2025年高考数学一轮复习-8.5.1-椭圆及其性质-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-8.5.1-椭圆及其性质-专项训练【含解析】，共10页。试卷主要包含了 已知点P在椭圆E， 已知F1，F2是椭圆C， 已知F1,F2分别是椭圆E等内容，欢迎下载使用。

1. 已知点P在椭圆E：4x2+y2=16上，F1，F2是E的两个焦点，若PF1=3，则PF2=（ ）.
A. 5B. 6C. 7D. 8
2. 已知F1，F2是椭圆C：x29+y216=1的两个焦点，P是C上一点（端点除外），则△PF1F2的周长为（ ）.
A. 14B. 16C. 8+27D. 6+27
3. 已知椭圆x2+y2m=1m>0的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m=（ ）.
A. 2B. 1C. 14D. 4
4. 已知椭圆C的焦点为F10,−2，F20,2，过点F2的直线与C交于A，B两点.若△ABF1的周长为12，则椭圆C的标准方程为（ ）.
A. x29+y25=1B. y29+x25=1C. x236+y232=1D. y236+x232=1
5. 已知椭圆x23m+y2m=1的一个焦点的坐标为1,0，则实数m的值为（ ）.
A. 12B. 2C. 22D. 24
.
6.(2024·九省适应性测试)若椭圆x2a2+y2=1(a>1)的离心率为12,则a=( ).
A.233B.2C.3D.2

7. “0A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 已知F1,F2分别是椭圆E：x29+y25=1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点Q的坐标为−1,4，则PQ+PF1的最大值为（ ）.
A. 17B. 5C. 10D. 11
综合提升练
9. （多选题）已知F1,F2分别是椭圆C：x250+y225=1的左、右焦点，点P在椭圆C上，则下列结论正确的是（ ）.
A. 椭圆C的离心率为22B. PF1+PF2=52
C. 52−5≤PF1≤52+5D. ∠F1PF2的最大值为π2
10. （多选题）已知椭圆C：x216+y29=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上的动点（点P不在x轴上），则（ ）.
A. 椭圆C的焦点在x轴上B. △PF1F2的周长为8+27
C. PF1的取值范围为[94，4)D. tan∠F1PF2的最大值为37
11. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，则C的离心率为__________,
12. 已知椭圆C的两个焦点分别为F1−3,0，F23,0，为了使椭圆C的方程为x225+y216=1，可以再添加一个条件：____________________________________.
应用情境练
13. 在天文学上，航天器绕地球运行的椭圆轨道上距离地心最远的一点称为远地点，距离地心最近的一点称为近地点，远地点与地球表面的最短距离称为远地点高度，近地点与地球表面的最短距离称为近地点高度.已知某航天器的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，地球（视为一个球体）的半径为R，若该航天器的远地点高度为5R，所在椭圆轨道的离心率为15，则该航天器的近地点高度为_________
14. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了它们的光学性质.比如椭圆，他发现如果把椭圆焦点F一侧做成镜面，并在F处放置光源，那么经过椭圆镜面反射的光线都会经过另一个焦点.如图所示，设椭圆方程x2a2+y2b2=1a>b>0,F1,F2分别为其左、右焦点，若从右焦点F2发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足∠BAD=90∘ ,tan∠ABC=34，则该椭圆的离心率为_________
创新拓展练
15. 已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，F1，F2为C的两个焦点，C的短轴长为4，且C上存在一点P，使得PF1=6PF2，写出C的一个标准方程：_________
16. [2024·长沙模拟]如图，椭圆C:x2a2+y24=1a>2，圆O:x2+y2=a2+4，椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2.
（1）过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若PF1PF2=6，求PMPN的值.
（2）过圆O上任意一点R引椭圆C的两条切线，求证：两条切线相互垂直.
2025年高考数学一轮复习-椭圆及其性质-专项训练【解析版】
基础巩固练
1. 已知点P在椭圆E：4x2+y2=16上，F1，F2是E的两个焦点，若PF1=3，则PF2=（ A ）.
A. 5B. 6C. 7D. 8
[解析]由椭圆E：4x2+y2=16，即x24+y216=1,PF1=3，得a2=16,a=4.
由椭圆定义可知PF2+PF1=2a=8，得PF2=8−PF1=5.
故选A.
2. 已知F1，F2是椭圆C：x29+y216=1的两个焦点，P是C上一点（端点除外），则△PF1F2的周长为（ C ）.
