2025年高考数学一轮复习-8.4直线与圆、圆与圆的位置关系-专项训练【含答案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-8.4直线与圆、圆与圆的位置关系-专项训练【含答案】，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题
1．已知点P(x0，y0)为圆C：x2＋y2＝2上的动点，则直线l：x0x－y0y＝2与圆C的位置关系为( )
A．相交 B．相离
C．相切 D．相切或相交
2．经过P(2，3)向圆x2＋y2＝4作切线，切线方程为( )
A．5x－12y＋26＝0
B．13x－12y＋10＝0
C．5x－12y＋26＝0或x＝2
D．13x－12y＋10＝0或x＝2
3．若直线l：mx＋ny＋m＝0将圆C：(x－2)2＋y2＝4分成弧长之比为2∶1的两部分，则直线的斜率为( )
A．±52 B．±255
C．±22 D．±24
4．若曲线y＝ 4−x2与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是( )
A．34，1 B．34，+∞
C．(1，＋∞) D．(1，3]
5．若一条光线从点A(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．－53或－35 B．－32或－23
C．－54或－45 D．－43或－34
6．过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝( )
A．1 B．154
C．104 D．64
7．在平面直角坐标系中，过点P(3，0)作圆O：(x－1)2＋y−232＝4的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．x－3y＋3＝0 B．x＋3y＋3＝0
C．3x－y＋3＝0 D．3x＋y＋3＝0
8．(2024·山东师范大学附中校考模拟预测)在平面直角坐标系Oxy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4．设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为( )
A．0,125 B．0,125 C．−125,125 D．0,125
二、多项选择题
9．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，则( )
A．直线l过定点(3，1)
B．直线l与圆C可能相离
C．圆C被y轴截得的弦长为46
D．圆C被直线l截得的弦长最短时，直线l的方程为x＋2y－5＝0
10．已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( )
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝32
D．当∠PBA最大时，|PB|＝32
三、填空题
11．已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为85”的m的一个值：________．
12．(2024·南京师大附中模拟)已知圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)只有一条公切线，则a＋b的最小值为________．
13．已知点P为直线l：x－y＋1＝0上的动点，若在圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1上存在两点M，N，使得∠MPN＝60°，则点P的横坐标的取值范围为________．
14．已知⊙C：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：x＋2y＋2＝0，M为直线l上的动点，过点M作⊙C的切线MA，MB，切点为A，B，当四边形MACB的面积取最小值时，直线AB的方程为________．
四、解答题
15．已知圆C：x2＋y2＝25，点P(3，4)．
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)若直线m过点P且被圆C截得的弦长为8，求直线m的方程．
16．抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2，0)，且⊙M与l相切．
(1)求C，⊙M的方程；
(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由
参考答案
1．C [由题意可得x02+y02＝2，于是圆心C到直线l的距离d＝2x02+y02＝22＝2＝r，所以直线和圆相切．
故选C.]
2．C [当切线的斜率不存在时，直线x＝2是圆的切线．
当切线斜率存在时，设切线方程为y－3＝k(x－2)，
由(0，0)到切线距离为d＝2k−3k2+1＝2，得k＝512，
此时切线方程为y－3＝512(x－2)，
即5x－12y＋26＝0.故选C.]
3．D [令直线l与圆C交于点A，B，依题意，∠ACB＝120°，∠ABC＝30°，而圆C的圆心C(2，0)，半径r＝2，
因此点C到直线l的距离d＝r sin 30°＝1，于是d＝3mm2+n2＝1，整理得n＝±22m，所以直线l的斜率k＝－mn＝±24.故选D.]
4．A [根据题意画出图形，如图所示．
由题意可得，曲线y＝ 4−x2的图象为以(0，0)为圆心，2为半径的半圆，直线l恒过A(2，4)，当直线l与半圆相切时，圆心到直线l的距离d＝r，即4−2k1+k2＝2，解得k＝34；当直线l过B点时，直线l的斜率k＝4−02−−2＝1，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为34，1.故选A.]
5．D [点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由题意知，反射光线所在的直线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0．由反射光线与圆相切，得−3k−2−2k−3k2+1＝1，解得k＝－43或k＝－34.故选D.]
6．B [如图，由x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝5，所以圆心到点(0，－2)的距离为2−02+0+22＝22，由于圆心与点(0，－2)的连线平分角α，所以sin α2＝r22＝522＝104，所以cs α2＝64，所以sin α＝2sinα2cs α2＝2×104×64＝154.故选B.]
7．A [圆O：(x－1)2＋y−232＝4的圆心为O1，23，半径为2，以P(3，0)，O1，23为直径，则PO的中点坐标为N2，3，PO＝3−12+0−232＝4，所以以N为圆心，PO为直径的圆的方程为(x－2)2＋y−32＝4，因为过点P(3，0)作圆O：(x－1)2＋y−232＝4的两条切线，切点分别为A，B，所以AB是两圆的公共弦，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程为x－3y＋3＝0.故选A.]
8．D [因为圆心C的横坐标为a，则圆心C的坐标为(a，2a－4)，则圆C的方程为(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1，设M(x，y)，由|MA|＝2|MO|，
可得x2+y−32＝2x2+y2，整理得x2＋(y＋1)2＝4，则圆(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1与圆x2＋(y＋1)2＝4有公共点，则2－1≤0−a2+−1−2a+42≤2＋1，
即1≤5a2－12a＋9≤9，解得0≤a≤125.故选D.]
