2025年高考数学一轮复习-1.4-基本不等式-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-1.4-基本不等式-专项训练【含解析】，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设x>0，则y＝3－3x－eq \f(1,x)的最大值是( )
A．3 B．3－2eq \r(2)
C．－1 D．3－2eq \r(3)
2．已知x≥eq \f(5,2)，则y＝eq \f(x2－4x＋5,2x－4)有( )
A．最大值eq \f(5,2) B．最小值eq \f(5,4)
C．最大值1 D．最小值1
3．若对x>0，y>0，有(x＋2y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(1,y)))≥m恒成立，则m的取值范围是( )
A．m≤4 B．m>4
C．m<0 D．m≤8
4．高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上、下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，已知当教室在第n层楼时，上、下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂声较小，环境较好，因此随着教室所在楼层的升高，环境不满意度降低，设教室在第n层楼时，环境不满意度为eq \f(8,n)，则同学们认为最适宜的教室所在的楼层应为( )
A．2 B．3
C．4 D．8
5．已知a，b，c满足a>b>c时，不等式eq \f(1,a－b)＋eq \f(1,b－c)＋eq \f(λ,c－a)>0恒成立，则λ的取值范围是( )
A．λ≤0 B．λ<1
C．λ<4 D．λ>4
6．若0A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2
C．a1b2＋a2b1 D.eq \f(1,2)
7．已知x>0，y>0，x＋2y＝1.若eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)>m2＋3m＋4恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－4]∪[－1，＋∞)
B．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
C．(－4,1)
D．(－1,4)
8．设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝2，则x2＋y2＋z2的最小值为( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(1,3) D．1
二、填空题
9．若对任意x>0，eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a的取值范围是 .
10．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是 .
三、解答题
11．已知正常数a，b和正实数x，y满足a＋b＝10，eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)＝1，x＋y的最小值为18，求a，b的值．
12．某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为y1万元，隔热层的厚度为x厘米，两者满足关系式：y1＝eq \f(k,2x＋5)(0≤x≤10，k为常数)．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元，15年的总维修费用为10万元，记y2为15年的总费用．(总费用＝隔热层的建造成本费用＋使用15年的能源消耗费用＋15年的总维修费用)
(1)求y2的表达式；
(2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用y2最小，并求出最小值．
13．(多选题)下列结论正确的是( )
A．当x>0时，eq \r(x)＋eq \f(1,\r(x))≥2
B．当x>2时，x＋eq \f(1,x)的最小值是2
C．当xD．当x>0，y>0时，eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)≥2
14．已知0A.eq \f(10\r(2),3) B．4＋eq \f(4\r(2),3)
C．4＋eq \r(2) D．4eq \r(2)
15．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为：F＝eq \f(76 000v,v2＋18v＋20l).
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为 辆/时；
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增
加 辆/时．
16．设a，b为正实数，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2eq \r(2).
(1)求a2＋b2的最小值；
(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．
2025年高考数学一轮复习-1.4-基本不等式-专项训练【解析版】
时间：45分钟
一、选择题
1．设x>0，则y＝3－3x－eq \f(1,x)的最大值是( D )
A．3 B．3－2eq \r(2)
C．－1 D．3－2eq \r(3)
解析：∵x>0，∴3x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(3x·\f(1,x))＝2 eq \r(3)，当且仅当x＝eq \f(\r(3),3)时取等号，∴－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(1,x)))≤－2 eq \r(3)，
则y＝3－3x－eq \f(1,x)≤3－2 eq \r(3)，故选D.
2．已知x≥eq \f(5,2)，则y＝eq \f(x2－4x＋5,2x－4)有( D )
A．最大值eq \f(5,2) B．最小值eq \f(5,4)
C．最大值1 D．最小值1
解析：y＝eq \f(x2－4x＋5,2x－4)＝eq \f(x－22＋1,2x－2)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x－2＋\f(1,x－2)))≥1，当且仅当x－2＝eq \f(1,x－2)，即x＝3时等号成立，故y有最小值1，故选D.
3．若对x>0，y>0，有(x＋2y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(1,y)))≥m恒成立，则m的取值范围是( D )
A．m≤4 B．m>4
C．m<0 D．m≤8
解析：由x>0，y>0，得(x＋2y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝2＋eq \f(4y,x)＋eq \f(x,y)＋2≥4＋2eq \r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝8，当且仅当2y＝x时取等号，则m≤8，故选D.
