2025年高考数学一轮复习-8.3-圆的方程【导学案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-8.3-圆的方程【导学案】，共12页。学案主要包含了课标解读，课程标准，核心素养，命题说明，必备知识·逐点夯实，命题意图，核心考点·分类突破，误区警示等内容，欢迎下载使用。

【课程标准】
1.掌握圆的标准方程的特征,能根据所给条件求圆的标准方程.
2.掌握圆的一般方程,能对圆的一般方程与标准方程进行互化,了解二元二次方程表示圆的条件.
【核心素养】
数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.圆的定义与方程
微点拨 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D,E,F为常数)具有以下特点:(1)x2,y2项的系数均为1;
(2)没有xy项;(3)D2+E2-4F>0.
2.点与圆的位置关系
点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:
(1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2.
(2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2.
(3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2常用结论
1.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
2.同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数.
基础诊断·自测
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)圆心位置和圆的半径确定,圆就唯一确定.( √ )
提示:(1)确定圆的几何要素就是圆心和半径,故(1)正确;
(2)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆.( × )
提示:(2)当m=0时,不表示圆,故(2)错误;
(3)圆(x+1)2+(y-1)2=2的圆心坐标是(1,-1),半径长是2.( × )
提示:(3)圆(x+1)2+(y-1)2=2的圆心坐标是(-1,1),半径长是2, 故(3)错误;
(4)点(0,0)在圆(x-1)2+(y-2)2=1外.( √ )
提示:(4)因为(0-1)2+(0-2)2>1,所以点(0,0)在圆(x-1)2+(y-2)2=1外,故(4)正确.
2.(选择性必修第一册人AP88练习T1变形式)圆x2+y2-4x-1=0的圆心坐标及半径分别为( )
A.(2,0),5 B.(2,0),5
C.(0,2),5 D.(2,2),5
【解析】选B.依题意,圆x2+y2-4x-1=0转化为标准方程得(x-2)2+y2=5,
所以圆心为(2,0),半径为5.
3.(忽略D2+E2-4F>0)若点P(1,1)在圆C:x2+y2+x-y+k=0外,则实数k的取值范围是( )
A.(-2,+∞)B.[-2,-12)
C. (-2,12)D.(-2,2)
【解析】选C.由题意得1+1+1-1+k>0,1+1-4k>0,解得-24.(2022·全国甲卷)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为____________.
【命题意图】本题主要考查求圆的标准方程的方法,关键是确定圆心和半径.
【解析】因为点M在直线2x+y-1=0上,
所以设点M为(a,1-2a),又因为点(3,0)和(0,1)均在☉M上,
所以点M到两点的距离相等且为半径R,
所以(a-3)2+(1-2a)2=a2+(-2a)2=R,
a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2,解得a=1,
所以M(1,-1),R=5,
☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
答案:(x-1)2+(y+1)2=5
【核心考点·分类突破】
考点一求圆的方程
[例1](1)(一题多法)过点A(1,-1)与B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程为( )
A.(x-3)2+(y+1)2=4
B.(x+3)2+(y-1)2=4
C.(x-1)2+(y-1)2=4
D.(x+1)2+(y+1)2=4
【解析】选C.方法一(待定系数法):设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
则(1-a)2+(-1-b)2=r2,(-1-a)2+(1-b)2=r2,a+b-2=0,解得a=1,b=1,r2=4,故所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
方法二(几何法):圆心一定在AB的中垂线上,AB的中垂线方程为y=x.
由y=x,x+y-2=0得,圆心为(1,1),所以r=(1-1)2+(1+1)2=2,
所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
(2)(2022·全国乙卷)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为__________.
【命题意图】考查圆的一般方程,待定系数法.
【解析】依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,若过(0,0),(-1,1),(4,0),
则F=016+4D+F=01+1-D+E+F=0,解得F=0D=-4E=-6,所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0,
即(x-2)2+(y-3)2=13;
若过(0,0),(4,0),(4,2),则F=016+4D+F=016+4+4D+2E+F=0,解得F=0D=-4E=-2,
所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5;
若过(0,0),(-1,1),(4,2),则F=01+1-D+E+F=016+4+4D+2E+F=0,解得F=0D=-83E=-143,
所以圆的方程为x2+y2-83x-143y=0,即(x-43)2+(y-73)2=659;
若过(-1,1),(4,0),(4,2),则1+1-D+E+F=016+4D+F=016+4+4D+2E+F=0,解得F=-165D=-165E=-2,
所以圆的方程为x2+y2-165x-2y-165=0,
即(x-85)2+(y-1)2=16925.
