2025年高考数学一轮复习-2.4-幂函数与二次函数-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-2.4-幂函数与二次函数-专项训练【含解析】，共12页。


A. 23 B. 32 C. −23 D. −32
2.已知fx=x2−2022x ，若fm=fn ，m≠n ，则fm+n= ( )
A. 2022 B. −2022 C. 0 D. 1004
3.设fx=xαα∈{−1,12,1,2,3} ，则“函数fx 的图象经过点−1,1 ”是“函数fx 在−∞,0 上单调递减”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. （多选）已知幂函数fx=m+95xm ,则( )
A. f−32=116
B. fx 的定义域是R
C. fx 是偶函数
D. 不等式fx−1≥f2 的解集是[−1,1)∪(1,3]
5. （多选）已知函数y=x2−4x+1 的定义域为[1,t] ，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为−5 ，则实数t 的值可以为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 若函数fx=ax2+2x−1 在区间−∞,6 上单调递增，则实数a 的取值范围是 .
7.已知①f0=0 ；②f4−x=fx ；③在区间2,3 上单调递减，则同时满足条件①②③的一个函数fx= .
8. 已知函数fx=xα+2xα≠0 ，且f4=10 ，则α= ；若fm>f−m+1 ，则实数m 的取值范围是 .
9. 已知二次函数fx 的最小值为1，函数y=fx+1 是偶函数，且f0=3 .
（1） 求fx 的解析式；
（2） 若函数fx 在区间[2a,a+1] 上单调，求实数a 的取值范围.
[B级 综合运用]
10. 已知实数a ,b 满足等式a12=b13 ，则下列关系式不可能成立的是( )
A. 011. 已知函数fx=ax2+bx+c ，且fx+2 是偶函数，则下列大小关系可能正确的是( )
A. f2C. f2>f−ba>c D. f−ba12. 已知函数fx=m2−m−5xm2−6 是幂函数，对任意x1 ,x2∈0,+∞ ,且x1≠x2 ，满足fx1−fx2x1−x2>0 ，若a ,b∈R ，且a+b>0 ，则fa+fb 的值( )
A. 恒大于0B. 恒小于0C. 等于0D. 无法判断
13. 当x≤1 时，函数y=x2+4x+6 的值域为D ，且当x∈D 时，不等式x2+kx+6≥4x 恒成立，则实数k 的取值范围为( )
A. [4−26,+∞) B. (−∞,−1] C. (−∞,4−26] D. −∞,−335
14. 现有三个条件：①对任意的x∈R 都有fx+1−fx=2x−2 ;②不等式fx<0 的解集为{x|1已知二次函数fx=ax2+bx+c ，且满足 .
（1） 求函数fx 的解析式；

（2） 设gx=fx−mx ,若函数gx 在区间[1,2] 上的最小值为3，求实数m 的值.
注：如果选择多个组合分别解答，按第一个解答计分.
[C级 素养提升]
15. （多选）已知两个变量x ，y 的关系式fx,y=x1−y ，则以下说法正确的是( )
A. f1,3=f3,1=0
B. 对任意实数a ，都有fa,a≤14 成立
C. 若对任意实数x ，不等式fx−a,x≤−a+4 恒成立，则实数a 的取值范围是[−5,3]
D. 若对任意正实数a ，不等式fx−a,x≤−a+4 恒成立，则实数x 的取值范围是−∞,0
16. 已知二次函数fx 的最小值为2，其图象关于直线x=1 对称，且f0=3 .
（1） 求fx 的解析式；
（2） 在区间[−2,2] 上，y=fx 的图象恒在y=−x+2m+1 图象的上方，试确定实数m 的取值范围；
（3） 求函数fx 在区间[t−1,t] 上的最小值gt .
