2025年高考数学一轮复习-8.6.2-双曲线的综合问题【导学案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-8.6.2-双曲线的综合问题【导学案】，共18页。

【例1】 （1）（2024·长春质检）已知双曲线C：x2－y24＝1，过点P（1，1）作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有（ ）
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
（2）过点P（4，2）作一条直线，与双曲线C：x22－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则｜AB｜＝（ ）
A.22 B.23
C.33 D.43
听课记录

解题技法
直线与双曲线位置关系问题的解题策略
（1）直线与双曲线位置关系的判断方法：将直线方程与双曲线方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，以ax2＋bx＋c＝0为例：①若a≠0且Δ＞0，直线与双曲线相交，有两个公共点；②若a≠0且Δ＝0，直线与双曲线相切，有且只有一个公共点；③若a≠0且Δ＜0，直线与双曲线相离，没有公共点；④若a＝0且b≠0，直线与双曲线的渐近线平行，只有一个公共点；⑤若a＝0且b＝0，直线为双曲线的渐近线，与双曲线相离，没有公共点；
（2）对于双曲线中的弦长和中点弦等问题，可以类比椭圆的处理思路，借助方程思想，将问题进行化归转化.
已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点为（5，0），一条渐近线方程为2x－y＝0.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知倾斜角为3π4的直线l与双曲线C交于A，B两点，且线段AB中点的纵坐标为4，求直线l的方程.
【例2】 （1）已知M（x0，y0）是双曲线C：x22－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若MF1·MF2＜0，则y0的取值范围是 ；
（2）（2024·嘉兴模拟）已知点M（－5，0），点P在曲线x29－y216＝1（x＞0）上运动，点Q在曲线（x－5）2＋y2＝1上运动，则｜PM｜2｜PQ｜的最小值是 .
听课记录

解题技法
与双曲线有关最值（范围）问题的解题方法
（1）几何法：若题目中的待求量有明显的几何特征，则考虑利用双曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理等知识确定极端位置后数形结合求解；
（2）代数法：①构建函数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求这个函数的最值；②构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解.
已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率为103，双曲线上的点到焦点的最小距离为10－3，则双曲线上的点到点A（5，0）的最小距离为 .
【例3】 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4 s.已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m.则该巨响发生在接报中心的（声音的传播速度为340 m/s）（ ）
A.北偏西45°方向，距离68010 mB.南偏东45°方向，距离68010 m
C.北偏西45°方向，距离6805 mD.南偏东45°方向，距离6805 m
听课记录

解题技法
利用双曲线解决实际问题的基本步骤
（1）建立适当的坐标系；
（2）求出双曲线的标准方程；
（3）根据双曲线方程及定义解决实际应用问题（注意实际意义）.
某团队在基地O点西侧、东侧20千米处分别设有A，B两站点，测量距离发现一点P满足｜PA｜－｜PB｜＝20千米，可知P在以点A，B为焦点的双曲线上.以O点为坐标原点，正东方向为x轴正半轴方向，正北方向为y轴正半轴方向，建立平面直角坐标系，点P在基地O点北偏东60°处，则P点的坐标为 .
“三案”破解圆锥曲线中的离心率问题
离心率是圆锥曲线的一个重要元素，它的变化直接导致曲线形状甚至是类型的变化，求圆锥曲线的离心率或范围问题是近几年高考的热点，这类问题所涉及的知识点较多、综合性强，解法灵活，内涵丰富，具有极好的素养评价功能.
一、以代数方案破解离心率问题
【例1】 （1）已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，以｜F1F2｜为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A.（22，1） B.［22，1）
C.（12，1） D.［12，1）
（2）已知双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点B为双曲线虚轴的上端点，A为双曲线的左顶点，若∠ABF＝π2，则双曲线的离心率为（ ）
A.2 B.3
C.5 D.1+52
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点评 利用代数方案破解圆锥曲线中的离心率问题就是利用椭圆、双曲线标准方程中的参数a（b）用代数方法求出它们的值或范围，进而求得离心率的值或范围.
