2025年高考数学一轮复习-5.5-函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其简单应用-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-5.5-函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其简单应用-专项训练【含解析】，共12页。

A. 2，1π，π4B. 2，12π，π4C. 2，1π，π8D. 2，12π，−π8
2. 下列直线是函数fx=7sinx−π6的图象的对称轴的是（ ）.
A. x=π3B. x=2π3C. x=π6D. x=π2
3. 要得到y=cs x2+π6的图象，只需将y=sinx2的图象（ ）.
A. 向左平移π3个单位长度B. 向右平移π3个单位长度
C. 向左平移4π3个单位长度D. 向右平移4π3个单位长度
4. （改编）若函数fx=asin 2x+cs 2x的图象关于直线x=π6对称，则f5π12=（ ）.
A. 3B. 0C. −3D. −2
5. （改编）已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,0<φ<π，其部分图象如图所示，则函数fx的解析式为（）.
A. fx=2sinx2+π4B. fx=2sinx2+3π4
C. fx=2sinx4+3π4D. fx=2sin2x+π4
6. 已知函数fx=Acsωx+φA>0,ω>0,0<φ<π的部分图象如图所示，fx的图象的对称轴方程为x=kπ4+5π12，k∈Z，则fπ4=（ ）.
A. −3B. −1C. 1D. 3
7. [2024·郑州模拟]已知函数fx=Asinωx+φ(A>0,ω>0，φ<π2)的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）.
A. φ=π8
B. fx的图象关于点(2π3,0)中心对称
C. 若fx在(−7π24,a)上存在最大值，则实数a的取值范围为(π12,+∞)
D. fx的图象关于直线x=π6对称
8. 已知函数fx=sinωx+π6恒有fx≤fπ，且fx在[−π6,π6]上单调递增，则ω 的值为（ ）.
A. 13B. 53C. 73D. 13或73
综合提升练
9.(多选题)(2024·九省适应性测试)已知函数f(x)=sin2x+3π4+cs2x+3π4,则( ).
A.函数fx-π4为偶函数
B.曲线y=f(x)的对称轴为直线x=kπ,k∈Z
C.f(x)在区间π3,π2上单调递增
D.f(x)的最小值为-2
10. （多选题）已知函数fx=3sinωx+φω>0,0<φ<π图象的两条相邻的对称轴分别为直线x=−2π3与直线x=π3，且fx在[−2π3,π3]上单调递增，则下列选项正确的是（ ）.
A. fx的最小正周期为π
B. fx的图象关于点(5π6,0)对称
C. fx在[0,π2]上的值域为[32,3]
D. 方程fx=12x+π6有3个不等的实数根
11. 已知函数fx=2sinωx+φω>0,φ<π的部分图象如图所示，则φ=____________.
12. 已知函数fx=cs3x+π3，其中x∈[π6,m]，若fx的值域是[−1,−32]，则实数m的取值范围是__________
应用情境练
13. （双空题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图所示，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当t=0时，盛水筒M位于点P02,−23，经过t秒后运动到点Px,y，点P的纵坐标满足y=ft=Rsinωt+φ(t≥0,ω>0,φ<π2)，则φ=__________；当筒车旋转45秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为__________
创新拓展练
14. （双空题）已知偶函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,0<φ<π的部分图象如图所示，其中△EFG是斜边为4的等腰直角三角形（E,F是函数图象与x轴的交点，点G在函数图象上），则A=__________，f1=__________
5.5-函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其简单应用-专项训练【解析版】
基础巩固练
1. 函数y=2sin2x+π4的振幅、频率和初相分别为（ A ）.
A. 2，1π，π4B. 2，12π，π4C. 2，1π，π8D. 2，12π，−π8
[解析]由振幅、频率和初相的定义可知，函数y=2sin2x+π4 的振幅为2，频率为1π，初相为π4.故选A.
2. 下列直线是函数fx=7sinx−π6的图象的对称轴的是（ B ）.
A. x=π3B. x=2π3C. x=π6D. x=π2
[解析]令x−π6=kπ+π2,k∈Z，则fx 的图象的对称轴为直线x=kπ+2π3,k∈Z，显然当k=0 时,对称轴为直线x=2π3.故选B.
3. 要得到y=cs x2+π6的图象，只需将y=sinx2的图象（ C ）.
A. 向左平移π3个单位长度B. 向右平移π3个单位长度
C. 向左平移4π3个单位长度D. 向右平移4π3个单位长度
[解析]将y=sinx2=cs x2−π2 的图象向左平移4π3 个单位长度，即可得到y=cs 12x+4π3−π2=cs x2+π6 的图象.故选C.
4. （改编）若函数fx=asin 2x+cs 2x的图象关于直线x=π6对称，则f5π12=（ B ）.
