2025年高考数学一轮复习-4.5-函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-4.5-函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用-专项训练【含解析】，共15页。

A.
B.
C.
D.
2.为了得到函数y=2sin 3x 的图象，只要把函数y=2sin(3x+π5) 图象上所有的点( )
A. 向左平移π5 个单位长度B. 向右平移π5 个单位长度
C. 向左平移π15 个单位长度D. 向右平移π15 个单位长度
3.已知函数f(x)=sin(ωx+2π3) 在[−π,π] 上的图象如图所示，则f(x) 的最小正周期是( )
A. 3π2 B. 4π3 C. 7π6 D. 2π3
4.把函数y=f(x) 图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12 （横坐标不变），再将所得曲线上所有点的横坐标缩短到原来的12 （纵坐标不变），最后把所得曲线向左平移π6 个单位长度，得到函数y=cs 2x 的图象，则f(x)= ( )
A. 2sin(x+π6) B. 2sin(x+π3) C. 2sin(4x−π6) D. 12sin(x−π6)
5.若函数y=3sin x+cs x 的图象向右平移φ 个单位长度后是一个奇函数的图象，则正数φ 的最小值为 .
6.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acs[π6(x−6)](A＞0,x=1,2,3,…,12) 来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃ ，12月份的月平均气温最低，为18℃ ，则10月份的平均气温值为 ℃ .
7. 已知直线x=π6 为函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2) 图象的一条对称轴，f(x) 的图象与直线y=12 的交点中，相邻两点间的最小距离为π3 ,那么函数f(x)= .
8. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π) 的部分图象如图所示.
（1） 求f(x) 的解析式及对称中心；
（2） 先将f(x) 的图象的纵坐标缩短到原来的12 （横坐标不变），再向右平移π12 个单位长度后得到g(x) 的图象，求函数y=g(x) 在[π12,3π4] 上的单调递减区间和最值.[B级 综合运用]
9. （多选）已知奇函数f(x)=3sin(ωx+φ)−cs(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π) 的最小正周期为π ，将函数f(x) 的图象向右平移π6 个单位长度，可得到函数y=g(x) 的图象，则下列结论正确的有( )
A. 函数g(x)=2sin(2x−π3)
B. 函数g(x) 的图象关于点(−π3,0) 对称
C. 函数g(x) 在区间[−π6,π3] 上单调递增
D. 当x∈[0,π2] 时，函数g(x) 的最大值为3
10. 如图，将绘有函数f(x)=3sin(ωx+5π6)(ω>0) 部分图象的纸片沿x 轴折成直二面角，若点A ，B 之间的空间距离为10 ，则f(−1)= .
11. 已知函数f(x)=2sin(x−π3) ，将y=f(x) 的图象上所有点的横坐标变为原来的12 （纵坐标不变），再将所得函数图象向左平移π4 个单位长度，得到y=g(x) 的图象，若g(x)=32 在[0,2π] 上有n 个不同的解x1 ,x2 ,… ,xn ，则tan(∑ni=1xi)= .
12. 已知函数f(x)=cs 2x 的图象向右平移π12 个单位长度后得到g(x) 的图象.若对于任意的x1∈[−π3,π6] ,总存在x2∈[m,n] ,使得f(x1)=g(x2) ,则|m−n| 的最小值为 .
13. 如图，点A ，B 分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点.动点A 从初始位置A0(csπ3,sinπ3) 开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s 做圆周运动，同时点B 从初始位置B0(2,0) 开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s 做圆周运动.记t 时刻，点A ，B 的纵坐标分别为y1 ,y2 .
（1） 求t=π4 时，A ，B 两点间的距离；
（2） 若y=y1+y2 ，求y 关于时间t(t>0) 的函数关系式，并求当t∈(0,π2] 时，y 的取值范围.