二、以几何方案破解离心率问题
类型1 从定义入手，建立参数a，b，c的关系
【例2】 已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若｜AF｜＋｜BF｜＝4，点M到直线l的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是（ ）
A.（0，32］ B.（0，34］
C.［32，1） D.［34，1）
听课记录

点评 本例以曲线上一点到两焦点的距离之和等于某值给出，使我们自然联想到椭圆、双曲线的定义构建焦点三角形，再结合其他条件建立参数a，b，c之间的关系式，进而求得离心率的值或范围.
类型2 从点的坐标入手，建立参数a，b，c的关系
【例3】 在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2＝2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为 .
听课记录

点评 从与参数a，b，c相关的点入手，利用图形中点、线所具有的平行、垂直、对称、相等、共线等几何特征，结合圆锥曲线的顶点、焦点、渐近线等相关量，建立与参数a，b，c相关的关系式，进而求得离心率的值或范围.
类型3 从几何图形的特征入手，建立a，b，c的关系
【例4】 过双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆4x2＋4y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为 .
听课记录

点评 从圆锥曲线中某些图形的几何特征入手（如直角三角形、等腰三角形、圆、圆的切线等），建立关于a，b，c的关系式，进而求得离心率的值或范围.
三、以解三角形方案破解离心率问题
【例5】 设F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若｜PF1｜＝6｜OP｜，则C的离心率为（ ）
A.5 B.2
C.3 D.2
听课记录

点评 把圆锥曲线的离心率问题与解三角形完美的结合，通过正、余弦定理及圆锥曲线的定义、几何性质，寻找与参数a，b，c相关的齐次关系，进而求得离心率的值或范围.
1.（2024·南京模拟）已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的两条弦AB，CD相交于点P（点P在第一象限），且AB⊥x轴，CD⊥y轴.若｜PA｜∶｜PB｜∶｜PC｜∶｜PD｜＝1∶3∶1∶5，则椭圆E的离心率为（ ）
A.55 B.105
C.255 D.2105
2.已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A.（1，2） B.（1，3）
C.（3，＋∞） D.（2，3）
参考答案与解析

直线与双曲线的位置关系
【例1】 （1）（2024·长春质检）已知双曲线C：x2－y24＝1，过点P（1，1）作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有（ ）
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
（2）过点P（4，2）作一条直线，与双曲线C：x22－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则｜AB｜＝（ ）
A.22 B.23
C.33 D.43
答案：（1）D （2）D
解析：（1）当直线l斜率不存在时，直线方程为x＝1，显然与双曲线只有一个公共点（1，0）；当直线l斜率存在时，设直线l方程为y－1＝k（x－1），与双曲线方程联立，消y得（4－k2）x2＋2k（k－1）x－（k2－2k＋5）＝0，当4－k2＝0，即k＝±2时，方程有唯一实根，符合题意；当4－k2≠0，即k≠±2时，若方程有唯一实根，则Δ＝4k2（k－1）2＋4（4－k2）·（k2－2k＋5）＝0，解得k＝52.故满足与C有且只有一个公共点的直线l共有4条.
（2）法一 由题意可知，直线AB的斜率存在，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k（x－4）＋2.由y＝k（x－4）+2，x22－y2=1，消去y，整理得（1－2k2）x2＋8k（2k－1）x－32k2＋32k－10＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），因为P（4，2）为线段AB的中点，所以x1＋x2＝－8k（2k－1）1－2k2＝8，解得k＝1，所以x1x2＝－32k2+32k－101－2k2＝10，所以｜AB｜＝1+k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝43.故选D.
法二 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x122－y12＝1①，x222－y22＝1②，由①－②得12（x1－x2）（x1＋x2）－（y1－y2）（y1＋y2）＝0.因为P（4，2）为线段AB的中点，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以4（x1－x2）－4（y1－y2）＝0，即x1－x2＝y1－y2，易知x1≠x2，所以直线AB的斜率k＝y1－y2x1－x2＝1，则直线AB的方程为y＝x－2.由y＝x－2，x22－y2=1，消去y，整理得x2－8x＋10＝0，所以x1＋x2＝8，x1x2＝10，所以｜AB｜＝1+k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝43.
