2025年高考数学一轮复习-8.7-利用空间向量研究距离问题-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-8.7-利用空间向量研究距离问题-专项训练【含解析】，共17页。

A. 22B. 32C. 62D. 3
2. 已知在三棱锥P−ABC中，PC⊥ 平面ABC,∠BAC=90∘ ,AB=AC=4,∠PBC=45∘ ，则点C到平面PAB的距离是（ ）.
A. 463B. 263C. 433D. 423
3. 已知在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，AA1=4，∠A1AD=∠A1AB=60∘ ，则异面直线AC与DC1所成的角的余弦值为（ ）.
A. 147B. 7014C. 31414D. 111414
4. 设α ,β ,γ 为平面，且α⊥β ,α∩β=l.若γ 与α 所成的二面角为45∘ ，l与γ 所成的角为30∘ ，则γ 与β 所成的锐二面角为（ ）.
A. 15∘B. 45∘C. 30∘D. 60∘
5. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A−BCD中，AB⊥ 平面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=CD，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（ ）.
A. 33B. 23C. 32D. 22
6. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，AD=AA1=1，P为线段A1C上的动点，当A1C=2A1P时，直线BP与平面ABCD所成角的正弦值为（ ）.
A. 255B. 22C. 55D. 35
7. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是AC的中点，点P在线段A1C1上，若直线OP与平面A1BC1所成的角为θ ，则sin θ 的取值范围是（ ）.
A. [14,13]B. [13,12]C. [23,33]D. (23,33)
8. 已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60∘ ，E为AB的中点（如图1），将△ADE沿直线DE翻折至△A'DE处（如图2），连接A'B，A'C，若四棱锥A'−EBCD的体积为43，F为A'D的中点，则F到直线BC的距离为（ ）.
A. 312B. 232C. 314D. 234
综合提升练
9. （多选题）已知在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为侧面BCC1B1（不含边界）内的动点，Q为线段A1C上的动点，若直线A1P与A1B1的夹角为45∘ ，则下列说法正确的是（）.
A. 线段A1P的长度为2
B. 33A1Q+PQ的最小值为2
C. 对任意点P，总存在点Q，使得D1Q⊥CP
D. 存在点P，使得直线A1P与平面ADD1A1所成的角为60∘
10. （多选题）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=1,AB=AD=3,E是侧面AA1D1D的中心，F是底面ABCD的中心，点M在线段AD上运动.以A为原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，则（ ）.
A. n=1,0,3是平面A1BC的一个法向量
B. 直线EF//平面C1D1DC
C. 异面直线EF与A1C垂直
D. 存在点M，使得直线A1M与平面A1BC所成的角为π4
11. （双空题）如图，这个多面体是由底面为ABCD的长方体被平行四边形AEC1F所截得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1，则BF的长为_______.点C到平面AEC1F的距离为_______
[
12. [2024·江苏模拟]如图，在三棱锥A−BCD中，已知CB=CD=5,BD=2，O为BD的中点，AO⊥ 平面BCD，AO=2，E为AC的中点.若点F在BC上，满足BF=14BC，则二面角F−DE−C的正弦值是_______
应用情境练
13. 钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报时的建筑.中国古代一般建于城市的中心地带，在现代城市中，也常常可以看见附有钟楼的建筑.某建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面（四棱柱看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上），在整点时刻（在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点），已知在3点时和9点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则正面在2点时和右侧面在8点时，两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为_______
14.(2024·九省适应性测试)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,O为AC与BD的交点,AA1=2,∠C1CB=∠C1CD,∠C1CO=45°.
(1)证明:C1O⊥平面ABCD.
(2)求二面角B-AA1-D的正弦值.
创新拓展练
15. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1的内切球的表面积为π ，P是棱BB1上一动点，当直线C1D与平面A1C1P的夹角最大时，四面体D−A1C1P的体积为_______
.
16. [2024·青岛模拟]如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径AB=4，母线PH=22，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形.
（1）设平面POH∩ 平面PBC=l，证明：l//BC.
（2）设D为OH的中点，N是线段CD上的一点，当MN与平面PAB所成的角最大时，求MN的长.
8.7-利用空间向量研究距离问题-专项训练【解析版】
基础巩固练
1. 在空间直角坐标系中，已知A1,−1,1，B3,1,1，则点P1,0,2到直线AB的距离为（ C ）.