9．AC [直线l：m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，由2x+y−7＝0，x+y−4＝0，得x＝3，y＝1，即l恒过定点(3，1)，A正确；点(3，1)与圆心(1，2)的距离d＝5＜5，故直线l与圆C恒相交，B错误；令x＝0，则(0－1)2＋(y－2)2＝25，可得y＝2±26，故圆C被y轴截得的弦长为46，C正确；要使直线l被圆C截得弦长最短，只需点(3，1)与圆心(1，2)连线垂直于直线l，所以直线l的斜率为－2m+1m+1＝2，可得m＝－34，故直线l为2x－y－5＝0，D错误．故选AC.]
10．ACD [设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为x4+y2＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝5+2×5−45＝115＞4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋115，4+115＜5＋1255＝10，A正确．
易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝115−4，115－4＜1255－4＝1，B不正确．
过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝MB2−MN2＝52+5−22−42＝32，当∠PBA最大时，点P与Q重合，PB＝32，C，D都正确．故选ACD.
]
11．22，−2，12，−12中任意一个均可 [设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知☉C的圆心C(1，0)，半径R＝2，C到直线l的距离d＝21+m2，|AB|＝2R2−d2＝24−21+m22＝4m1+m2.由S△ABC＝85，得12×4m1+m2×21+m2＝85，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝±12.故答案可以为2.]
12．－2 [圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0的圆心C1(－a，0)，半径r1＝2，圆C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0的圆心C2(0，b)，半径r2＝1，由两个圆只有一条公切线可得两个圆内切，圆心距|C1C2|＝a2+b2＝2－1＝1，
所以可得a2＋b2＝1，设a＝cs α，b＝sin α，α∈R，
所以a＋b＝2sinα+π4∈[－2，2]，当且仅当α＋π4＝－π2＋2kπ，k∈Z时，
即α＝－3π4＋2kπ，k∈Z时，a＋b的最小值为－2.]
13．[0，2] [圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1的圆心为C(2，1)，半径r＝1，当PM，PN与圆C相切且∠MPN＝60°时，|PC|＝2r＝2，
以C(2，1)为圆心，半径为2的圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
由x−y+1＝0，x−22+y−12＝4消去y并化简，得x2－2x＝0，
解得x＝0或x＝2，所以点P的横坐标的取值范围为[0，2].]
14．x＋2y＋1＝0 [⊙C：x2＋y2－2x－2y－2＝0的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，
则圆心C(1，1)，半径r＝2.
因为四边形MACB的面积
S＝2S△CAM＝|CA|·|AM|＝2|AM|＝2CM2−4，
要使四边形MACB面积最小，则需|CM|最小，此时CM与直线l垂直，
直线CM的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，
联立y＝2x−1，x+2y+2＝0，解得M(0，－1)．则|CM|＝5，
则以CM为直径的圆的方程为x−122+y2＝54，与⊙C的方程作差可得直线AB的方程为x＋2y＋1＝0．]
15．解：(1)当直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，
圆心到直线的距离为d＝3≠5＝r，不成立；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，
圆心到直线的距离等于半径，即d＝4−3kk2+1＝5，
解得k＝－34，所以直线方程为y－4＝－34(x－3)，即3x＋4y－25＝0.
所以过点P的圆C的切线方程为3x＋4y－25＝0.
(2)当直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，
圆心到直线的距离为d＝3，则直线被截的弦长为l＝2r2−d2＝8，成立；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，
圆心到直线的距离为d＝4−3kk2+1，
直线被截的弦长为l＝2r2−d2＝225−4−3kk2+12＝8，解得k＝724.
所以直线方程为y－4＝724(x－3)，即7x－24y＋75＝0.
综上，直线m的方程为x＝3或7x－24y＋75＝0.
16．解：(1)由题意，直线x＝1与C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，设C的焦点为F，P在第一象限，
则根据抛物线的对称性，∠POF＝∠QOF＝45°，
所以P(1，1)，Q(1，－1)．
设C的方程为y2＝2px(p＞0)，则1＝2p，得p＝12，所以C的方程为y2＝x.
因为圆心M(2，0)到l的距离即⊙M的半径，且距离为1，
所以⊙M的方程为(x－2)2＋y2＝1.
(2)设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)，
当A1，A2，A3中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标均为3时，满足条件，此时直线A2A3与⊙M相切．
当x1≠x2≠x3时，直线A1A2：x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0，
则2+y1y2y1+y22+1＝1，即y12−1y22+2y1y2+3−y12＝0，
同理可得y12−1y32+2y1y3+3−y12＝0，
所以y2，y3是方程y12−1y2＋2y1y＋3－y12＝0的两个根，
则y2＋y3＝−2y1y12−1，y2y3＝3−y12y12−1.
直线A2A3的方程为x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0，
设点M到直线A2A3的距离为d(d>0)，
则d2＝2+y2y321+y2+y32＝2+3−y12y12−121+−2y1y12−12＝1，即d＝1，
所以直线A2A3与⊙M相切．
综上可得，直线A2A3与⊙M相切