解题技法
直线与双曲线位置关系问题的解题策略
（1）直线与双曲线位置关系的判断方法：将直线方程与双曲线方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，以ax2＋bx＋c＝0为例：①若a≠0且Δ＞0，直线与双曲线相交，有两个公共点；②若a≠0且Δ＝0，直线与双曲线相切，有且只有一个公共点；③若a≠0且Δ＜0，直线与双曲线相离，没有公共点；④若a＝0且b≠0，直线与双曲线的渐近线平行，只有一个公共点；⑤若a＝0且b＝0，直线为双曲线的渐近线，与双曲线相离，没有公共点；
（2）对于双曲线中的弦长和中点弦等问题，可以类比椭圆的处理思路，借助方程思想，将问题进行化归转化.
已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点为（5，0），一条渐近线方程为2x－y＝0.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知倾斜角为3π4的直线l与双曲线C交于A，B两点，且线段AB中点的纵坐标为4，求直线l的方程.
解：（1）由焦点可知c＝5，
又一条渐近线方程为2x－y＝0，
所以ba＝2，
由c2＝a2＋b2可得5＝a2＋4a2，
解得a2＝1，b2＝4，
故双曲线C的标准方程为x2－y24＝1.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点的坐标为（x0，4），
则x12－y124＝1， ①
x22－y224＝1， ②
②－①得x22－x12＝y224－y124，
即k＝4x04＝x0，又k＝tan 3π4＝－1，
所以x0＝－1，
所以直线l的方程为y－4＝－（x＋1），
即x＋y－3＝0.
双曲线中的最值（范围）问题
【例2】 （1）已知M（x0，y0）是双曲线C：x22－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若MF1·MF2＜0，则y0的取值范围是 －33，33 ；
（2）（2024·嘉兴模拟）已知点M（－5，0），点P在曲线x29－y216＝1（x＞0）上运动，点Q在曲线（x－5）2＋y2＝1上运动，则｜PM｜2｜PQ｜的最小值是 20 .
解析：（1）因为F1（－3，0），F2（3，0），x022－y02＝1，所以MF1·MF2＝（－3－x0，－y0）·（3－x0，－y0）＝x02＋y02－3＜0，即3y02－1＜0，解得－33＜y0＜33.
（2）如图，在双曲线x29－y216＝1中，a＝3，b＝4，c＝a2＋b2＝5，圆（x－5）2＋y2＝1的圆心为C（5，0），半径r＝1.所以双曲线x29－y216＝1的左、右焦点分别为M，C.由双曲线的定义可得｜PM｜＝｜PC｜＋2a＝｜PC｜＋6，｜PQ｜≤｜PC｜＋1，所以｜PM｜2｜PQ｜≥(|PC｜+6）2｜PC｜+1＝（｜PC｜＋1）＋25｜PC｜+1＋10≥2(|PC｜+1）·25｜PC｜+1＋10＝20，当且仅当｜PC｜＝4时，等号成立，故｜PM｜2｜PQ｜的最小值是20.
解题技法
与双曲线有关最值（范围）问题的解题方法
（1）几何法：若题目中的待求量有明显的几何特征，则考虑利用双曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理等知识确定极端位置后数形结合求解；
（2）代数法：①构建函数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求这个函数的最值；②构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解.
已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率为103，双曲线上的点到焦点的最小距离为10－3，则双曲线上的点到点A（5，0）的最小距离为 62 .
解析：因为双曲线C的离心率为103，所以ca＝103，①.因为双曲线上同侧顶点到焦点的距离即双曲线上的点到焦点的最小距离，所以c－a＝10－3，②.由①②可得c＝10，a＝3，所以b2＝c2－a2＝1，所以双曲线C的方程为x29－y2＝1.设P（x，y）（x≤－3或x≥3）是双曲线x29－y2＝1上的任意一点，则｜AP｜＝（x－5）2＋y2＝（x－5）2＋x29－1＝10x29－10x+24＝109（x2－9x）+24＝109（x－92）2＋32，所以当x＝92时，｜AP｜取得最小值，｜AP｜min＝32＝62.
