2025年高考数学一轮复习-2.2.1-基本不等式-专项训练【含解析】

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这是一份2025年高考数学一轮复习-2.2.1-基本不等式-专项训练【含解析】，共10页。试卷主要包含了下列不等式恒成立的是等内容，欢迎下载使用。

1. 若实数a，b满足a+b=1，则ab的最大值为（）.
A. 2B. 1C. 12D. 14
2. 函数y=3x+1x−1x>1的最小值为（）.
A. 4B. 23−3C. 23D. 23+3
3. 已知正实数x，y满足2x+1y=1，则4xy−3x−6y的最小值为（）.
A. 2B. 4C. 8D. 12
4. 若−1A. 最大值−1B. 最小值−1C. 最大值1D. 最小值1
5. 下列不等式恒成立的是（）.
A. x+1x≥2B. a+b≥2ab
C. a+b22≥a2+b22D. a2+b2≥2ab
6. 若用32 m2的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，规定车厢宽度为2 m，则车厢容积的最大值为（）.
A. 38−373 m3B. 16 m3C. 42 m3D. 14 m3
7. 最大视角问题是德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般被称为“米勒问题”.如图，树顶A离地面12米，树上另一点B离地面8米，若某人站在高台上仰视此树，其双眼在离地面2米的C处，则tan∠ACB的最大值为（）.
A. 55B. 1010C. 1515D. 510
8. 已知正实数a，b满足ab+a+b=2，则a+2b的最小值为（）.
A. 26−3B. 22C. 1D. 2
综合提升练
9. （多选题）已知a，b是两个正数，4是2a与16b的等比中项，则下列说法正确的是（）.
A. ab的最小值为1B. ab的最大值为1
C. 1a+1b的最小值为94D. 1a+1b的最大值为92
10. （多选题）以下说法正确的是（）.
A. 若x>0，则2−3x−3x的最大值为−4
B. 当a2+b2=4时，a+b≤22
C. 关于x的不等式x2+2x≥ax在[1,2]上有解等价于x2+2xmin≥axmin在[1,2]上成立
D. 当x∈(0,π2)时，sin x+2sin x的最小值为22
11. 设x,y∈R,a>1,b>1，若ax=by=6,2a+b=16，则1x+1y的最大值为_______.
12. （双空题）已知实数x，y，z不全为0，则w=y2+2xzx2+y2+z2的最小值为−1 ，最大值为_______
应用情境练
13. 某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费（单位：万元）与供热站到社区的距离（单位：千米）成反比，每月供热费（单位：万元）与供热站到社区的距离成正比.如果在距离社区20千米处建立供热站，自然消费与供热费分别为0.5万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区_______千米处.
14. 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形（如图1）.现由毕达哥拉斯树部分图形作出图2，△ABC为锐角三角形，面积为1,∠ACB=π6，以△ABC的三边为边长的正方形的中心分别为M1,M2,M3，则M1M22+M2M32+M3M12的最小值为_______
创新拓展练
15. 已知a>0，b>0，曲线fx=ln x−2x+4在x=1处的切线为l，若点Ma,b在直线l上，则1a+1b+1的最小值为1.
16. 已知函数fx=mx2+nxm>0.
（1）若f1=1，且n>−2，求1m+1+1n+2的最小值.
（2）求证：函数y=fx在[1,2]上单调的充要条件是f2f4≥0.
基本不等式-专项训练（解析版）
基础巩固练
1. 若实数a，b满足a+b=1，则ab的最大值为（ D ）.
A. 2B. 1C. 12D. 14
[解析]∵ab≤a+b22，a+b=1，
∴ab≤122，即ab≤14，当且仅当a=b=12 时，等号成立，
∴abmax=14.故选D.
2. 函数y=3x+1x−1x>1的最小值为（ D ）.
A. 4B. 23−3C. 23D. 23+3
[解析]因为x>1，所以y=3x−1+1x−1+3≥23x−1⋅1x−1+3=23+3，当且仅当3x−1=1x−1，即x=1+33 时，等号成立,所以函数y=3x+1x−1x>1 的最小值为23+3.故选D.
3. 已知正实数x，y满足2x+1y=1，则4xy−3x−6y的最小值为（ C ）.
A. 2B. 4C. 8D. 12
[解析]由x>0，y>0且2x+1y=1，可得xy=x+2y，
所以4xy−3x−6y=4x+8y−3x−6y=x+2y=2x+1yx+2y=4+4yx+xy≥4+24yx⋅xy=8，
当且仅当4yx=xy，即x=4，y=2时,等号成立.故选C.
4. 若−1A. 最大值−1B. 最小值−1C. 最大值1D. 最小值1
[解析]由−1所以y=−12⋅1−x2+11−x=−12[1−x+11−x]≤−12×21−x⋅11−x=−1，当且仅当1−x=11−x，即x=0 时，等号成立，所以当x=0 时，y=x2−2x+22x−2有最大值−1.故选A.
5. 下列不等式恒成立的是（ D ）.
