2025年高考数学大招秒杀基础版-板块3-三角函数【学案讲义】

这是一份2025年高考数学大招秒杀基础版-板块3-三角函数【学案讲义】，共64页。学案主要包含了一、二、四，三角函数符号判定有绝招，同角三角函数基本关系合集，三角函数三兄弟，诱导公式全攻略，搞定正切函数图像，已知三角函数图像求表达式，三角函数图像变换全攻略等内容，欢迎下载使用。

若是第一象限角，则 ，是第几象限角?
几何法
将单位圆在第一象限的圆弧分成两等份(是的分母)，再将第二、三、四象限的圆弧两等分，逆时针依次标上1、2、3、4，再循环一遍，直到标满为止，则有标号1的(1指的是所在的象限)就是所在的象限．如图所示: 在第一、三象限．
其实，把一个角除以2之后，原来在四个象限中的角就分别对应到所在的1，2，3，4四块区域中，因为原来的角相差终边相同，故对应的区域有两块．
同理，将单位圆在第一象限的圆弧分成三等份(是的分母)，再将第二、三、四象限的圆弧三等分，逆时针依次标上1、2、3、4，再循环一遍，直到标满为止，则有标号1的(1指的是所在的象)就是所在的象限，如图所示: 在第一、二、三象限．
例1．若是锐角，那么是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第二象限角 D．小于的正角
【答案】 D
【解析】由可知， ，故选D．本题容易错选C．
例2．若是第二象限角，则是第 象限角，是第 象限角．
【答案】 一、三 一、二、四
【解析】数形结合，因为为第二象限角，所以用图表示出(图(①)， (图 = 2 \* GB3 ②)，看“2”在哪一象限， ，就在哪一象限．

大招二 三角函数符号判定有绝招
三角函数的符号判定
(1)正弦值对于第一、二象限为正()，对于第三、四象很为负()．
(2)余弦值对于第一、四象限为正()，对于第二、三象限为负()．
(3)正切值()对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负(异号)．
三角函数的符号记忆口诀
一全正、二正弦、三两切(或三正切)、四余弦——是从象限的三角函数名为正出发的．
例1．已知点在第三象限，则角在（ ）．
A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】依题意， ，且．故选B．
例2．若三角形两内角满足，则此三角形为（ ）三角形．
A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不确定
【答案】B
【解析】 因为是三角形的内角，所以因此．又，所以，因此为钝角．故选B．
例3．若，下列函数值中为负的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】为第二象限角， 为第四象限角， 为第一象限角， 为第四象限角，故只有选项D，，故选D．
例4．的值( )
A．小于 B．大于 C．等于 D．不存在
【答案】B
【解析】所以， ， ．故选B．
例5．若是第二象限角，则点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】因为是第二象限角，所以，角在第四象限内，因此，，即点在第二象限，故选B．
例6．若，则的值（ ）
A．小于0 大于0 C．等于0 D．不确定，与有关
【答案】D
【解析】异号为第二或第四象限角．
①若是第二象限角，则，从而．所以．
②若是第四象限角，则，从而．所以．故选D．
大招三 利用三角函数线比大小
如下图，角的终边与单位圆交于点过作轴的垂线，垂足为．过点作单位围的切线，它与角的终边或其反向延长线交于点，根据三角函数的定义，我们有:
当角的终边不在坐标轴上时，以为始点， 为终点，规定:当线段与轴同向时， 的方向为正，且有正值；当线段与轴反向时， 的方向为负，且有负值．其中为点的横坐标，所以无论哪一种情况都有同理，可以得到，无论哪一种情况都有