双曲线模型的实际应用
【例3】 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4 s.已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m.则该巨响发生在接报中心的（声音的传播速度为340 m/s）（ ）
A.北偏西45°方向，距离68010 m
B.南偏东45°方向，距离68010 m
C.北偏西45°方向，距离6805 m
D.南偏东45°方向，距离6805 m
解析：A 如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向分别为x轴，y轴的正方向，建立平面直角坐标系.设A，B，C分别是正西、正东、正北观测点，则A（－1 020，0），B（1 020，0），C（0，1 020）.设P（x，y）为巨响发生点.由已知｜PA｜＝｜PC｜，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y＝－x，又B点比A点晚4 s听到爆炸声，故｜PB｜－｜PA｜＝340×4＝1 360，可知P点在以A，B为焦点的双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）上，依题意得a＝680，c＝1 020，∴b2＝c2－a2＝1 0202－6802＝5×3402，故双曲线方程为x26802－y25×3402＝1，将y＝－x 代入上式，得x＝±6805，∵｜PB｜＞｜PA｜，∴x＝－6805，y＝6805，即P（－6805，6805）， 故｜PO｜＝68010.故巨响发生在接报中心的北偏西45°方向，距中心68010 m处.
解题技法
利用双曲线解决实际问题的基本步骤
（1）建立适当的坐标系；
（2）求出双曲线的标准方程；
（3）根据双曲线方程及定义解决实际应用问题（注意实际意义）.
某团队在基地O点西侧、东侧20千米处分别设有A，B两站点，测量距离发现一点P满足｜PA｜－｜PB｜＝20千米，可知P在以点A，B为焦点的双曲线上.以O点为坐标原点，正东方向为x轴正半轴方向，正北方向为y轴正半轴方向，建立平面直角坐标系，点P在基地O点北偏东60°处，则P点的坐标为 1522，562 .
解析：设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0），则a＝10，c＝20，∴b2＝c2－a2＝300，∴双曲线的标准方程为x2100－y2300＝1.由题意可得直线OP：y＝33x，由x2100－y2300=1，y＝33x，可得x＝1522，y＝562，∴P1522，562.
“三案”破解圆锥曲线中的离心率问题

离心率是圆锥曲线的一个重要元素，它的变化直接导致曲线形状甚至是类型的变化，求圆锥曲线的离心率或范围问题是近几年高考的热点，这类问题所涉及的知识点较多、综合性强，解法灵活，内涵丰富，具有极好的素养评价功能.
一、以代数方案破解离心率问题
【例1】 （1）已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，以｜F1F2｜为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A.（22，1） B.［22，1）
C.（12，1） D.［12，1）
（2）已知双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点B为双曲线虚轴的上端点，A为双曲线的左顶点，若∠ABF＝π2，则双曲线的离心率为（ ）
A.2 B.3
C.5 D.1+52
答案：（1）A （2）D
解析：（1）因为以｜F1F2｜为直径的圆与椭圆有四个交点，所以b＜c，即b2＜c2，a2－c2＜c2，a2＜2c2，所以e2＞12，即e＞22，又因为0＜e＜1，所以椭圆离心率的取值范围为（22，1）.故选A.
（2）由已知得，F的坐标为（c，0），B的坐标为（0，b），A的坐标为（－a，0），所以BA＝（－a，－b），BF＝（c，－b），又∠ABF＝π2，所以BA·BF＝0，故b2＝ac，即c2－a2＝ac，所以e2－e－1＝0，解得e＝1+52（负值舍去），故选D.
点评 利用代数方案破解圆锥曲线中的离心率问题就是利用椭圆、双曲线标准方程中的参数a（b）用代数方法求出它们的值或范围，进而求得离心率的值或范围.
二、以几何方案破解离心率问题
类型1 从定义入手，建立参数a，b，c的关系
【例2】 已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若｜AF｜＋｜BF｜＝4，点M到直线l的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是（ ）
A.（0，32］ B.（0，34］
C.［32，1） D.［34，1）
解析：A 设左焦点为F1，连接AF1，BF1（图略），则四边形BF1AF是平行四边形，故｜AF1｜＝｜BF｜，所以｜AF｜＋｜BF｜＝｜AF｜＋｜AF1｜＝4＝2a，所以a＝2，设M（0，b），M到直线l的距离不小于45，得4b5≥45，故b≥1，即a2－c2≥1，0＜c2≤3，所以0＜e≤32，故选A.