[C级 素养提升]
14. （多选）已知函数f(x)=csωπx(ω>0) ，将f(x) 的图象向右平移13ω 个单位长度后得到函数g(x) 的图象，点A ，B ，C 是f(x) 与g(x) 图象的连续相邻的三个交点，若△ABC 是锐角三角形，则ω 的值可能为( )
A. 23 B. 14 C. 33 D. 3
15. 已知函数f(x)=3sin(ωx+π6)+2sin2(ωx2+π12)−1(ω>0) 的相邻两条对称轴间的距离为π2 .
（1） 求f(x) 的解析式；
（2） 将函数f(x) 的图象向右平移π6 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12 （纵坐标不变），得到函数y=g(x) 的图象，当x∈[−π12,π6] 时，求函数g(x) 的值域;
（3） 对于第（2）问中的函数g(x) ，记方程g(x)=43 在[π6,4π3] 上的根从小到大依次为x1 ,x2 ,… ，xn ，试确定n 的值，并求x1+2x2+2x3+…+2xn−1+xn 的值.
2025年高考数学一轮复习-4.5-函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 函数y=sin(2x−π3) 在区间[−π2,π] 上的简图是( A )
A.
B.
C.
D.
[解析]选A.令x=0 得y=sin(−π3)=−32 ，排除B ,D 项;由f(−π3)=0 ,f(π6)=0 ，排除C项.故选A.
2.为了得到函数y=2sin 3x 的图象，只要把函数y=2sin(3x+π5) 图象上所有的点( D )
A. 向左平移π5 个单位长度B. 向右平移π5 个单位长度
C. 向左平移π15 个单位长度D. 向右平移π15 个单位长度
[解析]选D.因为y=2sin(3x+π5)=2sin[3(x+π15)] ，所以要得到函数y=2sin 3x 的图象，只要把函数y=2sin(3x+π5) 图象上所有的点向右平移π15 个单位长度.故选D.
3.已知函数f(x)=sin(ωx+2π3) 在[−π,π] 上的图象如图所示，则f(x) 的最小正周期是( B )
A. 3π2 B. 4π3 C. 7π6 D. 2π3
[解析]选B.设函数f(x) 的最小正周期为T ，由题图可知，T<2π<2T ，即π又T=2πω ,所以1<ω<2 .①
又由题图并结合五点作图法可知点(−4π9,0) 为f(x)=sin(ωx+2π3) 图象上的第一点，
则−4π9ω+2π3=2kπ(k∈Z) ,即ω=32−92k(k∈Z) .②
由①②可得ω=32 ,
所以f(x) 的最小正周期T=2π32=4π3 .故选B.
4.把函数y=f(x) 图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12 （横坐标不变），再将所得曲线上所有点的横坐标缩短到原来的12 （纵坐标不变），最后把所得曲线向左平移π6 个单位长度，得到函数y=cs 2x 的图象，则f(x)= ( A )
A. 2sin(x+π6) B. 2sin(x+π3) C. 2sin(4x−π6) D. 12sin(x−π6)
[解析]选A.由题知，将y=cs 2x 的图象向右平移π6 个单位长度，得到y=cs[2(x−π6)]=cs(2x−π3) 的图象,再将曲线上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cs(12×2x−π3)=cs(x−π3) 的图象,然后将图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到y=2cs(x−π3) 的图象,
则f(x)=2cs(x−π3)=2sin[π2−(x−π3)]=2sin(5π6−x)=2sin[π−(π6+x)]=2sin(π6+x) .故选A.
5.若函数y=3sin x+cs x 的图象向右平移φ 个单位长度后是一个奇函数的图象，则正数φ 的最小值为π6 .
[解析]将y=3sin x+cs x=2sin(x+π6) 的图象向右平移φ 个单位长度后所得图象对应的解析式为f(x)=2sin(x−φ+π6) .
因为f(x)=2sin(x−φ+π6) 为奇函数，所以−φ+π6=kπ ,k∈Z ,解得φ=π6−kπ ,k∈Z ,
因为φ>0 ,所以正数φ 的最小值为π6 .
6.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acs[π6(x−6)](A＞0,x=1,2,3,…,12) 来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃ ，12月份的月平均气温最低，为18℃ ，则10月份的平均气温值为20.5℃ .