像这种被看作带有方向的线段叫作有向线段．规定:与坐标轴方向一致时为正，与坐标轴方向相反时为负．
例1。已知，试证明：
【证明】作出单位圆，如图，设，则弧的长度为，角的正弦线为，正切线为．所以，；
又，所以
所以
例2．已知为锐角，求证: ．
【证明】如图，设角的终边与单位圆相交于点，过作轴， 轴， 为垂足，连接
因为，在中， ，所以
因为；，
而即
所以
例3．若，，则的取值范围是
【答案】
【解折】如图，由三角函数定义结合三角函数线，在内，使成立的的取值范围是．
例4．以下命题正确的是( )
A．是第一象限角，若，则
B．是第二象限角，若，则
C．是第三象限角，若，则
D．是第四象限角，若，则．
【答案】D
【解析】如图，设是角的终边与单位圆的交点，过分别作轴的垂线，则分别为两角的正弦线， 分别为余弦线．由于在第一象限，所以余弦线越长角的余弦值越大，从而为的终边，为的终边，显然，故A不正确，同理可知，B，C错，D正确．故选D．
例5．均属于区间，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于任意，如图，在单位圆中， ，弧的长度为，而，即，所以，结合三角函数图像，可知，对任意，有，，所以若，即，由于都属于，则，则有，矛盾!从而，即，即，所以．若，即，则，所以，即，所以，所以，故选C．
大招四 同角三角函数基本关系合集
平方关系：
商数关系:
例1． (1)若是第二象限角， ，则 ， ．
(2) 若是四象限角， ，则 ， ．
【答案】 （1） （2）
【解析】（1）可以构造一个边长是的直角三角形，再判断符号；（2）可以构造一个边长是的直角三角形，再判断符号．
【评注】
本题是同角三角关系的基本应用，知一求二，可以通过构造直角三角形求值，同时注意三角函数值的符号．
例2．已知，则 ， ．
【答案】
【解析】
【评注】本题是三角函数关系的重要变形，由得到．在符号确定的情况下，可以知一求二，进而求出的值．
例3．已知，则 ；
【答案】
【解析】前者是一次齐次分式，分子分母同时除以；后者是二次齐次分式，分子分母同时除以，都可以转化成只关于的式子，也有人将的式子代入，将分子转化成只含或的式子．
；
．
【评注】本题是三角函数关系的重要变形，在已知的情况下，可以直接处理关于与的齐次分式(所谓次分式是指分子与分母的所有单项式次数都相同)．
例4．（1），则（ ）
A．B．C．D．
（2）已知，则
【答案】（1）A （2）
【解析】(1) =，
由于，，故．故选．
(2) ．
【评注】注意“1”的变形使用: 可用于配平方式与齐次式转化．
大招五 三角函数三兄弟
在三角函数中有一个重要公式“”，由此可得:
所以，在，，
三个式子中，只要知道任意一个，就可求出另外两个：
(1)若知道，得，；
(2)若知道，得；
(3)若知道，得，
例1．求函数的值域．
【解析】设，得所以原函数可化为，可求得函数的值域是
例2．求函数的值域．
【解析】设得，所以原函数可化为，可得函数的值域是．
例3．已知，函数的最大值为，则 ．
【答案】
【解析】．
设，则．所以
．因为，所以时取得最大值．即
，解得．
大招六 诱导公式全攻略
诱导公式
诱导公式一:
诱导公式二:
诱导公式三:
诱导公式四:
诱导公式五:
诱导公式六:
(注:诱导公式一中， )
诱导公式有统一的记忆方法:“奇变偶不变，符号看象限”．“奇变偶不变”指的是对于任意三角函数，以为例，若为偶数，则函数名称不改变；若为奇数，则函数名称变成余弦．“符号看象限”是指，假定为第一象限内的角，根据的正负判断变换后的三角函数的符号，所以主要是看所在的象限．
如: ，偶不变，值与同， 是第一象限角时， 在第三象限，于是为负，故有负号，即
再如: ，奇变， 是第一象限角时在第二象限，正弦为正，故
为什么要取第一象限角?