2025年高考数学一轮复习-2.4-幂函数与二次函数-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 已知常数α∈Q ，如图为幂函数y=xα 的图象，则α 的值可以为( C )
A. 23 B. 32 C. −23 D. −32
[解析]选C.由幂函数y=xα 的图象关于y 轴对称知，函数y=xα 是偶函数，排除B ，D 选项；再根据幂函数y=xα 的图象在第一象限内从左到右下降，可得α<0 ，排除A选项.故选C.
2.已知fx=x2−2022x ，若fm=fn ，m≠n ，则fm+n= ( C )
A. 2022 B. −2022 C. 0 D. 1004
[解析]选C.由fx=x2−2022x=x−10112−10112 可得fx 的对称轴为直线x=1011 ，
由fm=fn ，m≠n ，得m+n2=1011 ，即m+n=2022 ，
所以fm+n=f2022=20222−2022×2022=0 ，故选C.
3.设fx=xαα∈{−1,12,1,2,3} ，则“函数fx 的图象经过点−1,1 ”是“函数fx 在−∞,0 上单调递减”的( A )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
[解析]选A.函数fx 的图象经过点−1,1 ，则fx=−1α=1 ，
因为α∈{−1,12,1,2,3} ，所以α=2 ，所以fx=x2 ，所以fx 在−∞,0 上单调递减，而fx 在−∞,0 上单调递减，函数fx 的图象不一定经过点−1,1 ，如：fx=x−1 .
所以“函数fx 的图象经过点−1,1 ”是“函数fx 在−∞,0 上单调递减”的充分不必要条件.故选A.
4. （多选）已知幂函数fx=m+95xm ,则( ACD )
A. f−32=116
B. fx 的定义域是R
C. fx 是偶函数
D. 不等式fx−1≥f2 的解集是[−1,1)∪(1,3]
[解析]选ACD.因为函数fx 是幂函数，所以m+95=1 ，得m=−45 ,即fx=x−45 ,f−32=[−25]−45=−2−4=116 ，故A正确；函数的定义域是{x|x≠0} ，故B不正确；因为定义域关于原点对称，f−x=fx ，所以函数fx 是偶函数，故C正确；易知函数fx=x−45 在0,+∞ 上是减函数，不等式fx−1≥f2 等价于x−1≤2 ，解得−2≤x−1≤2 ，且x−1≠0 ，得−1≤x≤3 ，且x≠1 ，即不等式的解集是[−1,1)∪(1,3] ，故D正确.
5. （多选）已知函数y=x2−4x+1 的定义域为[1,t] ，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为−5 ，则实数t 的值可以为( BC )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
[解析]选BC.函数y=x2−4x+1 是开口向上，对称轴为直线x=2 的抛物线，
因为函数的定义域为[1,t] ，
所以当x=1 时，y=−2 ，当x=2 时，y=−3 ，
因为在[1,t] 内函数的最大值与最小值之和为−5 ，
所以当y=−2 时，x=1 或x=3 ，所以2≤t≤3 ，故选BC.
6. 若函数fx=ax2+2x−1 在区间−∞,6 上单调递增，则实数a 的取值范围是[−16,0] .
[解析]当a=0 时，函数fx=2x−1 在R 上单调递增，符合题意；当a≠0 时，函数fx 是二次函数，又fx 在−∞,6 上单调递增，由二次函数性质知，a<0 ，
则有−1a≥6，a<0， 解得−16≤a<0 ，所以实数a 的取值范围是[−16,0] .
7.已知①f0=0 ；②f4−x=fx ；③在区间2,3 上单调递减，则同时满足条件①②③的一个函数fx= −x2+4x （答案不唯一）.
[解析]由题意可知，fx 的图象关于直线x=2 对称，且在2,3 上单调递减，且f0=0 ，可取fx=−x2+4x 满足条件.
8. 已知函数fx=xα+2xα≠0 ，且f4=10 ，则α= 12 ；若fm>f−m+1 ，则实数m 的取值范围是(12,1] .