A. x+1x≥2B. a+b≥2ab
C. a+b22≥a2+b22D. a2+b2≥2ab
[解析]对于A，当x<0 时，不等式显然不成立，故A 错误；
对于B，“a+b≥2ab”成立的条件为“a≥0,b≥0”，故B 错误；
对于C，当a=−b≠0 时，不等式显然不成立，故C 错误；
对于D，由a2+b2−2ab=a−b2≥0，得a2+b2≥2ab，故D 正确.
故选D.
6. 若用32 m2的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，规定车厢宽度为2 m，则车厢容积的最大值为（ B ）.
A. 38−373 m3B. 16 m3C. 42 m3D. 14 m3
[解析]设长方体车厢的长为x m，高为ℎ m，则2x+2⋅2ℎ+2xℎ=32，即x+2ℎ+xℎ=16，
∴16=x+2ℎ+xℎ≥22xℎ+xℎ，即xℎ+22xℎ−16≤0，
解得0∴0∴ 车厢的容积V=2xℎ≤16m3,当且仅当x=2ℎ,即x=4,ℎ=2时,等号成立，
∴ 车厢容积的最大值为16 m3.故选B.
7. 最大视角问题是德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般被称为“米勒问题”.如图，树顶A离地面12米，树上另一点B离地面8米，若某人站在高台上仰视此树，其双眼在离地面2米的C处，则tan∠ACB的最大值为（ C ）.
A. 55B. 1010C. 1515D. 510
[解析]如图，过点C 作CD⊥AB，交AB 于点D，则AB=4,AD=10,BD=6.
设∠BCD=α ,CD=xx>0，在Rt△BCD 中，tan α=BDCD=6x.
在Rt△ACD 中，tan∠ACD=ADCD=10x.
所以tan∠ACB=tan∠ACD−α=10x−6x1+10x⋅6x=4x+60x≤42x⋅60x=1515，当且仅当x=60x，即x=215 时，等号成立，故tan∠ACB 的最大值为1515.故选C.
8. 已知正实数a，b满足ab+a+b=2，则a+2b的最小值为（ A ）.
A. 26−3B. 22C. 1D. 2
[解析]因为a>0,b>0，ab+a+b=2，
所以ab+1=2−b，则a=2−bb+1，
由a=2−bb+1>0，得0所以a+2b=2−bb+1+2b=2−t−1t+2t−1=3t+2t−3≥23t⋅2t−3=26−3，
当且仅当3t=2t，即t=62，b=62−1时，等号成立，
则a+2b 的最小值为26−3.故选A.
综合提升练
9. （多选题）已知a，b是两个正数，4是2a与16b的等比中项，则下列说法正确的是（ BC ）.
A. ab的最小值为1B. ab的最大值为1
C. 1a+1b的最小值为94D. 1a+1b的最大值为92
[解析]因为2a⋅16b=42，所以2a+4b=24，
所以a+4b=4≥24ab，可得ab≤1，当且仅当a=4b,即a=2,b=12时，等号成立，
所以ab 的最大值为1，故A 错误，B正确.
因为1a+1b=1a+1b⋅a+4b⋅14=141+4+4ba+ab≥145+24ba⋅ab=14×5+4=94，当且仅当4ba=ab,即a=43,b=23时，等号成立，所以1a+1b 的最小值为94，无最大值，故C 正确，D错误.故选BC.
10. （多选题）以下说法正确的是（ AB ）.
A. 若x>0，则2−3x−3x的最大值为−4
B. 当a2+b2=4时，a+b≤22
C. 关于x的不等式x2+2x≥ax在[1,2]上有解等价于x2+2xmin≥axmin在[1,2]上成立
D. 当x∈(0,π2)时，sin x+2sin x的最小值为22
[解析]对于A，因为x>0，所以3x+3x≥23x⋅3x=6( 当且仅当3x=3x，即x=1 时，等号成立)，所以2−3x−3x≤−4，所以2−3x−3x 的最大值为−4，故A 正确；
对于B，因为a2+b2≥2ab，所以2a2+b2≥a+b2，所以a+b≤22，当且仅当a=b=2 时，等号成立，故B 正确；
对于C,关于x 的不等式x2+2x≥ax 在[1,2] 上有解等价于a≤x2+2xxmax 在[1,2] 上成立，故C 错误；
对于D，当x∈(0,π2)时，sin x∈0,1，令t=sin x∈0,1，ft=t+2t，由对勾函数的性质易知ft=t+2t 在0,1 上单调递减，所以sin x+2sin x 在(0,π2)上无最值，故D 错误.故选AB.
11. 设x,y∈R,a>1,b>1，若ax=by=6,2a+b=16，则1x+1y的最大值为5lg62 .
[解析]因为ax=by=6，所以x=lga6,y=lgb6，
又lga6⋅lg6a=lg 6lg a⋅lg alg 6=1,lgb6⋅lg6b=lg 6lg b⋅lg blg 6=1，
所以1x=lg6a,1y=lg6b.