其实诱导公式都是恒等式，即对任意的都成立，所以取第几象限的角都没关乐，但是，当不是第一象限角时，推导符号时需要考虑两边，如与相关；当为第三象限角时，，是第一象限角， ，从而符号为负，即有我们当然希望越简单越好，所以我们默认取第一象限角，其实不是必须的，只是为了符号好确定．
例1．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，即，
所以故选B．
例2．已知，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】．故选C．
例3．已知，则 ______
【答案】32
【解析】因为，所以所以

．
例4．已知，则 ．
【答案】
【解析】因为
所以．
大招七 搞定正切函数图像
例1．若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为( )．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数的图像向右平移个单位长度后的函数解析式为
依题意有解得
又，所以的最小值为，故选D．
例2．设定义在区间上的函数的图像与的图像的交点为，过点作
轴的垂线，垂足为，直线与函数的图像交于点，则线段的长为 ．
【答案】
【解析】由，消得，解得或（舍）．故点的纵坐标为．所以．
例3．函数在区间内的图像是（ ）
【答案】D
【解析】当时，，，又，，故，．当时，，此时，．故选D．
大招八 已知三角函数图像求表达式
由已知条件确定函数的解析式，需要确定
（1）由函数的最大值，最小值为，可确定与A；
（2）由函数的最小正周期为，可以确定；
（3）确定：一般使用最高点或者最低点确定的值，如果选用平衡点，一般会得到两个符合条件的值，还需要结合平衡点所在处的单调性再确定．
例1．已知下图是函数的图像的一段，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以．又因为处于递增部分的平衡点，所以，，故选C．
例2．已知函数的图像如下图所示，则（ ）
【答案】
【解析】由图易知，，所以，所以，下面来求．由图可知，当时，，即．所以，，因为，所以．
例3．已知下图是函数的部分图像，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】此函数的周期为，故
又此图像过点即，故，故A正确，本题也可以由图像与轴的交点坐标大于直接排除B选项，得到A正确．故选A．
例4．已知下图是函数的图像，则（ ）
【答案】
【解析】因为在递减段上，所以，所以，即．
大招九 三角函数图像变换全攻略
对函数的图像的影响
（1）对的图像的影响
函数的图像，可以看作是把图像上的各点向左或者向右平移个单位而得到的（可记作左加右减）既平移个单位得．
（2）对的图像的影响
函数的图像，可以看作是把的图像上的各点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）而得到的，既的横坐标到原来的倍得．
（3）对的图像的影响
函数的图像可看作是的图像上的各点的纵坐标伸长为原来的倍，或缩短到原来的（横坐标不变）而得到的，既的纵坐标 到原来的倍得到．
例1．下图是函数在区间上的图像．为了得到这个图像，只要将的图像上的所有点（ ）
A．向左平移个单位长度，再把所得点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
【答案】A
【解析】由图像可知，，，解得故．，，从而．故．此函数的解析式为，故选A．
例2． 把函数的图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是（ ）
【答案】A
【解析】
，故选A．
例3．为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A． 向左平移个单位长度 B． 向右平移个单位长度
C． 向左平移个单位长度 D． 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】，故将正弦函数的图像向左平移个单位长度即可得到．故选C．
例4．为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B． 向右平移个单位长度
C． 向左平移个单位长度 D． 向右平移个单位长度
【答案】A
【解析】===，只需将函数的图像向左平移个单位长度即可得到函数的图像，故选A．
大招十 三角函数与二次函数复合
类型1 形如型的函数
解决此类为题可通过配方法，转化成关于正弦或余弦的二次函数的形式，注意变量的取值范围．
例1．求得最大值和最小值（其中，为常数）．
【解析】．①若则时有．最大值在或时取得，需比较，当时，即 ，时取最大值，；当时，即，时取最大值，．②若，即，则当时，，当时，．③若，即，则当时，；当时，．如图甲、乙、丙所示．将