点评 本例以曲线上一点到两焦点的距离之和等于某值给出，使我们自然联想到椭圆、双曲线的定义构建焦点三角形，再结合其他条件建立参数a，b，c之间的关系式，进而求得离心率的值或范围.
类型2 从点的坐标入手，建立参数a，b，c的关系
【例3】 在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2＝2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为 32 .
解析：C1：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±bax，联立渐近线方程与抛物线方程得交点的坐标A（2pba，2pb2a2），B（－2pba，2pb2a2），又由于C2：x2＝2py（p＞0）的焦点F（0，p2），△OAB的垂心为C2的焦点，故有AF⊥OB，则kAF＝2pb2a2－p22pba＝ab，即b2a2＝54，c2a2＝a2＋b2a2＝94，e＝ca＝32.
点评 从与参数a，b，c相关的点入手，利用图形中点、线所具有的平行、垂直、对称、相等、共线等几何特征，结合圆锥曲线的顶点、焦点、渐近线等相关量，建立与参数a，b，c相关的关系式，进而求得离心率的值或范围.
类型3 从几何图形的特征入手，建立a，b，c的关系
【例4】 过双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆4x2＋4y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为 102 .
解析：设双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F1，因为E为PF的中点，O为FF1的中点，所以OE为△FPF1的中位线，有｜PF1｜＝2｜OE｜，又PF与圆相切于点E，圆的半径为a2，所以有｜PF1｜＝a，又｜PF｜－｜PF1｜＝2a，所以｜PF｜＝3a，在Rt△OEF中，｜OE｜2＋｜EF｜2＝｜OF｜2，即（a2）2＋（3a2）2＝c2，所以e2＝104，e＝102.
点评 从圆锥曲线中某些图形的几何特征入手（如直角三角形、等腰三角形、圆、圆的切线等），建立关于a，b，c的关系式，进而求得离心率的值或范围.
三、以解三角形方案破解离心率问题
【例5】 设F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若｜PF1｜＝6｜OP｜，则C的离心率为（ ）
A.5 B.2
C.3 D.2
解析：C 因为点F2（c，0）到渐近线y＝bax的距离｜PF2｜＝｜bca－0｜1+（ba）2＝b（b＞0），而｜OF2｜＝c，所以在Rt△OPF2中，由勾股定理可得｜OP｜＝c2－b2＝a，所以｜PF1｜＝6｜OP｜＝6a.在Rt△OPF2中，cs∠PF2O＝｜PF2｜｜OF2｜＝bc，在△F1F2P中，cs∠PF2O＝｜PF2｜2＋｜F1F2｜2−|PF1｜22｜PF2｜·｜F1F2｜＝b2+4c2－6a22b·2c，所以bc＝b2+4c2－6a24bc⇒3b2＝4c2－6a2，则有3（c2－a2）＝4c2－6a2，解得ca＝3（负值舍去），即e＝3.故选C.
点评 把圆锥曲线的离心率问题与解三角形完美的结合，通过正、余弦定理及圆锥曲线的定义、几何性质，寻找与参数a，b，c相关的齐次关系，进而求得离心率的值或范围.
1.（2024·南京模拟）已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的两条弦AB，CD相交于点P（点P在第一象限），且AB⊥x轴，CD⊥y轴.若｜PA｜∶｜PB｜∶｜PC｜∶｜PD｜＝1∶3∶1∶5，则椭圆E的离心率为（ ）
A.55 B.105
C.255 D.2105
解析：B 由题意可知，点A，C在第一象限，如图.设｜PA｜＝｜PC｜＝t，则｜PB｜＝3t，｜PD｜＝5t，由椭圆的对称性知A（2t，2t），C（3t，t），∴4t2a2＋4t2b2＝1，9t2a2＋t2b2＝1，消去t可得5a2＝3b2，即3a2＝5b2＝5（a2－c2），得2a2＝5c2，∴椭圆E的离心率e＝105.故选B.