答案:(x-2)2+(y-3)2=13(或(x-2)2+(y-1)2=5或(x-43)2+(y-73)2=659或(x-85)2+(y-1)2=16925)
【误区警示】选取不共线的三点求解即可.若考虑三点共线,既耽误时间又无解.
解题技法
求圆的方程的两种方法
提醒:解答圆的有关问题时,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质.
对点训练
1.(2024·许昌模拟)以点A(3,4)为圆心,且与y轴相切的圆的标准方程为( )
A.(x+3)2+(y-4)2=16
B.(x-3)2+(y+4)2=16
C.(x-3)2+(y-4)2=9
D.(x-3)2+(y+4)2=9
【解析】选C.以点A(3,4)为圆心,且与y轴相切的圆的半径为3,
故圆的标准方程是(x-3)2+(y-4)2=9.
2.(2024·茂名模拟)过四点(-1,1),(1,-1),(2,2),(3,1)中的三点的一个圆的方程为__________(写出一个即可).
【解析】过(-1,1),(1,-1),(3,1)时,设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则2-D+E+F=02+D-E+F=010+3D+E+F=0,解得D=-2E=-2F=-2,
圆的方程是x2+y2-2x-2y-2=0,即(x-1)2+(y-1)2=4;
同理可得:过(1,-1),(2,2),(3,1)时,圆的方程是(x-32)2+(y-12)2=52;
过(-1,1),(1,-1),(2,2)时,圆的方程是(x-34)2+(y-34)2=258;
过(-1,1),(2,2),(3,1)时,圆的方程是(x-1)2+y2=5.
答案:(x-1)2+(y-1)2=4((x-1)2+(y-1)2=4, (x-32)2+(y-12)2=52, (x-34)2+(y-34)2=258,(x-1)2+y2=5写其中一个即可)
【加练备选】
若圆C经过坐标原点,且圆心在直线y=-2x+3上运动,当半径最小时,圆的方程为__________.
【解析】设圆心坐标为(a,-2a+3),
则圆的半径r=(a-0)2+(-2a+3-0)2=5a2-12a+9=5(a-65)2+95.
当a=65时,rmin=355.
故所求圆的方程为(x-65)2+(y-35)2=95.
答案:(x-65)2+(y-35)2=95
[例2](1)长为2a的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,则线段AB的中点的轨迹方程为__________.
【解析】(1)如图,设线段AB的中点为M(x,y),点M运动时,它到原点O的距离为定长,即Rt△AOB的斜边上的中线长为定长.
因为AB=2a,即点M∈M|OM=a,点M的轨迹方程为x2+y2=a2.
答案:x2+y2=a2
(2)已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,则线段AB的中点M的轨迹方程为__________________.
【解析】(2)如图,设点M的坐标是(x,y),点A的坐标是x0,y0,
由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点,所以x=x0+42,y=y0+32.
于是有x0=2x-4,y0=2y-3,①
因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,所以点A的坐标满足方程,
即(x0+1)2+y02=4,②
把①代入②,得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理,得x-322+y-322=1.
答案:x-322+y-322=1
(3)已知动点M到两定点O(0,0),A(3,0)的距离比为12,则动点M的轨迹方程为__________.
【解析】(3)如图,设点M的坐标为(x,y),
根据题设有M∈M|MO||MA|=12,根据已知条件得(x-3)2+y2=2x2+y2.
化简,得点M的轨迹方程为x2+y2+2x-3=0.
轨迹是圆心为-1,0,半径为2的圆.
答案:x2+y2+2x-3=0
(4)在平面直角坐标系中,如果点P的坐标(x,y)满足x=a+rcsθ,y=b+rsinθ,其中θ为参数,则点P的轨迹方程为__________________.
【解析】(4)由于点P的坐标(x,y) 满足x=a+rcsθ,y=b+rsinθ,其中θ为参数,所以x-a=rcsθ,y-b=rsinθ,可得(x-a)2+(y-b)2=(rcs θ)2+(rsin θ)2=r2,所以点P的轨迹方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
答案:(x-a)2+(y-b)2=r2
解题技法
求与圆有关轨迹问题的两种方法
(1)直接法:当题目条件中含有与该点有关的等式时,可设出该点的坐标,用坐标表示等式,直接求解轨迹方程.
(2)代入法:当题目条件中已知某动点的轨迹方程,而要求的点与该动点有关时,常找出要求的点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式求轨迹方程.
对点训练
(2024·宜昌模拟)已知定点M(1,0),N(2,0),动点P满足|PN|=2|PM|.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
【解析】(1)设动点P的坐标为(x,y),因为M(1,0),N(2,0),且|PN|=2|PM|,
所以(x-2)2+y2=2·(x-1)2+y2,整理得x2+y2=2,
所以动点P的轨迹C的方程为x2+y2=2.