因为a>1,b>1，根据基本不等式有2ab≤2a+b22=64，
当且仅当2a=b，即a=4,b=8时，等号成立，
所以ab≤32，
所以1x+1y=lg6a+lg6b=lg6ab≤lg632=5lg62，
所以1x+1y 的最大值为5lg62.
12. （双空题）已知实数x，y，z不全为0，则w=y2+2xzx2+y2+z2的最小值为−1 ，最大值为1.
[解析]w=y2+2xzx2+y2+z2≥y2−x2−z2x2+y2+z2≥−y2−x2−z2x2+y2+z2=−1，当且仅当y=0，x=z时,等号成立，所以w 的最小值为−1.
w=y2+2xzx2+y2+z2≤y2+x2+z2x2+y2+z2=1，当且仅当x=z 时，等号成立，所以w 的最大值为1.
应用情境练
13. 某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费（单位：万元）与供热站到社区的距离（单位：千米）成反比，每月供热费（单位：万元）与供热站到社区的距离成正比.如果在距离社区20千米处建立供热站，自然消费与供热费分别为0.5万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区5千米处.
[解析]设供热站建在离社区x 千米处，自然消费y1=k1x 万元，供热费y2=k2x 万元，
由题意得,当x=20 时，y1=0.5，y2=8，
所以k1=20×0.5=10,k2=820=25，
所以y1=10x，y2=25x,
所以两项费用之和为y1+y2=10x+2x5≥210x⋅2x5=4，
当且仅当10x=2x5，即x=5 时，等号成立，
所以要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区5千米处.
14. 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形（如图1）.现由毕达哥拉斯树部分图形作出图2，△ABC为锐角三角形，面积为1,∠ACB=π6，以△ABC的三边为边长的正方形的中心分别为M1,M2,M3，则M1M22+M2M32+M3M12的最小值为22−43 .
[解析]由题意知，S△ABC=1,∠ACB=π6，
设△ABC 的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
因为S△ABC=12absin∠ACB，即1=12ab⋅12，所以ab=4，
由余弦定理得c2=a2+b2−2abcs∠ACB=a2+b2−43.
在△M2AM3 中，AM2=22b,AM3=22c,∠M2AM3=∠BAC+π2，
由余弦定理可得M2M32=12c2+12b2−2⋅22c⋅22b⋅cs∠BAC+π2=b2+c22+bcsin∠BAC.
又S△ABC=12bcsin∠BAC=1，所以bcsin∠BAC=2，则M2M32=b2+c22+2.
同理，M1M22=a2+b22+2,M3M12=a2+c22+2.
故M1M22+M2M32+M3M12=a2+b2+c2+6=2a2+b2+6−43≥4ab+6−43=22−43，当且仅当a=b=2 时，等号成立，所以M1M22+M2M32+M3M12≥22−43,故M1M22+M2M32+M3M12 的最小值为22−43.
创新拓展练
15. 已知a>0，b>0，曲线fx=ln x−2x+4在x=1处的切线为l，若点Ma,b在直线l上，则1a+1b+1的最小值为1.
[解析]由fx=ln x−2x+4，得f'x=1x−2，
∴f'1=1−2=−1，
又f1=2，∴ 直线l：y−2=−1⋅x−1，即x+y=3.
∵ 点Ma,b 在直线l 上，∴a+b=3.
又a>0，b>0，∴1a+1b+1=1a+1b+1⋅[a+b+1]⋅14=14b+1a+ab+1+2≥14×2+2=1，当且仅当b+1a=ab+1，即a=2，b=1时,等号成立，
∴1a+1b+1 的最小值为1.
16. 已知函数fx=mx2+nxm>0.
（1）若f1=1，且n>−2，求1m+1+1n+2的最小值.
（2）求证：函数y=fx在[1,2]上单调的充要条件是f2f4≥0.
[解析]（1）若f1=1，则m+n=1，即m+1+n+2=4，
∵m>0，n>−2，∴m+1>1,n+2>0，
∴1m+1+1n+2=14[m+1+n+2]1m+1+1n+2=142+n+2m+1+m+1n+2≥142+2n+2m+1⋅m+1n+2=1，当且仅当m=1,n=0时取等号，
∴1m+1+1n+2 的最小值为1.
（2）充分性：当f2f4≥0 时，4m+2n16m+4n≥0，
解得n≤−4m 或n≥−2m，即−n2m≥2 或−n2m≤1，
∵fx=mx2+nxm>0 的图象是开口向上，对称轴为直线x=−n2m 的抛物线，
∴ 函数y=fx 在[1,2] 上单调.
必要性：∵fx=mx2+nxm>0的图象是开口向上，对称轴为直线x=−n2m 的抛物线，且函数y=fx 在[1,2] 上单调，
∴−n2m≥2 或−n2m≤1，即n≤−4m 或n≥−2m，
∴n+4mn+2m≥0，即4m+2n16m+4n≥0，
即f2f4≥0.
∴ 函数y=fx 在[1,2] 上单调的充要条件是f2f4≥0.