4．高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上、下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，已知当教室在第n层楼时，上、下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂声较小，环境较好，因此随着教室所在楼层的升高，环境不满意度降低，设教室在第n层楼时，环境不满意度为eq \f(8,n)，则同学们认为最适宜的教室所在的楼层应为( B )
A．2 B．3
C．4 D．8
解析：由题意知，教室在第n层楼时，同学们总的不满意度y＝n＋eq \f(8,n)≥4 eq \r(2)，当且仅当n＝eq \f(8,n)，即n＝2eq \r(2)时，不满意度最小，又n∈N*，分别把n＝2,3代入y＝n＋eq \f(8,n)，易知n＝3时，y最小，故最适宜的教室应在3楼．
5．已知a，b，c满足a>b>c时，不等式eq \f(1,a－b)＋eq \f(1,b－c)＋eq \f(λ,c－a)>0恒成立，则λ的取值范围是( C )
A．λ≤0 B．λ<1
C．λ<4 D．λ>4
解析：由题意知，原不等式可变形为λ<(a－c)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))＝[(a－b)＋(b－c)]·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))＝1＋eq \f(a－b,b－c)＋eq \f(b－c,a－b)＋1，而1＋eq \f(a－b,b－c)＋eq \f(b－c,a－b)＋1≥4(当且仅当(a－b)2＝(b－c)2时等号成立)，则λ<4.故选C.
6．若0A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2
C．a1b2＋a2b1 D.eq \f(1,2)
解析：由0易知a1a2＋b1b2又a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)b1＋(a2－a1)b2＝(a2－a1)(b2－b1)>0，
所以a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
注意到1＝(a1＋a2)(b1＋b2)＝a1b1＋a2b2＋a1b2＋a2b1<2(a1b1＋a2b2)，所以a1b1＋a2b2>eq \f(1,2).
综上可知a1b1＋a2b2最大．
7．已知x>0，y>0，x＋2y＝1.若eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)>m2＋3m＋4恒成立，则实数m的取值范围是( C )
A．(－∞，－4]∪[－1，＋∞)
B．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
C．(－4,1)
D．(－1,4)
解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(1,y)))×1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(1,y)))(x＋2y)＝4＋eq \f(4y,x)＋eq \f(x,y)≥8，即m2＋3m＋4<8恒成立，m2＋3m－4<0的解集为(－4,1)．故选C.
8．设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝2，则x2＋y2＋z2的最小值为( A )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(1,3) D．1
解析：由题意，得(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)≤x2＋y2＋z2＋(x2＋y2)＋(y2＋z2)＋(x2＋z2)＝3(x2＋y2＋z2)，即x2＋y2＋z2≥eq \f(x＋y＋z2,3)＝eq \f(4,3)(当且仅当x＝y＝z＝eq \f(2,3)时取等号)，所以x2＋y2＋z2的最小值为eq \f(4,3)，故选A.
二、填空题
9．若对任意x>0，eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a的取值范围是a≥eq \f(1,5).
解析：因为x>0，所以x＋eq \f(1,x)≥2.
当且仅当x＝1时取等号，所以有
eq \f(x,x2＋3x＋1)＝eq \f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq \f(1,2＋3)＝eq \f(1,5)，
即eq \f(x,x2＋3x＋1)的最大值为eq \f(1,5)，故a≥eq \f(1,5).
10．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是eq \f(2 \r(3),3).
解析：注意到消元有难度，而目标式为x＋y，且条件可以构造出x＋y的平方，于是1＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－(eq \f(x＋y,2))2＝eq \f(3,4)(x＋y)2，所以eq \f(4,3)≥(x＋y)2，所以－eq \f(2 \r(3),3)≤x＋y≤eq \f(2 \r(3),3)，当且仅当x＝y＝eq \f(\r(3),3)时取最大值eq \f(2 \r(3),3).
三、解答题
11．已知正常数a，b和正实数x，y满足a＋b＝10，eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)＝1，x＋y的最小值为18，求a，b的值．
解：因为x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x)＋\f(b,y)))＝a＋b＋eq \f(ay,x)＋eq \f(bx,y)≥a＋b＋2eq \r(ab)＝(eq \r(a)＋eq \r(b))2，
当且仅当eq \f(ay,x)＝eq \f(bx,y)，即eq \f(y,x)＝eq \r(\f(b,a))时，等号成立，
所以x＋y的最小值为(eq \r(a)＋eq \r(b))2＝18，
又a＋b＝10，所以ab＝16.
所以a，b是方程x2－10x＋16＝0的两根，
所以a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.
12．某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为y1万元，隔热层的厚度为x厘米，两者满足关系式：y1＝eq \f(k,2x＋5)(0≤x≤10，k为常数)．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元，15年的总维修费用为10万元，记y2为15年的总费用．(总费用＝隔热层的建造成本费用＋使用15年的能源消耗费用＋15年的总维修费用)
(1)求y2的表达式；
(2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用y2最小，并求出最小值．
解：(1)依题意，当x＝0时，y1＝6，∴6＝eq \f(k,5)，∴k＝30.
