2025年高考数学一轮复习-5.3.2-简单的三角恒等变换-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-5.3.2-简单的三角恒等变换-专项训练【含解析】，共8页。
A. 55B. 35C. −55D. −255
2. 已知sin α+2cs α=0，则tan 2α=（ ）.
A. 22B. −22C. 2D. 24
3. 已知sinα+π6=33，则cs 2π3−2α=（ ）.
A. −13B. 13C. −33D. 33
4.(2024·九省适应性测试)已知θ∈3π4,π,tan 2θ=-4tanθ+π4,则1+sin2θ2cs2θ+sin2θ=( ).
A.14 B.34 C.1 D.32
5. （改编）若等腰三角形顶角的正弦值为35，则这个三角形底角的正弦值为（ ）.
A. 31010B. 255C. 1010D. 31010或1010
.
6. 已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a−b=2asin2C2，则△ABC的形状是（ ）.
A. 等腰三角形或直角三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形D. 等边三角形
7. （改编）已知α ，β∈(π ,3π2)，sin2α+βsin α−2csα+β=1tan α，则（ ）.
A. α−β=−π4B. α−β=π4C. α+β=9π4D. α+β=5π2
8. 魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正4576边形求出圆周率π 约为355113，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个纪录在一千年后才被打破.若已知π 的近似值还可以表示成4cs 38∘ ，则π16−π2cs27∘−sin27∘的值为（ ）.
A. −18B. −8C. 8D. 18
综合提升练
9. （多选题）下列选项正确的是（ ）.
A. sin 15∘cs 15∘=14B. cs2π8−sin2π8=22
C. sin 40∘cs 50∘−cs 140∘cs 40∘=−1D. sin 40∘tan 10∘−3=−1
10. （多选题）在△ABC中，已知tanC2=sinA+B，则以下四个结论正确的是（ ）.
A. cs Acs B的最大值为12B. sin A+sin B的最小值为1
C. tan A+tan B的取值范围是[2,+∞)D. sin2A+sin2B+sin2C为定值
11. 已知tan α=23，则1+sin 2αcs 2α=______.
12. 若关于x的方程2sin2x−3sin 2x+m−1=0在[π2,π]上有实数解，则实数m的取值范围是______
应用情境练
13. 已知平面内有四条平行线，相邻两条间距为1，每条直线上各取一点围成一个矩形，则该矩形面积的最小值是______
创新拓展练
14. 已知函数fx=3sin 2xcs 2x+cs22x−12，则函数fx在(2π3,4π3)上共有3个零点.
15. 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且1−cs A+2csA2+π4=22sinB2+π4⋅csB2+π4.
（1）确定A和B之间的关系；
（2）已知D为线段BC上一点，且满足BD=AD=4，若2a=3b，求b.
简单的三角恒等变换【解析版】
基础巩固练
1. 已知角α 的终边经过点P−2,1，则cs 2α 的值为（ B ）.
A. 55B. 35C. −55D. −255
[解析]因为角α 的终边经过点P−2,1，所以sin α=1−22+12=55，所以cs 2α=1−2sin2α=1−2×552=35.故选B.
2. 已知sin α+2cs α=0，则tan 2α=（ A ）.
A. 22B. −22C. 2D. 24
[解析]因为sin α+2cs α=0，所以tan α=−2，
tan 2α=2tan α1−tan2α=−221−−22=22.故选A.
3. 已知sinα+π6=33，则cs 2π3−2α=（ A ）.
A. −13B. 13C. −33D. 33
[解析]因为cs2α+π3=1−2sin2α+π6=1−2×332=13，
所以cs 2π3−2α=csπ−2α+π3=−cs2α+π3=−13.
故选A.
4.(2024·九省适应性测试)已知θ∈3π4,π,tan 2θ=-4tanθ+π4,则1+sin2θ2cs2θ+sin2θ=( A ).
A.14 B.34 C.1 D.32
[解析] 由θ∈3π4,π,tan 2θ=-4tanθ+π4,
得2tanθ1-tan2θ=-4(tanθ+1)1-tanθ,即-4(tan θ+1)2=2tan θ,
则(2tan θ+1)(tan θ+2)=0,解得tan θ=-2或tan θ=-12,
因为θ∈3π4,π,所以tan θ∈(-1,0),所以tan θ=-12,
故1+sin2θ2cs2θ+sin2θ=sin2θ+cs2θ+2sinθcsθ2cs2θ+2sinθcsθ=tan2θ+1+2tanθ2+2tanθ
=14+1-12+(-1)=14.
故选A.
5. （改编）若等腰三角形顶角的正弦值为35，则这个三角形底角的正弦值为（ D ）.
A. 31010B. 255C. 1010D. 31010或1010
[解析]设顶角为A，一个底角为B,sin A=35，则cs A=±45，
则该三角形底角的正弦值sin B=sin π2−A2=csA2=1+cs A2,故sin B=31010 或sin B=1010.故选D.
6. 已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a−b=2asin2C2，则△ABC的形状是（ B ）.
A. 等腰三角形或直角三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形D. 等边三角形
[解析]因为a−b=2asin2C2=2a×1−cs C2=a−acs C，
所以b=acs C，
由正弦定理得sin B=sin Acs C，
又sin B=sinA+C=sin Acs C+cs Asin C，
即sin Acs C+cs Asin C=sin Acs C，
所以cs Asin C=0.
因为C∈0,π，所以sin C≠0，故cs A=0.
因为A∈0,π，所以A=π2，
所以△ABC 为直角三角形.故选B.
7. （改编）已知α ，β∈(π ,3π2)，sin2α+βsin α−2csα+β=1tan α，则（ D ）.