2.已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A.（1，2） B.（1，3）
C.（3，＋∞） D.（2，3）
解析：A 在△PF1F2中，sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，由正弦定理，得｜PF1｜＝3｜PF2｜，又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，所以｜PF1｜＝3a，｜PF2｜＝a，在△PF1F2中，由｜PF1｜＋｜PF2｜＞｜F1F2｜，得3a＋a＞2c，即2a＞c，所以e＝ca＜2，又e＞1，所以1＜e＜2.故选A.
1.若直线x＝a与双曲线x24－y2＝1有两个交点，则a的值可以是（ ）
A.4 B.2
C.1 D.－2
解析：A 因为在双曲线x24－y2＝1中，x≥2或x≤－2，所以若x＝a与双曲线有两个交点，则a＞2或a＜－2，故只有A符合题意.
2.已知F是双曲线C：x2－y23＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（ ）
A.13 B.12
C.23 D.32
解析：D 由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F（2，0），将x＝2代入x2－y23＝1，得y＝±3，所以｜PF｜＝3.又A的坐标是（1，3），故△APF的面积为12×3×（2－1）＝32.
3.已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，与直线y＝12x交于A，B两点，若｜AB｜＝215，则该双曲线的方程为（ ）
A.x2－y2＝6
B.x2－y2＝9
C.x2－y2＝16
D.x2－y2＝25
解析：B 设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2（a＞0），与y＝12x联立，得34x2－a2＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝0，x1·x2＝－4a23，∴｜AB｜＝1+（12）2×433a＝215，∴a＝3，双曲线方程为x2－y2＝9，故选B.
4.如图所示的半圆形区域为一个油桃园.每年油桃成熟时，园主都需要雇佣工人采摘，并沿两条路径将采摘好的油桃运送到C处，有两种路径可供选择，路径1：先集中到A处，再沿AC运送；路径2：先集中到B处，再沿BC运送.园主在果园中画定了一条界线，使得从该界线上的点出发，按这两种路径运送油桃至C处所走路程同样远.已知AC＝300 m，BC＝400 m，AC⊥BC，若这条界线是曲线E的一部分，则曲线E为（ ）
A.圆 B.椭圆
C.抛物线 D.双曲线
解析：D 从界线上的点P出发，经A到C与经B到C所走的路程是一样的，即｜AP｜＋｜AC｜＝｜BP｜＋｜BC｜，所以｜AP｜－｜BP｜＝｜BC｜－｜AC｜，又｜BC｜＝400，｜AC｜＝300，所以｜AP｜－｜BP｜＝400－300＝100，因为｜AB｜＝｜AC｜2＋｜BC｜2＝500，所以根据双曲线的定义可知曲线E为双曲线的一部分.故选D.
5.设O为坐标原点，直线x＝2a与双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ）
A.32 B.16
C.8 D.4
解析：D 由题意可得双曲线的渐近线方程为y＝±bax，令x＝2a，得y＝±2b，不妨取D（2a，2b），E（2a，－2b），则S△ODE＝12×2a×4b＝4ab＝8，所以ab＝2.又c2＝a2＋b2≥2ab＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，所以C的焦距的最小值为2×2＝4.故选D.
6.（多选）设F1，F2为双曲线C：x2－y2b2＝1（b＞0）的左、右焦点，过F2的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，直线l：3x－y＝0为双曲线C的一条渐近线，则（ ）
A.b＝3
B.弦PQ长的最小值为6
C.存在点P，使得｜PF1｜＝3
D.点P到直线m：3x－y＋2＝0距离的最小值为1
解析：AB 由题知，a＝1，渐近线3x－y＝0⇒y＝3x⇒ba＝3⇒b＝3，c＝2，故A正确；｜PQ｜为双曲线右支上的焦点弦，则其为通径，即与x轴垂直时最短，｜PQ｜min＝2b2a＝2×3＝6，故B正确；根据双曲线定义知｜PF1｜－｜PF2｜＝2a⇒｜PF1｜＝2a＋｜PF2｜≥2a＋c－a＝a＋c＝1＋2＝3，∴当P为双曲线右顶点（1，0）时，｜PF1｜取最小值3，但此时F2P与双曲线的右支没有两个交点，故C错误；∵直线m和双曲线的渐近线l平行，故双曲线上点P到直线m的距离没有最小值，故D错误.故选A、B.
