2025年高考数学一轮复习-6.5.3-高考中的解三角形问题-专项训练【含解析】

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【基础落实练】
1.(5分)在△ABC中,AB=3,AC=2,cs∠BAC=13,点D在BC边上且AD=433,
则sin∠ADC=( )
A.63B.13C.33D.223
2.(5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin A+2csin C=2bsin Ccs A,则角A的最大值为( )
A.π6B.π4C.π3D.2π3
3.(5分)在△ABC中,D为边BC上一点,AD=6,BD=3,∠ABC=45°,则sin∠ADC的值为( )
A.2+33B.1+24C.1+74D.34
4.(5分)在△ABC中,已知∠BAC的平分线交BC于点M,且BM∶MC=2∶3.
若∠AMB=60°,则AB+ACBC=( )
A.2B. 5C. 7D.3
5.(5分)(多选题)在△ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,
cs∠CDB=-55,则( )
A.sin∠CDB=310
B.△ABC的面积为8
C.△ABC的周长为8+45
D.△ABC为钝角三角形
6.(5分)已知△ABC为锐角三角形,D,E分别为AB,AC的中点,且CD⊥BE,则cs A的取值范围是( )
A.12,1B.12, 63
C.45,1D.45, 63
7.(5分)在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中点,AM=23,则AC= ,
cs∠MAC= .
8.(5分)已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,a=3,则△ABC的周长的最大值为 .
9.(5分)(2022·全国甲卷)已知△ABC中,点D在边BC上,
∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时,BD= .
【加练备选】
已知D是△ABC边AC上一点,且CD=3AD,BD= 2,cs ∠ABC=14,则3AB+BC的最大值为 .
10.(10分)在△ABC中,D是边BC上一点,AD=5,AC=7.
(1)若DC=3,∠B=45°,求AB;
(2)若D为BC的中点,且AB=19,证明:∠ADC=2∠ADB.
11.(10分)(2023·武汉模拟)在①a=7,②AC边上的高为332,③sin B=217这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并完成解答.
问题:记△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=60°,c=b+1, .
(1)求c的值;
(2)设AD是△ABC的角平分线,求AD的长.
【能力提升练】
12.(5分)顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”,黄金三角形看起来既标准又美观.如图所示,△ABC是黄金三角形,AB=AC,作∠ABC的平分线交AC于点D,易知△BCD也是黄金三角形.若BC=1,则AB= ;借助黄金三角形可计算sin 234°= .
13.(5分)在△ABC中,D为BC边上一点,且BD=2CD,AD=BD,则tan∠BAC·cs2 B的最大值为 .
14.(10分)如图,在四边形ABCD中,AD⊥AB,∠CAB=60°,∠BCD=120°,AC=2.
(1)若∠ABC=30°,求DC.
(2)记∠ABC=θ,当θ为何值时,△BCD的面积S有最小值?求出最小值.
高考中的解三角形问题-专项训练【解析版】
(时间:45分钟 分值:85分)
【基础落实练】
1.(5分)在△ABC中,AB=3,AC=2,cs∠BAC=13,点D在BC边上且AD=433,
则sin∠ADC=( )
A.63B.13C.33D.223
【解析】选A.在△ABC中,由余弦定理得
BC=AB2+AC2-2AB·ACcs∠BAC=9+4-2×3×2×13=3,
所以BC=AB,所以∠BCA=∠BAC,
所以sin∠BCA=sin∠BAC=1-19=223,
在△ADC中,由正弦定理得ADsin∠DCA=ACsin∠ADC,即433223=2sin∠ADC,
所以sin∠ADC=63.
2.(5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin A+2csin C=2bsin Ccs A,则角A的最大值为( )
A.π6B.π4C.π3D.2π3
【解析】选A.因为asin A+2csin C=2bsin Ccs A,
由正弦定理可得a2+2c2=2bccs A ①,
由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccs A ②,
由①②可得2a2=b2-c2,所以cs A=b2+c2-a22bc=b2+c2-12(b2-c2)2bc=b2+3c24bc,
因为b2+3c2≥2b2·3c2=23bc,当且仅当b=3c时取等号,所以cs A≥23bc4bc=32,
又A∈(0,π),所以角A的最大值为π6.
3.(5分)在△ABC中,D为边BC上一点,AD=6,BD=3,∠ABC=45°,则sin∠ADC的值为( )
A.2+33B.1+24C.1+74D.34
【解析】选C.如图,
在△ABD中,由正弦定理得ADsin∠ABD=BDsin∠BAD,即6sin45°=3sin∠BAD,故sin∠BAD=24.
又BDa2,c2+a2>b2,可得3b2>2c2,3c2>2b2,则23