例2 ．（1）若关于的方程在内有实数解，则的取值范围为 ．
（2）若函数在时取最大值，在时取得最小值，则实数的取值范围为 ．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）令，因为，所以．
解法一：根据题意，，所以的取值范围为．
解法二：原方程可化为，设，因为对称轴，在上单调递增，在内有零点，则有．
（2）由知，又的最大值一定在端点处取到，而故当且仅当，所给函数在处取到最大值，解得，综上可知，．
例3．已知函数．
（1）若在区间上的最大值为1，则 ．
（2）若在区间上的最小值为，则的取值范围为 ．
【答案】（1） （2）
【解析】令，则在上单调递增；又当时，单调递增，且，故当时，单调递增．
（1）当时，此时；由函数在上单调增知，只能等于．
（2）当时，；当时，，当时，，此时；当时，的最小值将小于，不符合题意．故，综上可知，．
类型2 形如型的函数
解决此类问题主要是利用公式进行换元．令，则，则，从而．
例4．已知，求函数的最大值和最小值，并求出此时值．
【解析】令，则，代入得，因为，所以，．于是当时，有，此时，解得或；当时，有，此时，解得．
例 5．若，则函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，令，则，代入得：，因为，所以，于是时有．
大招十一 三角函数求最值归类研究
一、化成的形式
例1．求函数在上的最大值和最小值．
【解析】
由得，得，则当时，；当时．
评注
这类题目解决的思路是把问题归化为的形式，一般而言，，，但若附加 x的取值范围，最好的方法是通过图像加以解决，令，画出在上的图像，如图所示不难看出既，应注意此题容易把两个边界的函数值和误认为是最大值最小值．
二、形如的形式
例2．求函数的最大值和最小值．
【解析】由已知得既，，所以，因为，，即，解得，．
评注
上述利用正（余）弦函数的有界性，转化为以函数y为主元的不等式，是解决这类问题的最佳方法，虽然本题可以使用万能公式，也可以利用圆的参数方程和斜率公式去求解但都如上述解法简单易行，有兴趣的同学不妨试一试其他解法．
三、形如的形式
例3．求函数的最大值和最小值．
【解析】，由，得，，，即．所以．
评注
此题是利用了分离分母的方法求解的．用例2的解法同样可求，有兴趣的同学不妨试一下，并作解法对比．
四、形如的形式
例4．求的最小值．
【解析】设，则．
从图中可以看到，在区间上是减函数（也可利用函数的单调性定义来证明这一结论）．所以当时，．
评注：
若由，可得最小值的错误的，这是因为当等号成立时，，既是不可能的．若把此题改为就可以用均值不等式法求解了，同学们不妨琢磨一下．
五、利用和之间的关系
例5．求函数的最大值和最小值．
【解析】令，则，所以且，因此原函数可化为，故当时，当；当时，．
评注
，，这三者支架有着互相制约，不可分割的密切联系，是纽带，三者之间知其一，可求其二，令，换元后依题意可灵活使用配方法，重要不等式，函数的单调性等方法来求函数的最值，应该注意的是求三角函数的最值方法有多种，像配方法，不等式法等，这里不再叙述，有兴趣的同学不妨自己探讨一下．
大招十二 两角和与差的正、余弦公式
一、两角和与差的正弦公式
二、两角和与差的余弦公式
例1．（1）计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．
（2）可化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）A （2）B
【解析】（1），故选A．
（2）故选B．
例2．（1）的值为（ ）
A． B． C． D．
（2）的值为（ ）
A． B． C． D．
（3） ．
【答案】（1）A （2）D （3）
【解析】（1）
，故选A
（2）
，故选D．
（3）原式
大招十三 两角和与差的正切公式及应用
两角和与差的正切公式
，
两角和与差的正切公式常见变形
例1．计算
（1）____________．
（2）______________．
（3）_____________．
【答案】 （1）1 （2）2 （3）
【解析】 （1），所以
因此．
（2），
而，所以原式=．
（3），
而，
所以同理，…，因此原式=
例2．________．
【答案】
【解析】 原式=
．
大招十四 二倍角公式及其灵活应用
一、二倍角的正弦、余弦、正切公式
二、二倍角公式的逆向变换及常用变形
【评注】
由公式的变形，还可以得到，由这组公式我们可以由的三角函数值，结合角的范围得到，，这组公式又被称为半角公式．目前这些公式在课本上不再单独提出，因此可以作为二倍角公式的变形使用，它的应用还是挺广泛的．
例1．（1）若，则
（2）若，则_________;
（3）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】 （1） （2） （3）D