A. α−β=−π4B. α−β=π4C. α+β=9π4D. α+β=5π2
[解析]由sin2α+βsin α−2csα+β=cs αsin α，
得sin2α+β−2sin αcsα+β=cs α ，
因为sin2α+β=sin αcsα+β+cs αsinα+β，
所以cs αsinα+β−sin αcsα+β=cs α ，
即sin β=cs α ，
又α ，β∈(π ,3π2)，
所以α+β∈2π,3π，cs β=−1−sin2β=−1−cs2α=sin α ,故sinα+β=sin αcs β+cs α⋅sin β=sin2α+cs2α=1,则α+β=5π2.故选D.
8. 魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正4576边形求出圆周率π 约为355113，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个纪录在一千年后才被打破.若已知π 的近似值还可以表示成4cs 38∘ ，则π16−π2cs27∘−sin27∘的值为（ C ）.
A. −18B. −8C. 8D. 18
[解析]∵π 的近似值还可以表示成4cs 38∘ ，
∴π16−π2cs27∘−sin27∘=4cs 38∘16−16cs238∘cs27∘−sin27∘=16cs 38∘sin 38∘cs 14∘=8sin 76∘cs 14∘=8sin 76∘sin 76∘=8.故选C.
综合提升练
9. （多选题）下列选项正确的是（ ABD ）.
A. sin 15∘cs 15∘=14B. cs2π8−sin2π8=22
C. sin 40∘cs 50∘−cs 140∘cs 40∘=−1D. sin 40∘tan 10∘−3=−1
[解析]对于A，sin 15∘cs 15∘=12×2sin 15∘cs 15∘=12×sin 30∘=14，A正确；
对于B，cs2π8−sin2π8=csπ4=22，B正确；
对于C，sin 40∘cs 50∘−cs 140∘cs 40∘=sin 40∘⋅cs 50∘+cs 40∘⋅sin 50∘=sin40∘+50∘=sin 90∘=1，C错误；
对于D，sin 40∘tan 10∘−3=sin 40∘×sin 10∘cs 10∘−3
=sin 40∘×sin 10∘−3cs 10∘cs 10∘
=sin 40∘×212sin 10∘−32cs 10∘cs 10∘
=sin 40∘×2sin 10∘cs 60∘−cs 10∘sin 60∘cs 10∘
=−2sin 40∘sin 50∘cs 10∘
=−2sin 40∘cs 40∘cs 10∘
=−sin 80∘cs 10∘
=−cs 10∘cs 10∘=−1，D正确.故选ABD.
10. （多选题）在△ABC中，已知tanC2=sinA+B，则以下四个结论正确的是（ ACD ）.
A. cs Acs B的最大值为12B. sin A+sin B的最小值为1
C. tan A+tan B的取值范围是[2,+∞)D. sin2A+sin2B+sin2C为定值
[解析]由tanC2=sinA+B 得tanC2=sin C⇒sinC2csC2=2sinC2csC2，
因为C2∈(0，π2)，所以sinC2≠0,csC2>0，
故csC2=22⇒C2=π4⇒C=π2.
对于A，cs Acs B=cs Acsπ2−A=cs Asin A=12sin 2A，因为2A∈0,π,所以12sin 2A∈(0，12]，故A 正确；
对于B，sin A+sin B=sin A+sinπ2−A=sin A+cs A=2sinπ4+A，因为A∈(0,π2),所以A+π4∈(π4,3π4),
所以2sinπ4+A∈(1,2]，故B 错误；
对于C，tan A+tan B=sin Acs A+sin Bcs B=sin Acs B+sin Bcs Acs Acs B=sinA+Bcs Acs B=1cs Acs B，由选项A 可知1cs Acs B≥2，故C 正确；
对于D，sin2A+sin2B+sin2C=sin2A+sin2π2−A+1=sin2A+cs2A+1=2,故D 正确.故选ACD.
11. 已知tan α=23，则1+sin 2αcs 2α=5.
[解析]因为tan α=sin αcs α=23，则cs α≠0，
所以1+sin 2αcs 2α=sin2α+cs2α+2sin αcs αcs2α−sin2α
=tan2α+2tan α+11−tan2α
=232+2×23+11−232=5.
12. 若关于x的方程2sin2x−3sin 2x+m−1=0在[π2,π]上有实数解，则实数m的取值范围是[−2,1] .
[解析]原方程2sin2x−3sin 2x+m−1=0，
等价于m−1=3sin 2x−2sin2x=3sin 2x+cs 2x−1=2sin2x+π6−1，
即直线y=m−1 与函数y=2sin2x+π6−1 的图象在[π2,π]上有交点.
∵x∈[π2,π]，∴2x+π6∈[7π6,13π6]，sin2x+π6∈[−1,12]，故y∈[−3,0]，则−3≤m−1≤0,∴m∈[−2,1].
应用情境练
13. 已知平面内有四条平行线，相邻两条间距为1，每条直线上各取一点围成一个矩形，则该矩形面积的最小值是4.
[解析]如图，四边形ABCD 为矩形，令∠EAB=θ∈(0,π2)，则AB=1sin θ,AD=2cs θ，
所以S=212sin 2θ≥4，当且仅当θ=π4 时，等号成立，故该矩形面积的最小值是4.
创新拓展练
14. 已知函数fx=3sin 2xcs 2x+cs22x−12，则函数fx在(2π3,4π3)上共有3个零点.
[解析]由函数fx=3sin 2xcs 2x+cs22x−12=32sin 4x+121+cs 4x−12=32sin
4x+12cs 4x=sin4x+π6，
令fx=0，即sin4x+π6=0，解得4x+π6=kπ ,k∈Z，所以x=14kπ−π24,k∈Z.
由x∈(2π3,4π3)，可得2π3