[解析]依题意知，a=28+182=23 ,A=28−182=5 ,
所以y=23+5cs[π6(x−6)] ,
当x=10 时，y=23+5cs(π6×4)=20.5 .
7. 已知直线x=π6 为函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2) 图象的一条对称轴，f(x) 的图象与直线y=12 的交点中，相邻两点间的最小距离为π3 ,那么函数f(x)= sin(2x+π6) .
[解析]由sin(ωx+φ)=12 ,得ωx1+φ=π6+2kπ(k∈Z) 或ωx2+φ=5π6+2nπ(n∈Z) ,
所以相邻的两点的差为ω(x2−x1)=2π3 或ω(x2−x1)=4π3 ,所以相邻两点间的距离较小的应满足ω(x2−x1)=2π3 ,又|x2−x1|min=π3 ,所以ω=2 ,故f(x)=sin(2x+φ) ,
因为直线x=π6 为f(x) 图象的一条对称轴，所以2×π6+φ=π2+kπ(k∈Z) ,解得φ=π6+kπ(k∈Z) ，
又|φ|<π2 ，所以φ=π6 ，故f(x)=sin(2x+π6) .
8. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π) 的部分图象如图所示.
（1） 求f(x) 的解析式及对称中心；
[答案]解：根据题意可得A=2 ,34⋅2πω=5π12+π3 ，解得ω=2 .根据五点法作图，得2×5π12+φ=π2 ，
所以φ=−π3 ，故f(x)=2sin(2x−π3) .
根据题图可得，点(−π3,0) 是f(x) 的图象的一个对称中心，故函数f(x) 的对称中心为(kπ2−π3,0) ，k∈Z .
（2） 先将f(x) 的图象的纵坐标缩短到原来的12 （横坐标不变），再向右平移π12 个单位长度后得到g(x) 的图象，求函数y=g(x) 在[π12,3π4] 上的单调递减区间和最值.
[答案]先将f(x) 的图象的纵坐标缩短到原来的12 （横坐标不变），可得y=sin(2x−π3) 的图象，
再向右平移π12 个单位长度，
得到y=sin[2(x−π12)−π3]=sin(2x−π2)
=−cs 2x 的图象，
即g(x)=−cs 2x .
令2kπ−π≤2x≤2kπ ，k∈Z ，
解得kπ−π2≤x≤kπ ，k∈Z ，
可得g(x) 的单调递减区间为[kπ−π2,kπ] ，k∈Z ，
结合x∈[π12,3π4] ，可得g(x) 在[π12,3π4] 上的单调递减区间为[π2,3π4] .
又2x∈[π6,3π2] ，故当2x=π ，即x=π2 时，g(x) 取得最大值，即g(x)max=1 ；
当2x=π6 ，即x=π12 时，g(x) 取得最小值，即g(x)min=−32 .
[B级 综合运用]
9. （多选）已知奇函数f(x)=3sin(ωx+φ)−cs(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π) 的最小正周期为π ，将函数f(x) 的图象向右平移π6 个单位长度，可得到函数y=g(x) 的图象，则下列结论正确的有( AB )
A. 函数g(x)=2sin(2x−π3)
B. 函数g(x) 的图象关于点(−π3,0) 对称
C. 函数g(x) 在区间[−π6,π3] 上单调递增
D. 当x∈[0,π2] 时，函数g(x) 的最大值为3
[解析]选AB.f(x)=3sin(ωx+φ)−cs(ωx+φ)=2sin(ωx+φ−π6) ,
因为f(x) 的最小正周期为π ，所以ω=2ππ=2 ,
又因为f(x) 为奇函数，所以φ−π6=kπ ,k∈Z ，
所以φ=π6+kπ ,k∈Z .又0<φ<π ,所以φ=π6 ,所以f(x)=2sin 2x ,
则g(x)=2sin[2(x−π6)]=2sin(2x−π3) ,故A正确；
将x=−π3 代入g(x)=2sin(2x−π3) 中，
有2sin[2×(−π3)−π3]=0 ,
即函数g(x) 的图象关于点(−π3,0) 对称，故B正确；
当x∈[−π6,π3] 时，2x−π3∈[−2π3,π3] ,因为正弦函数y=sin x 在[−2π3,π3] 上不单调，
所以g(x) 在区间[−π6,π3] 上不是单调递增函数，故C错误；
当x∈[0,π2] 时，2x−π3∈[−π3,2π3] ,
g(x)=2sin(2x−π3)∈[−3,2] ,
此时函数g(x) 的最大值为2，故D错误.故选AB.