【解析】（1），于是．
（2）因为，即，所以
．
（3）因为，所以，所以
所以．故选D．
例2．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【解析】 （1）原式=．
（2）因为．
所以原式．
（3）原式=
．
大招十五 辅助角公式的灵活应用
【结论】设函数，则．
证明：因为
所以可设
因此
当且仅当，即时，．
当且仅当，即时，．
推论：设函数，则
（1）当且仅当时，取最值；
（2）当且仅当时，曲线关于直线对称．
例1．（1）函数，在区间上的最大值是（ ）
A． B． C． D．
（2）函数的最小值和最小正周期分别是（ ）
A． B． C． D．
（3）已知，则的值时（ ）．
【答案】（1）C （2）D （3）
【解析】（1）．
由于知，所以
所以函数 的最大值为．故选C．
（2） ．故选D．
（3）
因此，，．
例2．若，函数取得最大值，则
【答案】
【解析】 由推论（1）得，．
例3．若是偶函数，则有序实数对可以是____________．（写出你认为正确的一个）
【答案】
【解析】
．因为是偶函数，所以只要满足即可．
例4．若函数的图像关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】题设即函数的图像关于直线对称，所以由推论（2）得，因此故选D．
大招十六 积化和差与和差化积
1． 积化和差公式
2． 和差化积公式
和差化积公式推导，可以将左边的与分别写成，，再展开，合并即得到右边的式子．
例1．计算：
【解析】 原式=
=
=．
例2．已知，则的值为__________．
【答案】
【解析】 因为，所以
．
因为
所以上式=
=．
例3．已知，是的最大值，是的最大值，则 ．
【答案】 4
【解析】 因为
所以
=．
以上两式均当且仅当时等号成立，所以
例4．已知，求的值．
【解析】 因为，所以
所以
．
例5．求的值．
【解析】 解法一 原式=
．
解法二 原式=
．
大招十七 一题多解探讨三角函数解题思路
例 已知是某三角形的一个内角，满足．
（1）判断该三角形是锐角三角形还是钝角三角形．
（2）求的值．
【评注】
这道题是三角函数内容中的一道经典试题，该题本身不难，但学生的普遍反映是计算太麻烦，想不到更好的方法，于是笔者认真总结了一些解法，希望能让学生从中受益．三角函数是高中数学的一块重点内容，它蕴含着丰富的数学思想与方法．灵活地借助数学思想与方法解题，往往可以避免复杂的运算，优化解题过程，降低解题难度，加快解题速度．本文就通过上述例题介绍解三角函数时常用的一些数学思想及方法．
对于问题（1），我们可以有两种选择．
一是将两边平方得，即有，因此，由于，故只能，即是钝角，是钝角三角形．
对于问题（2），我们有如下方法可供选择．
解法一 从三角函数定义出发，设点是角终边上的一点，令，则
，依题意可得．
两边同时平方整理得，即为
于是或，即或．
解法二 从正切函数的定义出发，分别求出和．联立方程组
，消去，整理得
即，解得或．于是有
或，从而或．
解法三 直接求．将
两边平方得，整理得
，即，
从而或．
解法四 利用配方的思想．将
两边平方得，解得，于是
，即，联立方程组
，解得或，
从而或．
解法五 利用对偶的思想．在数学解题过程中，合理地构造形式相似，具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这一对对偶关系式进行适当的和，差，积等运算，往往能使问题得到巧妙地解决，收到事半功倍的效果．如本题中可以构造对偶式，则有
，解得，代入，解得，
于是或，从而或．
解法六 利用半角公式，将两边同时平方得
，即，而的终边可能在第三象限也可能在第四象限，故，从而或．
解法七 利用二倍角公式
将化为
整理得，即
解得或，于是代入得或．
解法八 利用万能公式求的值，进而求，将及代入，整理得，
以下同解法七
解法九 利用公式，将
两边同时除以得，
两边同时平方得，
即，从而或．
解法十 利用韦达定理构造一元二次方程．
将两边同时平方得，解得
于是和是一元二次方程的两根
解得或，从而或．
解法十一 直接构造关于的方程．
将两边同时平方得，解得
于是，即，故
整理得，从而或．
解法十二 利用方程的思想．方程思想是最基本的也是最重要的数学思想之一．它从对问题的数量关系分析入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（即方程或方程组），然后通过解方程来使问题获解．
在这道题中，设，则，联立方程组，解得，再由，即得，整理得，解得或，即或．
大招十八 正、余弦定理的证明方法全归纳
一、正弦定理的五种证明方法
正弦定理：在中，的对边分别是则．
证法一 三角形高法
是的边上的高；是的边上的高；，是的边上的高．根据这个几何意义，定理证明如下：
作锐角的高，则，所以
同理，因此．
证法二 三角形外接圆法
是的外接圆直径．根据这个几何意义，定理证明如下：