(2)已知点B(6,0),点A在轨迹C上运动,求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程.
【解析】(2)设点Q的坐标为(m,n),点A的坐标为(xA,yA),
因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点,所以AQ=2QB,即(m-xA,n-yA)=2(6-m,-n),
解得xA=3m-12yA=3n,又点A在轨迹C上运动,
由(1)有(3m-12)2+(3n)2=2,化简得(m-4)2+n2=29,
即点Q的轨迹方程为(x-4)2+y2=29.
【加练备选】
1.在平面直角坐标系xOy中,已知点A0,-2,若动点M满足MAMO=2,则点M的轨迹方程是( )
A.x2+(y+2)2=22 B.x2+(y-2)2=22
C.x2+(y+2)2=8D.x2+(y-2)2=8
【解析】选D.设M(x,y),因为MAMO=2,A(0,-2),所以x2+(y+2)2x2+y2=2,
所以x2+(y+2)2=2(x2+y2),
所以x2+(y-2)2=8为点M的轨迹方程.
2.已知等腰三角形ABC的底边BC对应的顶点是A(4,2),底边的一个端点是B(3,5),则底边另一个端点C的轨迹方程是__________________________________.
【解析】设C(x,y).由题意知,|AB|=(3-4)2+(5-2)2=10.
因为△ABC是以BC为底边的等腰三角形,
所以|CA|=|AB|=10,即点C的轨迹是以点A为圆心,10为半径的圆.
又点A,B,C构成三角形,所以三点不可共线,
所以轨迹中需去掉点B(3,5)及点B关于点A对称的点(5,-1),
所以点C的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)两点).
答案:(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)两点)
考点三圆的对称性问题
[例3](1)(2022·北京高考)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a=( )
A.12B.-12C.1D.-1
【命题意图】考查直线与圆的位置关系,基础题.
【解析】选A.因为直线是圆的对称轴,所以直线过圆心.又因为圆心坐标为(a,0),所以由2a+0-1=0,解得a=12.
(2)(多选题)圆上的点(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在圆上,且圆的半径为5,则圆的方程可能是( )
A.x2+y2=5 B.(x-1)2+y2=5
C.x2+(y+1)2=5D.(x-1)2+(y+1)2=5
【解析】选AD.因为圆上的点(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在这个圆上,所以圆心在直线x+y=0上,因此设圆心坐标为(a,-a),则由(2-a)2+(1+a)2=5,解得a=0或a=1.所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=5或x2+y2=5.
解题技法
圆的对称性的两点推广
由于圆既是轴对称图形又是中心对称图形,因此过圆心的直线必定平分圆的周长,且圆上的点关于过圆心直线的对称点也在圆上.
对点训练
(多选题)关于圆(x-2)2+y2=5,下列说法正确的是( )
A.关于点(2,0)对称
B.关于直线y=0对称
C.关于直线x-y+2=0对称
D.关于直线x+3y-2=0对称
【解析】选ABD.由题意知圆心的坐标为(2,0).
圆是关于圆心对称的中心对称图形,所以A正确;
圆是关于直径对称的轴对称图形,直线y=0过圆心,所以B正确;
直线x-y+2=0不过圆心,所以C不正确;
直线x+3y-2=0过圆心,所以D正确.
【加练备选】
(2024·沈阳模拟)已知直线l:mx+y-1=0(m∈R)是圆C:x2+y2-4x+2y+1=0的对称轴,则m的值为( )
A.1 B.-1 C.2 D.3
【解析】选A.由圆C方程得:圆心C(2,-1),
因为直线l是圆C的对称轴,所以圆心C在直线l上,即2m-1-1=0,解得m=1.考向
考法
圆的方程高考一般不单独考查,它常与直线、平面向量及圆锥曲线相结合出现在选择题或填空题中.
预测
预计2025年高考圆的方程与平面向量、圆锥曲线交汇考查,三种题型都有可能出现.
定义
平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
标准
方程
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
圆心为(a,b)
半径为r
一般
方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0
充要条件:D2+E2-4F>0
圆心坐标: (-D2,-E2)
半径:r=12D2+E2-4F
类型
辨析
改编
易错
高考
题号
1
2
3
4
几何法
根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程
待定
系数法
①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,求出a,b,r的值.
②若已知条件中涉及圆上的点的坐标,常选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值
考点二
与圆有关的轨迹问题
教考衔接
类题串串联
题号
类题说明
(1)
源自第89页综合运用·T8.此题为定义圆
(2)
源自第87页例5.此题为圆的伴生圆
(3)
源自第89页拓广探索·T9.此题为比例圆(阿氏圆)
(4)
源自第89页拓广探索·T10.此题为圆的参数方程