A. 14B. 16C. 8+27D. 6+27
[解析]由题可知a=4，c=a2−b2=7，所以△PF1F2 的周长为2a+2c=8+27.故选C.
3. 已知椭圆x2+y2m=1m>0的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m=（ D ）.
A. 2B. 1C. 14D. 4
[解析]由条件可知，a2=m，b2=1，且2m=2×2，解得m=4.
故选D.
4. 已知椭圆C的焦点为F10,−2，F20,2，过点F2的直线与C交于A，B两点.若△ABF1的周长为12，则椭圆C的标准方程为（ B ）.
A. x29+y25=1B. y29+x25=1C. x236+y232=1D. y236+x232=1
[解析]依题意得{c=2,4a=12,a2=b2+c2, 解得a=3,b=5.
因为椭圆C 的焦点在y 轴上，
所以椭圆C 的标准方程为y29+x25=1.故选B.
5. 已知椭圆x23m+y2m=1的一个焦点的坐标为1,0，则实数m的值为（ A ）.
A. 12B. 2C. 22D. 24
[解析]由题意,得m>0，a2=3m,b2=m，则3m−m=12，解得m=12.故选A.
6.(2024·九省适应性测试)若椭圆x2a2+y2=1(a>1)的离心率为12,则a=( A ).
A.233B.2C.3D.2
[解析] 由题意得e=a2-1a=12,解得a=233.故选A.
7. “0A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
[解析]当a=b=14 时，满足“0故“08. 已知F1,F2分别是椭圆E：x29+y25=1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点Q的坐标为−1,4，则PQ+PF1的最大值为（ D ）.
A. 17B. 5C. 10D. 11
[解析]由椭圆E 的方程知，a=3，c=a2−b2=9−5=2，则F1−2,0,F22,0.
由椭圆的定义知，PF1+PF2=2a=6，
所以PF1+PQ=6−PF2+PQ≤6+QF2.
又QF2=−1−22+4−02=5,
所以PF1+PQ≤11，当且仅当点F2 在线段PQ 上时，等号成立，
即PF1+PQ 的最大值为11.故选D.
综合提升练
9. （多选题）已知F1,F2分别是椭圆C：x250+y225=1的左、右焦点，点P在椭圆C上，则下列结论正确的是（ ACD ）.
A. 椭圆C的离心率为22B. PF1+PF2=52
C. 52−5≤PF1≤52+5D. ∠F1PF2的最大值为π2
[解析]依题意得a=52，b=5，c=5，
则PF1+PF2=2a=102，椭圆C 的离心率为ca=22，故A 正确，B错误；
∵a−c≤PF1≤a+c，∴52−5≤PF1≤52+5，故C 正确；
当点P 位于短轴的端点时，∠F1PF2取得最大值，此时PF1=PF2=a=52，F1F2=2c=10，故PF1⊥PF2，即∠F1PF2 的最大值为π2，故D 正确.故选ACD.
10. （多选题）已知椭圆C：x216+y29=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上的动点（点P不在x轴上），则（ ABD ）.
A. 椭圆C的焦点在x轴上B. △PF1F2的周长为8+27
C. PF1的取值范围为[94，4)D. tan∠F1PF2的最大值为37
[解析]对于A，由椭圆C 的方程可知，椭圆C 的焦点在x 轴上，故A 正确；
对于B，因为c=16−9=7，所以△PF1F2 的周长为2a+2c=8+27，故B 正确；
对于C，因为点P 不在x 轴上，所以a−c对于D，设椭圆C 的上顶点为B，则0≤∠F1PF2≤∠F1BF2<π2，所以tan∠F1PF2 的最大值为tan∠F1BF2,设∠OBF2=α（O为坐标原点），则tan α=73，且∠F1BF2=2α ，又tan 2α=2tan α1−tan2α=37，所以tan∠F1PF2 的最大值为37，故D 正确.故选ABD.
11. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，则C的离心率为5−12 .
[解析]由题意可得，椭圆C 的长轴长2a、短轴长2b、焦距2c 成等比数列，所以2b2=2a⋅2c，即b2=ac=a2−c2，得e2+e−1=0，解得e=5−12 或e=−5−12（舍去）.