作锐角的外接圆直径，连接．根据同弧所对的圆周角相等及直径所对的圆周角是直角得，（为的外接圆半径）．所以，所以，同理，，
所以，即．
证法三 三角形面积法
都是的面积公式．根据这个几何意义，定理证明如下：作锐角的高，则．所以的面积．同理，，因此，同除以，再取倒数得．
证法四 向量的数量积法
把变形为．在锐角中作高，则
，分别是向量，与向量的数量积．利用这个几何意义，定理证明如下：
作锐角的高，因为，所以，所以，因此，即，所以．同理．所以．
证法五 坐标法
定理证明如下：
以为原点，以射线为轴的正半轴建立平面直角坐标系，且使点落在轴的上方，则边上的高即为点的纵坐标．根据三角函数的定义，点的纵坐标．所以的面积．同理，，．所以．同时除以，再取倒数有．
评注
证法五利用了一般三角函数的定义，避开了分类讨论．前面的四种几何证明法都需要分类讨论，因为它们的证明中仅仅利用了锐角三角函数的定义．证法五这个方法是证明正弦定理最简单的方法，体现了坐标法的优越性．
二、余弦定理的三种证明方法
余弦定理：在中，所对的边分别长，则，，．
证法一 平面几何法
当为直角三角形时，根据直角三角形的边角关系和勾股定理很容易验证余弦定理，当为锐角三角形时，在中，作高，则，，于是在中，由勾股定理，而，，，所以，，即．类似可证，当为钝角三角形时，上述结论仍然成立．
证法二 向量几何法（最好的）
在中，由知，即，即．
证法三 解析几何法
如图，建立平面直角坐标系，使点在轴上方，由三角函数的定义，无论是直角、锐角还是钝角，都有，又，利用两点间距离公式，，两边平方得，即．
大招十九 射影定理牵手正、余弦定理
射影定理：在中，所对的边分别长，则，，．
例1．在中，所对的边分别长，若，则．
【答案】 2
【解析】解法一 ，整理得，故．
解法二 ．由正弦定理得，所以．
解法三 由射影定理得，所以，因此．
例2．在中，所对的边分别长，若，则．
【答案】
【解析】解法一 从正弦定理入手，原式可化为，因此．
解法二 从余弦定理入手，原式可化为，，再用余弦定理得．
解法三 从射影定理入手，原式可化为，所以．
例3．在中，所对的边分别长，若表示的面积，，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由及射影定理知，，故．由余弦定理得．因为，所以，所以，因此．
大招二十 三角形解的个数问题
例1．在中，，，，求和．
【解析】解法一 由得，所以．若，则，此时．若，则，此时．
解法二 ，解得．若，则，此时，．若，则，此时，．
解法三 ，解得．若，，分别是向量，与向量的数量积．利用这个几何意义，定理证明如下：
作锐角的高．因为，所以，所以，因此=，即，所以．同理．所以．由，得，，因为，所以，所以，．若，由，得，．因为，所以，所以，．
评注
解三角形时，一般都可有两种思路．但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论．另外，要留意三角形内角和为，同一个三角形中大边对大角等性质的应用．
例2．在中，，，，求的值．
【解析】解法一 由得，所以或，或，所以或，由，得或．
解法二 由知，，带入已知条件得，解得或．
大招二十一 三角形形状的判定
一、解决三角形的综合问题时，要注意以下关系式的运用
（1）．
（2）；．
（3）；．
（4）．
除了正弦定理和余弦定理，三角形中的这些很明显的恒等式的熟练应用是很重要的细节，将它们和正余弦定理串联起来，是解三角形问题的基础．
二、与三角形形状相关的几个结论
（1）在中，若，则为等腰三角形或直角三角形．
（2）在中，若，则为等边三角形．
（3）在中，若，则为直角三角形．
（4）在中，若，则为直角三角形．
（5）在中，若，则为直角三角形．
这些结论在人教版必修5中都出现了，也不需要强记．
（1）（2）（3）利用正弦定理易证，（4）利用射影定理易证．
（5）的证明略有难度，思路有两种，如下．
方法一 恒等变形
注意到，以及，可将题中的等式进行化简．，，，，，所以，从而推出，．
方法二 由正余弦定理将边化为角
因为，所以．整理得，即，所以．因为，所以，因此为直角三角形．
例1．（1）在中，若，则这个三角形是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
（2）在中，已知，则是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
（3）在中，若，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】（1）C （2） C（3）B
【解析】（1）由知，且（如果同负会出现两个钝角，不可能），故均为锐角．因为，所以，即．即，所以为锐角，因此三角形的三个内角都是锐角，为锐角三角形．故选C．
（2）将展开整理得：，所以，因此，所以为直角三角形．故选C．
（3），即，即．所以为等腰三角形．故选B．