10. 如图，将绘有函数f(x)=3sin(ωx+5π6)(ω>0) 部分图象的纸片沿x 轴折成直二面角，若点A ，B 之间的空间距离为10 ，则f(−1)= 32 .
[解析]由题设并结合图形可知，
AB=(3)2+[(3)2+(T2)2]=6+T24=6+π2ω2=10 ,得π2ω2=4 ,则ω=π2 ,所以f(−1)=3sin(−π2+5π6)=3sinπ3=32 .
11. 已知函数f(x)=2sin(x−π3) ，将y=f(x) 的图象上所有点的横坐标变为原来的12 （纵坐标不变），再将所得函数图象向左平移π4 个单位长度，得到y=g(x) 的图象，若g(x)=32 在[0,2π] 上有n 个不同的解x1 ,x2 ,… ,xn ，则tan(∑ni=1xi)= −3 .
[解析]根据题意可知，g(x)=f[2(x+π4)]=2sin(2x+π6) ,由g(x)=32 得sin(2x+π6)=34 .令2x+π6=π2+kπ ,k∈Z ，解得x=π6+kπ2 ,k∈Z ，所以函数y=sin(2x+π6) 关于直线x=π6+kπ2(k∈Z) 对称.因为x∈[0,2π] ，所以由sin(2x+π6)=34 可得x1+x2=π3 ，x3+x4=7π3 ,所以tan(∑ni=1xi)=tan(x1+x2+x3+x4)=tan8π3=−3 .
12. 已知函数f(x)=cs 2x 的图象向右平移π12 个单位长度后得到g(x) 的图象.若对于任意的x1∈[−π3,π6] ,总存在x2∈[m,n] ,使得f(x1)=g(x2) ,则|m−n| 的最小值为π3 .
[解析]由题意得g(x)=cs(2x−π6) ,
因为x1∈[−π3,π6] ,所以2x1∈[−2π3,π3] ,
所以f(x1)=cs 2x1∈[−12,1] ，
因为对于任意的x1∈[−π3,π6] ,总存在x2∈[m,n] ，使得f(x1)=g(x2) ,
所以g(x2) 的取值范围应包含[−12,1] ，
根据余弦函数的性质，为使|m−n| 取最小值，只需函数g(x) 在x∈[m,n] 上单调且值域为[−12,1] 即可.
由2kπ−2π3≤2x−π6≤2kπ(k∈Z) ,
可得kπ−π4≤x≤kπ+π12(k∈Z) ,
因此|m−n| 的最小值为|−π4−π12|=π3 .
13. 如图，点A ，B 分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点.动点A 从初始位置A0(csπ3,sinπ3) 开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s 做圆周运动，同时点B 从初始位置B0(2,0) 开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s 做圆周运动.记t 时刻，点A ，B 的纵坐标分别为y1 ,y2 .
（1） 求t=π4 时，A ，B 两点间的距离；
[答案]解：连接AB ，OA ，OB （图略），
当t=π4 时，∠xOA=π2+π3=5π6 ,∠xOB=π2 ，
所以∠AOB=2π3 .
又OA=1 ，OB=2 ，所以AB2=12+22−2×1×2cs2π3=7 ，
即A ，B 两点间的距离为7 .
（2） 若y=y1+y2 ，求y 关于时间t(t>0) 的函数关系式，并求当t∈(0,π2] 时，y 的取值范围.