7.直线y＝x＋1与双曲线x22－y23＝1相交于A，B两点，则｜AB｜＝ 46.
解析：由y＝x+1，x22－y23=1，得x2－4x－8＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则Δ>0，x1＋x2=4，x1·x2＝－8，∴｜AB｜＝（1+k2)[(x1＋x2）2－4x1x2]＝2×（16+32）＝46.
8.若直线y＝2x与双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是 （3，＋∞） .
解析：因为直线y＝2x与双曲线x2a2－y2b2＝1恒有两个公共点，所以ba＞2，则e＝ca＝1+b2a2＞1+2＝3，所以双曲线离心率的取值范围是（3，＋∞）.
9.以A（2，1）为中点的双曲线C：2x2－y2＝2的弦所在直线的方程为 4x－y－7＝0 .
解析：设A（2，1）是弦P1P2的中点，且P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，∵P1，P2在双曲线上，∴2x12－y12=2，2x22－y22=2，∴2（x1＋x2）（x1－x2）－（y1＋y2）（y1－y2）＝0，∴2×4（x1－x2）＝2（y1－y2），∴k＝y1－y2x1－x2＝4.∴以A（2，1）为中点的双曲线的弦所在的直线方程为y－1＝4（x－2），整理得4x－y－7＝0.联立4x－y－7=0，2x2－y2=2得14x2－56x＋51＝0，∵Δ＝（－56）2－4×14×51＞0.∴以A（2，1）为中点的双曲线的弦所在的直线方程为4x－y－7＝0.
10.已知双曲线C：x24－y2＝1，P为双曲线C上的任意一点.
（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点A的坐标为（3，0），求｜PA｜的最小值.
解：（1）证明：设P（x1，y1）是双曲线上任意一点.
该双曲线的两条渐近线方程分别是x－2y＝0，x＋2y＝0，
∴点P（x1，y1）到两条渐近线的距离分别是｜x1－2y1｜5和｜x1+2y1｜5，
它们的乘积是｜x1－2y1｜5·｜x1+2y1｜5＝｜x12－4y12｜5＝45，
故点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.
（2）设点P的坐标为（x，y），则｜PA｜2＝（x－3）2＋y2＝（x－3）2＋x24－1＝54x－1252＋45.
∵｜x｜≥2，∴当x＝125时，｜PA｜2取最小值45，
∴｜PA｜的最小值为255.
11.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2＋股2＝弦2”.设F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，直线y＝3x交双曲线左、右两支于A，B两点，若｜BF1｜，｜BF2｜恰好是Rt△F1BF2的“勾”“股”，则此双曲线的离心率为（ ）
A.3＋1 B.3
C.2 D.5
解析：A 如图所示，由题意可知，｜OB｜＝｜OF1｜＝｜OF2｜＝c，∠BOF2＝60°，所以｜BF2｜＝c，｜BF1｜＝3c，由双曲线的定义可得，3c－c＝2a，所以e＝ca＝23－1＝3＋1.故选A.
12.已知双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且｜PF1｜＝4｜PF2｜，则此双曲线的离心率e的最大值为 53 .
解析：由双曲线的定义，知｜PF1｜－｜PF2｜＝2a.又｜PF1｜＝4｜PF2｜，∴｜PF1｜＝83a，｜PF2｜＝23a.在△PF1F2中，由余弦定理，得cs∠F1PF2＝649a2＋49a2－4c22×83a×23a＝178－98e2.求e的最大值，即求cs∠F1PF2的最小值，故当∠F1PF2＝π，即178－98e2＝－1时，e取得最大值，此时e2＝259，∴emax＝53.
13.已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，点P（2，3）在E上.
（1）求E的方程；
（2）过点Q（0，1）的直线l交E于不同的两点A，B（异于点P），求直线PA，PB的斜率之和.
解：（1）由已知可得E的离心率e＝ca＝2，又c2＝a2＋b2，
∴e2＝c2a2＝1＋b2a2＝4，解得b2＝3a2. ①
∵点P（2，3）在E上，∴4a2－9b2＝1， ②
由①②可得a2＝1，b2＝3.