[解析]f4=4α+2×4=10 ，即4α=2 ,所以α=12 ，所以fx=x12+2x=x+2x ，其定义域为[0,+∞) ，且fx 在[0,+∞) 上是增函数.由fm>f−m+1 可得m≥0，−m+1≥0，m>−m+1. 解得129. 已知二次函数fx 的最小值为1，函数y=fx+1 是偶函数，且f0=3 .
（1） 求fx 的解析式；
[答案]解：因为函数y=fx+1 是偶函数，所以fx 的图象关于直线x=1 对称.又因为fx 的最小值为1，所以可设fx=mx−12+1 ,又f0=3 ,所以m=2 ，所以fx=2x−12+1=2x2−4x+3 .
（2） 若函数fx 在区间[2a,a+1] 上单调，求实数a 的取值范围.
[答案]要使fx 在区间[2a,a+1] 上单调，则2a[B级 综合运用]
10. 已知实数a ,b 满足等式a12=b13 ，则下列关系式不可能成立的是( B )
A. 0[解析]选B.画出y=x12 与y=x13 的图象（如图）.设a12=b13=m ，作直线y=m .由图象知，若m=0 或m=1 ，则a=b ;若01 ，则111. 已知函数fx=ax2+bx+c ，且fx+2 是偶函数，则下列大小关系可能正确的是( A )
A. f2C. f2>f−ba>c D. f−ba[解析]选A.因为fx+2 是偶函数，所以直线x=2 是y=fx 图象的对称轴.f−ba=a⋅b2a2+b⋅−ba+c=c ，所以B ，C ，D 均不可能成立，当a>0 时，f2 是最小值，因此f212. 已知函数fx=m2−m−5xm2−6 是幂函数，对任意x1 ,x2∈0,+∞ ,且x1≠x2 ，满足fx1−fx2x1−x2>0 ，若a ,b∈R ，且a+b>0 ，则fa+fb 的值( A )
A. 恒大于0B. 恒小于0C. 等于0D. 无法判断
[解析]选A.由题得m2−m−5=1 ，解得m=−2 或m=3 .因为对任意x1 ,x2∈0,+∞ ，且x1≠x2 ，满足fx1−fx2x1−x2>0 ，所以函数fx 在0,+∞ 上单调递增，所以m2−6>0 ，所以m=3 ，所以fx=x3 .若a ,b∈R ,且a+b>0 ，则a>−b ,易知fx 为奇函数且在R 上单调递增，所以fa>f−b=−fb ,所以fa+fb>0 .故选A.
13. 当x≤1 时，函数y=x2+4x+6 的值域为D ，且当x∈D 时，不等式x2+kx+6≥4x 恒成立，则实数k 的取值范围为( A )
A. [4−26,+∞) B. (−∞,−1] C. (−∞,4−26] D. −∞,−335
[解析]选A.函数y=x2+4x+6 的图象开口向上，对称轴为直线x=−2 ，所以当x≤1 时，y=x+22+2≥f−2=2 ，所以D=[2,+∞) .当x∈[2,+∞) 时，不等式x2+kx+6≥4x 恒成立，即k≥−x+6x+4 .当x∈[2,+∞) 时，x+6x≥2x⋅6x=26 ，当且仅当x=6 时等号成立，所以−x+6x+4≤4−26 ,故k∈[4−26,+∞) .
14. 现有三个条件：①对任意的x∈R 都有fx+1−fx=2x−2 ;②不等式fx<0 的解集为{x|1已知二次函数fx=ax2+bx+c ，且满足 .
（1） 求函数fx 的解析式；
[答案]解：条件①：因为fx=ax2+bx+ca≠0 ,
所以fx+1−fx=ax+12+bx+1+c−ax2+bx+c=2ax+a+b=2x−2 ,
所以2a=2,a+b=−2, 解得a=1,b=−3.
条件②：因为不等式fx<0 的解集为{x|10 .
条件③：函数y=fx 的图象过点3,2 ，所以9a+3b+c=2 .