A. 3B. 0C. −3D. −2
[解析]由于函数fx=asin 2x+cs 2x 的图象关于直线x=π6 对称，所以fπ6=a2+1，即32a+12=a2+1，两边平方整理得a2−23a+3=0，解得a=3，则f5π12=3sin 5π6+cs 5π6=0.故选B.
5. （改编）已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,0<φ<π，其部分图象如图所示，则函数fx的解析式为（ B ）.
A. fx=2sinx2+π4B. fx=2sinx2+3π4
C. fx=2sinx4+3π4D. fx=2sin2x+π4
[解析]由题图可知，函数图象上两个相邻的最值点分别为最高点(−π2，2)，最低点(3π2，−2)，
所以函数的最大值为2，即A=2.
由图象可得直线x=−π2，x=3π2为相邻的两条对称轴，
所以函数的最小正周期T=2×[3π2−−π2]=4π ，
所以2πω=4π ，解得ω=12，
所以fx=2sinx2+φ.
把点(−π2，2)代入可得2sin12×−π2+φ=2，
即sinφ−π4=1，所以φ−π4=2kπ+π2(k∈Z)，
解得φ=2kπ+3π4(k∈Z).
又0<φ<π ，所以φ=3π4，
所以fx=2sinx2+3π4.故选B.
6. 已知函数fx=Acsωx+φA>0,ω>0,0<φ<π的部分图象如图所示，fx的图象的对称轴方程为x=kπ4+5π12，k∈Z，则fπ4=（ B ）.
A. −3B. −1C. 1D. 3
[解析]函数fx 的图象的对称轴方程为x=kπ4+5π12，k∈Z，两相邻对称轴之间的距离是最小正周期的一半，当k=0 时，x=5π12，当k=1 时，x=2π3，
所以2πω×12=2π3−5π12=π4，所以ω=4.
由题图可知4×π24+φ=2kπ+π2，k∈Z，所以φ=2kπ+π3，k∈Z,又0<φ<π ，所以φ=π3.
由题图可知Acsπ3=1，所以A=2，
所以fx=2cs 4x+π3，则fπ4=2cs 4×π4+π3=−2csπ3=−1.故选B.
7. [2024·郑州模拟]已知函数fx=Asinωx+φ(A>0,ω>0，φ<π2)的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ C ）.
A. φ=π8
B. fx的图象关于点(2π3,0)中心对称
C. 若fx在(−7π24,a)上存在最大值，则实数a的取值范围为(π12,+∞)
D. fx的图象关于直线x=π6对称
[解析]由题图知，fx的最小正周期T=43×[7π12−−π6]=π ，则ω=2ππ=2,所以fx=Asin2x+φ.将点(−π6,0)代入得Asin−π3+φ=0，则−π3+φ=kπ(k∈Z)，
即φ=π3+kπ(k∈Z),因为φ<π2，所以φ=π3，A错误；
将点(7π12,−2)代入得Asin 7π6+π3=−2，得A=2，所以fx=2sin2x+π3，当x=2π3 时，f2π3=2sin 2×2π3+π3=−3≠0，所以点(2π3,0)不是fx 的图象的对称中心，B错误；
当x=π6 时，fπ6=2sin 2×π6+π3=3<2，所以直线x=π6 不是fx 的图象的对称轴，D错误；
易得fx 在(−7π24,π12)上单调递增，且fπ12=2sin2×π12+π3=2sinπ2=2，即fx 在x=π12 时取得最大值，所以a>π12，
即实数a 的取值范围为(π12,+∞)，C正确.故选C.
8. 已知函数fx=sinωx+π6恒有fx≤fπ，且fx在[−π6,π6]上单调递增，则ω 的值为（ A ）.
A. 13B. 53C. 73D. 13或73
[解析]因为函数fx=sinωx+π6 恒有fx≤fπ,
所以ωπ+π6=π2+2kπ ,k∈Z,解得ω=13+2k,k∈Z，
又fx 在[−π6,π6]上单调递增，所以ω>0，
且12T=πω≥π6+π6，所以0<ω≤3，
结合ω=13+2k,k∈Z,可得ω=13 或ω=73.
当ω=13 时，由−π2+2kπ≤13x+π6≤π2+2kπ ,k∈Z,解得−2π+6kπ≤x≤π+6kπ ,k∈Z，所以fx 在[−2π,π] 上单调递增，满足题意；
当ω=73 时，由−π2+2kπ≤73x+π6≤π2+2kπ ,k∈Z,解得−2π7+67kπ≤x≤π7+67kπ ,k∈Z，所以fx 在[−2π7,π7]上单调递增，不满足题意.故选A.
综合提升练
9.(多选题)(2024·九省适应性测试)已知函数f(x)=sin2x+3π4+cs2x+3π4,则( AC ).