[答案]依题意，y1=sin(2t+π3) ,y2=−2sin 2t ,
所以y=sin(2t+π3)−2sin 2t=32cs 2t−32sin 2t=3cs(2t+π3) ,
即函数关系式为y=3cs(2t+π3)(t>0) ，
当t∈(0,π2] 时，2t+π3∈(π3,4π3] ,
所以cs(2t+π3)∈[−1,12) ,
故当t∈(0,π2] 时，y 的取值范围是[−3,32) .
[C级 素养提升]
14. （多选）已知函数f(x)=csωπx(ω>0) ，将f(x) 的图象向右平移13ω 个单位长度后得到函数g(x) 的图象，点A ，B ，C 是f(x) 与g(x) 图象的连续相邻的三个交点，若△ABC 是锐角三角形，则ω 的值可能为( AD )
A. 23 B. 14 C. 33 D. 3
[解析]选AD.由题意得g(x)=cs[ωπ(x−13ω)]=cs(ωπx−π3) ，f(x) ，g(x) 的图象如图所示，AC=T=2πωπ=2ω ，
由csωπx=cs(ωπx−π3)=12csωπx+32sinωπx ，
得csωπx=3sinωπx ，
解得csωπx=±32 ，
则yA=yC=32 ，yB=−32 ,
又BD=2|yB|=3 ，且△ABC 是锐角三角形，
所以 tan∠ACB=BDDC=3ω1>1 ，则ω>33 .故选AD.
15. 已知函数f(x)=3sin(ωx+π6)+2sin2(ωx2+π12)−1(ω>0) 的相邻两条对称轴间的距离为π2 .
（1） 求f(x) 的解析式；
[答案]解：由题意，函数f(x)=3sin(ωx+π6)+
2sin2[12(ωx+π6)]−1=3sin(ωx+π6)−
cs(ωx+π6)=2sin(ωx+π6−π6)=2sinωx .
因为函数f(x) 图象的相邻两条对称轴间的距离为π2 ，所以T=π ，可得ω=2 .故f(x)=2sin 2x .
（2） 将函数f(x) 的图象向右平移π6 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12 （纵坐标不变），得到函数y=g(x) 的图象，当x∈[−π12,π6] 时，求函数g(x) 的值域;
[答案]将函数f(x) 的图象向右平移π6 个单位长度，可得y=2sin(2x−π3) 的图象.
再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的12 （纵坐标不变），得到函数y=g(x)=2sin(4x−π3) 的图象.
当x∈[−π12,π6] 时，4x−π3∈[−2π3,π3] ，
当4x−π3=−π2 时，函数g(x) 取得最小值，最小值为−2 ；当4x−π3=π3 时，函数g(x) 取得最大值，最大值
为3 ，故当x∈[−π12,π6] 时，函数g(x) 的值域为[−2,3] .
（3） 对于第（2）问中的函数g(x) ，记方程g(x)=43 在[π6,4π3] 上的根从小到大依次为x1 ,x2 ,… ，xn ，试确定n 的值，并求x1+2x2+2x3+…+2xn−1+xn 的值.
[答案]方程g(x)=43 ，即2sin(4x−π3)=43 ，
即sin(4x−π3)=23 ，
因为x∈[π6,4π3] ，所以4x−π3∈[π3,5π] ，
设θ=4x−π3 ，其中θ∈[π3,5π] ，
即sinθ=23 ，
结合正弦函数y=sinθ 的图象，如图所示，
可得方程sinθ=23 在区间[π3,5π] 上有5个解，即n=5 ，
其中θ1+θ2=3π ，θ2+θ3=5π ,θ3+θ4=7π ,θ4+θ5=9π ,
即4x1−π3+4x2−π3=3π ,4x2−π3+4x3−π3=5π ,4x3−π3+4x4−π3=7π ,4x4−π3+4x5−π3=9π .
解得x1+x2=11π12 ,x2+x3=17π12 ,x3+x4=23π12 ,x4+x5=29π12 ，
所以x1+2x2+2x3+2x4+x5=(x1+x2)+(x2+x3)+(x3+x4)+(x4+x5)=20π3 .