∴双曲线E的方程为x2－y23＝1.
（2）由题意知，过点Q（0，1）的直线l的斜率显然存在，
设l的方程为y＝kx＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），
∵kPQ＝3－12－0＝1，∴当k＝1时，l与E的交点与P点重合，故k≠1.
当k≠1时，将l的方程代入双曲线E的方程并整理，得（3－k2）x2－2kx－4＝0，
依题意3－k2≠0，且Δ＝48－12k2＞0，∴k2＜4且k2≠3且k≠1，
因此，x1＋x2＝2k3－k2，x1x2＝－43－k2.
∴kPA＋kPB＝y1－3x1－2＋y2－3x2－2＝kx1+1－3x1－2＋kx2+1－3x2－2＝2k＋（2k－2）（1x1－2＋1x2－2）＝2k＋（2k－2)(x1＋x2－4）x1x2－2（x1＋x2）+4
＝2k＋（2k－2）×2（2k－3)(k+2）－4（k－1)(k+2）＝3.
14.（多选）已知双曲线C1：x2a12－y2b12＝1（a1＞0，b1＞0）的一条渐近线的方程为y＝3x，且过点（1，32），椭圆C2：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的焦距与双曲线C1的焦距相同，且椭圆C2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交C2于A，B两点，若点A（1，y1），则下列说法中正确的有（ ）
A.双曲线C1的离心率为2
B.双曲线C1的实轴长为12
C.点B的横坐标的取值范围为（－2，－1）
D.点B的横坐标的取值范围为（－3，－1）
解析：AD 双曲线C1：x2a12－y2b12＝1（a1＞0，b1＞0）的一条渐近线的方程为y＝3x，则可设双曲线C1的方程为x2－y23＝λ（λ＞0），∵过点（1，32），∴1－34＝λ，解得λ＝14，∴双曲线C1的方程为4x2－43y2＝1，即x214－y234＝1，可知双曲线C1的离心率e＝2，实轴的长为1，故选项A正确，选项B错误；由14＋34＝1，可知椭圆C2：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的焦点F1（－1，0），F2（1，0），不妨设A（1，y1）（y1＞0），代入x2a2＋y2b2＝1，得1a2＋y12b2＝1，∴y1＝b2a，直线AB的方程为y＝b22a（x＋1），联立
y＝b22a（x+1),x2a2＋y2b2=1，消去y并整理得（a2＋3）x2＋2（a2－1）x－3a2－1＝0，根据根与系数的关系可得1·xB＝－3a2+1a2+3，可得xB＝－3a2+1a2+3＝－3＋8a2+3，又a2＞1，∴a2＋3＞4，0＜8a2＋3＜2，∴－3＜xB＜－1，故选项C错误，选项D正确，故选A、D.
15.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为y＝3x，右焦点F到直线x＝a2c的距离为32.
（1）求双曲线C的方程；
（2）斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B，D两点，已知A（1，0），若DF·BF＝1，证明：过A，B，D三点的圆与x轴相切.
解：（1）依题意有ba＝3，c－a2c＝32，
∵a2＋b2＝c2，∴c＝2a，∴a＝1，c＝2，
∴b2＝3，
∴双曲线C的方程为x2－y23＝1.
（2）证明：设直线l的方程为y＝x＋m（m＞0），
B（x1，x1＋m），D（x2，x2＋m），BD的中点为M，
由y＝x＋m，x2－y23=1得2x2－2mx－m2－3＝0，
∴x1＋x2＝m，x1x2＝－m2+32，
又DF·BF＝1，即（2－x1）（2－x2）＋（x1＋m）·（x2＋m）＝1，
∴m＝0（舍）或m＝2，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝－72，M点的横坐标为x1＋x22＝1，
∵DA·BA＝（1－x1）（1－x2）＋（x1＋2）（x2＋2）＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0，
∴AD⊥AB，∴过A，B，D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，
∵点M的横坐标为1，∴MA⊥x轴.
∴过A，B，D三点的圆与x轴相切。
直线与双曲线的位置关系
双曲线中的最值（范围）问题
双曲线模型的实际应用