A.函数fx-π4为偶函数
B.曲线y=f(x)的对称轴为直线x=kπ,k∈Z
C.f(x)在区间π3,π2上单调递增
D.f(x)的最小值为-2
[解析] f(x)=sin2x+3π4+cs2x+3π4
=sin 2xcs 3π4+cs 2xsin 3π4+cs 2xcs 3π4-sin 2xsin 3π4
=-22sin 2x+22cs 2x-22cs 2x-22sin 2x=-2sin 2x,
即f(x)=-2sin 2x.
对于A,fx-π4=-2sin2x-π2=2cs 2x,易知fx-π4为偶函数,故A正确;
对于B,函数f(x)=-2sin 2x图象的对称轴为直线2x=π2+kπ,k∈Z,即x=π4+kπ2,k∈Z,故B错误;
对于C,x∈π3,π2,2x∈2π3,π,y=sin 2x单调递减,则f(x)=-2sin 2x单调递增,故C正确;
对于D,f(x)=-2sin 2x,由sin 2x∈[-1,1],得f(x)∈[-2,2],故D错误.
故选AC.
10. （多选题）已知函数fx=3sinωx+φω>0,0<φ<π图象的两条相邻的对称轴分别为直线x=−2π3与直线x=π3，且fx在[−2π3,π3]上单调递增，则下列选项正确的是（ BCD ）.
A. fx的最小正周期为π
B. fx的图象关于点(5π6,0)对称
C. fx在[0,π2]上的值域为[32,3]
D. 方程fx=12x+π6有3个不等的实数根
[解析]由题意，直线x=−2π3，x=π3为fx 图象的两条相邻对称轴，且当x=−2π3 时，fx取得最小值，当x=π3 时，fx取得最大值，
所以最小正周期T=2×[π3−−2π3]=2π ，所以2πω=2π ，解得ω=1.
又当x=π3 时，fx取得最大值，所以1×π3+φ=π2+2kπ(k∈Z)，即φ=π6+2kπ(k∈Z)，
又0<φ<π ，所以φ=π6，故fx=3sinx+π6.
对于A，fx的最小正周期T=2π ，故A 错误；
对于B，令x+π6=kπ(k∈Z)，解得x=kπ−π6(k∈Z)，令kπ−π6=5π6，得k=1，所以fx 的图象关于点(5π6,0)对称，故B 正确；
对于C，当0≤x≤π2 时，x+π6∈[π6,2π3]，所以sin x+π6∈[12,1]，所以fx=3sin x+π6∈[32,3]，故C 正确；
对于D，fx=3sinx+π6的图象和直线y=12x+π6 都关于点(−π6,0)对称，如图所示，
注意到127π3+π6=5π4>3，所以二者图象只有3个交点，故原方程有3个不等的实数根，故D 正确.故选BCD.
11. 已知函数fx=2sinωx+φω>0,φ<π的部分图象如图所示，则φ=π6 .
[解析]由T2=5π12−−π12=π2 知，T=π ,ω=2ππ=2，由五点法可知，2×−π12+φ=0+2kπ(k∈Z)，即φ=π6+2kπ(k∈Z)，又φ<π ，所以φ=π6.
12. 已知函数fx=cs3x+π3，其中x∈[π6,m]，若fx的值域是[−1,−32]，则实数m的取值范围是[2π9,5π18].
[解析]画出函数fx 的部分图象，如图所示，因为fπ6=cs5π6=−32 且f2π9=cs π=−1，所以要使fx 的值域为[−1,−32]，只要π≤3m+π3≤7π6，即m∈[2π9,5π18].
应用情境练
13. （双空题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图所示，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当t=0时，盛水筒M位于点P02,−23，经过t秒后运动到点Px,y，点P的纵坐标满足y=ft=Rsinωt+φ(t≥0,ω>0,φ<π2)，则φ=−π3 ；当筒车旋转45秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为−2 .
[解析]因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，
所以T=2πω=60，得ω=π30，
所以y=ft=Rsinπ30t+φ.
因为当t=0 时，盛水筒M 位于点P02,−23，
所以R=22+−232=4，
所以ft=4sinπ30t+φ.
因为f0=−23，
所以4sin φ=−23，得sin φ=−32.
因为φ<π2，所以φ=−π3，
所以ft=4sinπ30t−π3，
所以f45=4sinπ30×45−π3=4sin 7π6=−4sin π6=−4×12=−2，
所以当筒车旋转45秒时，盛水筒M 对应的点P 的纵坐标为−2.
创新拓展练
14. （双空题）已知偶函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,0<φ<π的部分图象如图所示，其中△EFG是斜边为4的等腰直角三角形（E,F是函数图象与x轴的交点，点G在函数图象上），则A=2，f1=2 .
[解析]根据题意得T2=EF=4，所以T=8,所以ω=π4.
因为函数fx=Asinωx+φ 为偶函数，且0<φ<π ,
所以φ=π2,
在等腰直角△EFG 中，斜边EF=4，则斜边上的高为2,
所以A=2，所以fx=2sin π4x+π2=2csπ4x，
所以f1=2.