例2．在中，若，则为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】B
【解析】因为，所以，即，即（舍）或，所以，即三角形为直角三角形．故选B．
例3．在中，若，则此三角形一定是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】C
【解析】因为，所以，因此．即．整理得，即，所以，即三角形为等腰三角形．故选C．
例4．已知满足，试判断的形状．
【解析】解法一 由得，整理得，即，当时，为等腰三角形．当，即时，则为直角三角形．综上可知，为等腰三角形或直角三角形．
解法二 由正弦定理得，即．因为，所以，即，因为，所以或，即或．所以为等腰三角形或直角三角形．
例5．在中，，所以，由正弦定理得，因为，，所以，即，所以或，即或．所以为等腰三角形或直角三角形．
评注
要判断三角形的形状，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？是否符合勾股定理？还要研究角与角的大小关系：是否两个角相等？是否三个角相等？有无直角或钝角？
解题的方法是：从条件出发，利用正、余弦定理等进行代换、转化、化简、运算，找出边与边的关系或角与角的关系，从而作出正确判断．
一般有两种转化方向：要么转化为边，要么转化为角．
判断三角形形状时，用边做、用角做均可．一般地，题目中给出的是角，就用角做；给的是边，就用边做，边、角之间的转换可灵活运用正弦定理或余弦定理．
或，不要丢解．
例6．在中，求证：
【解析】
同理，
所以
即．
大招二十二 正切恒等式及其应用
正切恒等式：在非直角三角形中，．
证明：因为，则．，所以，整理得：．
例1．在锐角三角形中，若，则的最小值是．
【解析】解法一 ．由三角形为锐角三角形，得．所以．又由，知．所以，．设，得．进而可得：当且仅当时，．
解法二 在锐角中，，，．在解法一中，已得，所以．即，所以的最小值是8．
解法三 在解法二中，已得．
在解法一中，已得
所以
所以，即，因此的最小值为8．
例2．在中，已知，求的值．
【解析】根据题意，设，，．显然
所以同号，又中至多有一个是钝角
所以．由，得
所以，因此，，，，．
由正弦定理，得．
大招二十三 处理三角函数易错点的六绝招
第一招 三角函数中，隐含条件的挖掘
例1．已知方程的两个实数根是，且，则等于（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】因为是方程的两个实数根，所以，．又，所以，从而．又因为，所以，故选B．
评注
因为，所以．又因为，所以，解得．因为，所以，从而．
第二招 三角形中，角大正弦大
例2．在中，，，求的值．
【解析】因为，所以．又，所以，因此．所以一定是锐角，从而．所以．
评注
在中，．
第三招 已知三角函数值求角错因分析
例3．若，，且均为锐角，求的值．
【错解】因为为锐角，所以．又为锐角，所以，因此，由于，，所以，故或．
评注
没有注意挖掘题目中的隐含条件，忽视了对角的范围的限制，造成出错．事实上，仅有，而得到或是正确的，但从题目中我们发现，，使得，，从而，故上述结论是错误的．
【正解】因为在上是单调函数，所以本题先求不易出错．因为为锐角，，所以，．又因为为锐角，，所以，．所以，．故．
评注
根据已知条件求角时，角的范围常常被忽略或不能发现隐含的角的大小关系而出现增根不能排除．要避免上述情况的发现，同学们应合理选择三角函数形式进行求解，根据计算结果，估算出角的较精确的取值范围，并不断缩小角的范围．在选择三角函数公式时，一般已知正切函数值，选正切函数，已知正、余弦函数值时，若角在时，一般选余弦函数，若角在时，一般选正弦函数．
第四招 你肯定会错
例4．已知锐角三角形的内角的对边分别为，．
（1）求的大小；
（2）求的取值范围
【解析】（1）由，根据正弦定理得，，所以．由为锐角三角形得，．
（2）
．
由为锐角三角形知，，从而
所以
由此有，即的取值范围为．
评注
锐角中，恒有，，．
第五招 数形结合也未见得好
例5．在区间范围内，函数与函数的图像交点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】在同一坐标下，作出与在内的图像，很难做到精确，容易误认为3个交点．联想到不等式“”，故与在内的图像无交点．又因为它们都是奇函数，从而与在内的图像也无交点，所以在区间内，函数与图像交点的个数为1，即坐标原点，故选A．
第六招 同角正、余弦的和、差、积、倍互化中的陷阱铲除
例6．已知，，则的值是
【答案】
【解析】由，知
所以，且
所以有，，联立解得，，所以．
评注
解决这类问题，首先必须对角的范围进行讨论，这充分体现了“函数问题，范围先行（尤其是三角函数问题）”的解题基本原则．正切函数
图 像
性 质
定义域
值域
最小正周期
对称性
对称中心
奇偶性
奇函数
单调性
单调增区间
为锐角
为钝角
关系式
图形
解的个数
无解
一解
两解
一解
一解
无解