12. 已知椭圆C的两个焦点分别为F1−3,0，F23,0，为了使椭圆C的方程为x225+y216=1，可以再添加一个条件：椭圆C 上的点到两焦点的距离之和为10（答案不唯一）.
[解析]根据椭圆的焦点坐标可知，c=3，且焦点在x 轴上，若要使椭圆C 的方程为x225+y216=1，只需a=5，所以可添加条件“椭圆C 上的点到两焦点的距离之和为10”.
应用情境练
13. 在天文学上，航天器绕地球运行的椭圆轨道上距离地心最远的一点称为远地点，距离地心最近的一点称为近地点，远地点与地球表面的最短距离称为远地点高度，近地点与地球表面的最短距离称为近地点高度.已知某航天器的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，地球（视为一个球体）的半径为R，若该航天器的远地点高度为5R，所在椭圆轨道的离心率为15，则该航天器的近地点高度为3R .
[解析]设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
则由题意，可知ca=15,a+c=5R+R, 解得a=5R,c=R, 所以该航天器的近地点高度为a−c−R=3R.
14. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了它们的光学性质.比如椭圆，他发现如果把椭圆焦点F一侧做成镜面，并在F处放置光源，那么经过椭圆镜面反射的光线都会经过另一个焦点.如图所示，设椭圆方程x2a2+y2b2=1a>b>0,F1,F2分别为其左、右焦点，若从右焦点F2发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足∠BAD=90∘ ,tan∠ABC=34，则该椭圆的离心率为22 .
[解析]由椭圆的光学性质可知，BC,AD都经过点F1，且在△ABF1 中，∠BAF1=90∘ ，tan∠ABF1=34，如图，设AF1=3k,AB=4k,BF1=5k.
由椭圆的定义可知3k+4k+5k=4a，即a=3k，
又AF1+AF2=2a，
可得AF2=6k−3k=3k，
在Rt△AF1F2 中，AF12+AF22=F1F22，
所以F1F2=2c=32k，所以e=2c2a=32k6k=22.
创新拓展练
15. 已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，F1，F2为C的两个焦点，C的短轴长为4，且C上存在一点P，使得PF1=6PF2，写出C的一个标准方程：x24+y29=1（答案不唯一）.
[解析]根据题意可设C 的方程为x2b2+y2a2=1a>b>0，因为PF1=6PF2，所以PF1+PF2=7PF2=2a，则PF2=2a7，又因为a−c≤PF2≤a+c，
所以2a7≥a−c，即ca≥57.
因为椭圆C 的短轴长为4，即2b=4，解得b=2，
由ca≥57，可得1−b2a2=1−4a2≥57，解得a2≥496，
所以椭圆C 其中的一个标准方程为x24+y29=1.
16. [2024·长沙模拟]如图，椭圆C:x2a2+y24=1a>2，圆O:x2+y2=a2+4，椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2.
（1）过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若PF1PF2=6，求PMPN的值.
（2）过圆O上任意一点R引椭圆C的两条切线，求证：两条切线相互垂直.
[解析]（1）如图，设Px0,y0，由于PF1+PF2=2a，则PF12+PF12+2PF1⋅PF2=4a2，
而PF1PF2=6，则x0+c2+y02+x0−c2+y02+12=4a2，
所以x02+y02=2a2−c2−6=a2−2（其中a2−c2=4），
因为OM=ON,所以PMPN=OM−OPON+OP=OM2−OP2=a2+4−x02+y02=a2+4−a2−2=6.
（2）设Rm,n，则m2+n2=a2+4，即n2−4=a2−m2，
设当过点R 的椭圆C 的切线的斜率都存在时，切线方程为y=kx−m+nm2≠a2，代入椭圆方程得4x2+a2[k2x−m2+n2+2kx−mn]−4a2=0，
整理得4+a2k2x2−2ka2km−nx+a2km−n2−4a2=0，
则Δ=4a4k2km−n2−44+a2k2[a2km−n2−4a2]=0，
即km−n2−a2k2−4=0，则m2−a2k2−2mnk+n2−4=0，
令k1,k2为上述关于k 的方程的两个根，则k1k2=n2−4m2−a2=−1，
即当两条切线的斜率都存在时，两条切线相互垂直；
而当过点R 的切线的斜率不都存在时，易知R 点的坐标为±a,±2，
此时显然两条切线相互垂直.
综上，过圆O 上任意一点R 引椭圆C 的两条切线，两条切线相互垂直.