若选择条件①②：则a=1 ,b=−3 ,c=2 ,此时fx=x2−3x+2 .
若选择条件①③：则a=1 ,b=−3 ,c=2 ,此时fx=x2−3x+2 .
若选择条件②③：则a=1 ,b=−3 ,c=2 ,此时fx=x2−3x+2 .
（2） 设gx=fx−mx ,若函数gx 在区间[1,2] 上的最小值为3，求实数m 的值.
注：如果选择多个组合分别解答，按第一个解答计分.
[答案]由（1）知gx=x2−m+3x+2 ，其图象的对称轴为直线x=m+32 ,
（ⅰ）当m+32≤1 ,即m≤−1 时，gxmin=g1=3−m+3=−m=3 ,解得m=−3 ,
（ⅱ）当m+32≥2 ，即m≥1 时，gxmin=g2=6−2m+6=−2m=3 ,解得m=−32 （舍去），
（ⅲ）当1综上所述，实数m 的值为−3 .
[C级 素养提升]
15. （多选）已知两个变量x ，y 的关系式fx,y=x1−y ，则以下说法正确的是( BC )
A. f1,3=f3,1=0
B. 对任意实数a ，都有fa,a≤14 成立
C. 若对任意实数x ，不等式fx−a,x≤−a+4 恒成立，则实数a 的取值范围是[−5,3]
D. 若对任意正实数a ，不等式fx−a,x≤−a+4 恒成立，则实数x 的取值范围是−∞,0
[解析]选BC.对于选项A，f1,3=1×1−3=−2 ，f3,1=3×1−1=0 ，即f1,3≠f3,1 ，则A错误；
对于选项B，fa,a=a1−a=a−a2=−a−122+14≤14 ，则B正确；
对于选项C，fx−a,x=x−a1−x=−x2+a+1x−a≤−a+4 恒成立，
即x2−a+1x+4≥0 恒成立，则Δ=a+12−16≤0 ，解得−5≤a≤3 ,则C正确；
对于选项D，x2−a+1x+4≥0 恒成立，令y=−ax+x2−x+4a>0 ，当x>0 时，该函数看成关于a 的一次函数，函数单调递减，不可能恒大于0.当x=0 时，y=4≥0 成立.当x<0 时，该函数看成关于a 的一次函数，函数单调递增，令μ=x2−x+4 ,则μ=x−122+154>0 ，又a∈R+ ,所以−ax>0 恒成立，即y≥0 恒成立.则实数x 的取值范围是(−∞,0] ，则D错误.故选BC.
16. 已知二次函数fx 的最小值为2，其图象关于直线x=1 对称，且f0=3 .
（1） 求fx 的解析式；
[答案]解：设fx=ax−12+2a>0 ，由f0=a+2=3 ,解得a=1 ，
所以fx=x−12+2=x2−2x+3 .
（2） 在区间[−2,2] 上，y=fx 的图象恒在y=−x+2m+1 图象的上方，试确定实数m 的取值范围；
[答案]由题得x2−2x+3>−x+2m+1 ,即x2−x+2>2m 对任意的x∈[−2,2] 恒成立,
设ℎx=x2−x+2 ,x∈[−2,2] ，则只要ℎxmin>2m 即可.
因为函数ℎx 在[−2,12] 上单调递减，在(12,2] 上单调递增，
所以ℎx 在[−2,2] 上的最小值为ℎ12=74 ,即2m<74 ,解得m<78 ,故实数m 的取值范围是−∞,78 .
（3） 求函数fx 在区间[t−1,t] 上的最小值gt .
[答案]函数fx 图象的对称轴为直线x=1 .
当t≤1 时，fx 在[t−1,t] 上单调递减，则gt=ft=t2−2t+3 ;
当t−1<1当t−1≥1 ，即t≥2 时，fx 在[t−1,t] 上单调递增，
则gt=ft−1=t2−4t+6 .
综上，gt=t2−2t+3,t≤1,2,1