1的距离为4 33
D. 平面BDA1与平面BDC1所成二面角的正弦值为2 23
10.在同一平面直角坐标系中，直线mx−y+1=0与圆x2+y2=2的位置可能为( )
A. B.
C. D.
11.把一枚质地均匀的骰子连续抛四次，设出现点数为奇数点的次数为X，则下列结论中正确的是( )
A. X服从超几何分布B. X服从二项分布
C. PX=2=116D. 若Y=2X+1，则EY=5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数fx=lg2x,x>014x−1,x≤0，则ff 22= ．
13.如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地去丁地，共有 种不同的走法．
14.若不等式1+lnx≤ax2+bx(a>0)恒成立，则ba的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐，潮汐具有周期现象.某海滨浴场内水位y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：ℎ)的函数，记作y=ft，下面是某天水深的数据：
经长期观察，y=ft的曲线可近似的满足函数y=Asinωx+φ+b(A>0,ω>0)．
(1)根据表中数据，作出函数简图，并求出函数y=ft一个近似表达式；
(2)一般情况下，水深超过1.25米该海滨浴场方可开放，另外，当水深超过1.75米时，由于安全原因，会被关闭，那么该海滨浴场在一天内的上午7：00到晚上19：00，有多长时间可以开放？
16.(本小题12分)
在三棱台DEF−ABC中，CF⊥平面ABC，AB⊥BC，且BA=BC，AC=2DF，M为AC的中点，P是CF上一点，且CFDF=MCCP=λ(λ>1).

(1)求证：CD⊥平面PBM；
(2)已知CP=1，且直线BC与平面PBM的所成角的正弦值为 66时，求平面EFM与平面PBM所成夹角的余弦值．
17.(本小题12分)
3名同学去听同时举行的A，B，C课外知识讲座，每名同学只能随机选择听其中1个讲座(每个讲座被选择是等可能的)．
(1)记选择B课外知识讲座的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望；
(2)对于两个不相互独立的事件M，N，若PM>0，PN>0，称ρM,N=PMN−PMPN PMPMPNP(N)为事件M，N的相关系数．
①已知ρM,N>0，证明P(M|N)>PM；
②记事件E=“B课外知识讲座有同学选择”，事件F=“至少有两个课外知识讲座有同学选择”，判断事件E，F是否独立，若独立，说明理由；若不独立，求ρE,F．
18.(本小题12分)
已知点O为坐标原点，将向量OA绕O逆时针旋转角α后得到向量OB．
(1)若OA=2,2,α=π6，求OB的坐标；
(2)若OA=a,b，求OB的坐标(用a,b,α表示)；
(3)若点M,N在抛物线y=x2−tt∈R上，且▵OMN为等边三角形，讨论▵OMN的个数．
19.(本小题12分)
设实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)①，有两根x1,x2，
则方程可变形为a(x−x1)(x−x2)=0，展开得ax2−a(x1+x2)x+ax1x2=0②，
比较①②可以得到x1+x2=−ba,x1x2=ca,
这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理．
事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理．
设方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)有三个根x1,x2,x3，则有x1+x2+x3=−bax1x2+x2x3+x3x1=cax1x2x3=−da③
(1)证明公式③，即一元三次方程的韦达定理；
(2)已知函数f(x)=ax3+bx2+x+1(a