故y1＝eq \f(30,2x＋5)，y2＝4x＋eq \f(30,2x＋5)·15＋10＝4x＋eq \f(450,2x＋5)＋10(0≤x≤10)．
(2)y2＝4x＋eq \f(450,2x＋5)＋10＝(4x＋10)＋eq \f(450,2x＋5)＝2(2x＋5)＋eq \f(450,2x＋5)≥2eq \r(22x＋5·\f(450,2x＋5))＝60，
当且仅当2(2x＋5)＝eq \f(450,2x＋5)，即x＝5时，y2取得最小值，最小值为60，
∴隔热层的厚度为5厘米时，15年的总费用达到最小值，最小值为60万元．
13．(多选题)下列结论正确的是( AD )
A．当x>0时，eq \r(x)＋eq \f(1,\r(x))≥2
B．当x>2时，x＋eq \f(1,x)的最小值是2
C．当xD．当x>0，y>0时，eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)≥2
解析：在A中，当x>0时，eq \r(x)>0，eq \r(x)＋eq \f(1,\r(x))≥2，当且仅当x＝1时取等号，结论成立；在B中，当x>2时，x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(x·\f(1,x))＝2，当且仅当x＝1时取等号，但x>2取不到1，因此x＋eq \f(1,x)的最小值不是2，结论错误；在C中，因为x0，则y＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2×eq \r(5－4x·\f(1,5－4x))＋3＝1，当且仅当5－4x＝eq \f(1,5－4x)，即x＝1时取等号，结论错误；显然D正确，故选AD.
14．已知0A.eq \f(10\r(2),3) B．4＋eq \f(4\r(2),3)
C．4＋eq \r(2) D．4eq \r(2)
解析：因为不等式ax2＋x＋b≥0对于一切实数x恒成立，所以对应方程的根的判别式Δ1＝1－4ab≤0，即4ab≥1.又存在x0∈R，使bxeq \\al(2,0)＋x0＋a＝0成立，所以Δ2＝1－4ab≥0，即4ab≤1，所以4ab＝1，即b＝eq \f(1,4a)(1<4a<4)．所以eq \f(1,1－a)＋eq \f(2,1－b)＝eq \f(1,1－a)＋eq \f(2,1－\f(1,4a))＝eq \f(4,4－4a)＋eq \f(2,4a－1)＋2＝eq \f(4,4－4a)(4－4a＋4a－1)×eq \f(1,3)＋eq \f(2,4a－1)(4－4a＋4a－1)×eq \f(1,3)＋2＝2＋eq \f(1,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(44a－1,4－4a)＋\f(24－4a,4a－1)))＋2≥4＋eq \f(1,3)×2eq \r(8)＝4＋eq \f(4\r(2),3)(当且仅当eq \f(44a－1,4－4a)＝eq \f(24－4a,4a－1)时，等号成立)．所以eq \f(1,1－a)＋eq \f(2,1－b)的最小值为4＋eq \f(4\r(2),3).
15．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为：F＝eq \f(76 000v,v2＋18v＋20l).
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为1_900辆/时；
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加100辆/时．
解析：(1)当l＝6.05时，
F＝eq \f(76 000,v＋\f(20×6.05,v)＋18)≤eq \f(76 000,2\r(121)＋18)＝1 900，
当且仅当v＝eq \f(20×6.05,v)，即v＝11时等号成立．
(2)当l＝5时，F＝eq \f(76 000,v＋\f(20×5,v)＋18)≤eq \f(76 000,2\r(100)＋18)＝2 000，当且仅当v＝eq \f(20×5,v)，即v＝10时等号成立，2 000－1 900＝100(辆/时)．
16．设a，b为正实数，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2eq \r(2).
(1)求a2＋b2的最小值；
(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．
解：(1)∵a，b为正实数，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2eq \r(2)≥2eq \r(\f(1,ab))(a＝b时等号成立)．即ab≥eq \f(1,2)(a＝b时等号成立)．
∵a2＋b2≥2ab≥2×eq \f(1,2)＝1(a＝b时等号成立)．
∴a2＋b2的最小值为1.
(2)∵eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2 eq \r(2)，
∴a＋b＝2 eq \r(2)ab，∵(a－b)2≥4(ab)3，
∴(a＋b)2－4ab≥4(ab)3，
即(2 eq \r(2)ab)2－4ab≥4(ab)3.
即(ab)2－2ab＋1≤0，(ab－1)2≤0，
∵a，b为正实数，∴ab＝1.