A. 22B. 32C. 62D. 3
[解析]∵A1,−1,1，B3,1,1，P1,0,2，
∴AB=2,2,0,AP=0,1,1，
∴AB⋅AP=2,AB=22,AP=2，
∴AP 在AB 方向上的投影向量的模ℎ=AB⋅APAB=222=22，
∴ 点P1,0,2 到直线AB 的距离d=AP2−ℎ2=2−12=62.故选C.
2. 已知在三棱锥P−ABC中，PC⊥ 平面ABC,∠BAC=90∘ ,AB=AC=4,∠PBC=45∘ ，则点C到平面PAB的距离是（ A ）.
A. 463B. 263C. 433D. 423
[解析]以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则AP=0,4,42,AB=4,0,0,PC=0,0,−42.
设平面PAB 的一个法向量为m=x,y,z，
则m⋅AP→=0,m⋅AB→=0,
即4y+42z=0, 4x=0⇒y=−2z, x=0,
令y=2，则z=−1，
∴m=0,2,−1，∴ 点C 到平面PAB 的距离为PC⋅mm=463.
故选A.
3. 已知在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，AA1=4，∠A1AD=∠A1AB=60∘ ，则异面直线AC与DC1所成的角的余弦值为（ C ）.
A. 147B. 7014C. 31414D. 111414
[解析]如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1 中，∠A1AD=∠A1AB=60∘ ，∠BAD=90∘ ，
DC1=AB+AA1，AD⋅AA1=AB⋅AA1=ABAA1cs∠A1AB=2×4cs 60∘=4，
则DC1=AB2+AA12+2AB⋅AA1=22+42+2×4=27，而AC=AB+AD，且AC=22，
于是AC⋅DC1=AB+AD⋅AB+AA1=AB2+AB⋅AD+AB⋅AA1+AD⋅AA1=4+4+4=12，
所以cs⟨AC,DC1⟩=AC⋅DC1ACDC1=1222×27=31414，
所以异面直线AC与DC1所成的角的余弦值为31414.故选C.
4. 设α ,β ,γ 为平面，且α⊥β ,α∩β=l.若γ 与α 所成的二面角为45∘ ，l与γ 所成的角为30∘ ，则γ 与β 所成的锐二面角为（ D ）.
A. 15∘B. 45∘C. 30∘D. 60∘
[解析]设平面α ，β ，γ 的单位法向量分别为a,b,c，直线l 上的单位方向向量为l.
根据题意，{a,b,l}构成空间直角坐标系的一个单位正交基底，
由题意可设c 与a 的夹角的余弦值为22，c与l 的夹角的余弦值为12，
设c=xa+yb+zl,c⋅a=x，则x=22，同理可得z=12，
由x2+y2+z2=1，解得y=±12，
于是所求锐二面角为60∘ .故选D.
5. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A−BCD中，AB⊥ 平面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=CD，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（ A ）.
A. 33B. 23C. 32D. 22
[解析]如图，正方体内的三棱锥A−BCD 为满足题意的鳖臑A−BCD，
以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则B0,0,0，A0,0,1，C0,1,0，D1,1,0，M(12,12,12)，
则BM=(12,12,12)，CD=1,0,0，
cs⟨BM,CD⟩=BM⋅CDBM⋅CD=1234=33，
故异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为33.故选A.
6. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，AD=AA1=1，P为线段A1C上的动点，当A1C=2A1P时，直线BP与平面ABCD所成角的正弦值为（ C ）.
A. 255B. 22C. 55D. 35
[解析]如图,以A 为坐标原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.AB=3，AD=AA1=1，
则A10,0,1,B3,0,0,C3,1,0,C13,1,1,D0,1,0,D10,1,1，
设Px,y,z，则A1C=3,1,−1，A1P=x,y,z−1.
当A1C=2A1P 时，3=2x, 1=2y, −1=2z−1,
所以P(32,12,12)，
所以BP=(−32,12,12)，易知平面ABCD 的一个法向量为A1A=0,0,−1，
所以直线BP 与平面ABCD 所成角的正弦值为|cs⟨A1A,BP⟩=A1A⋅BPA1ABP=−1234+14+14|=55，故选C.
7. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是AC的中点，点P在线段A1C1上，若直线OP与平面A1BC1所成的角为θ ，则sin θ 的取值范围是（ C ）.
A. [14,13]B. [13,12]C. [23,33]D. (23,33)
[解析]如图，设正方体的棱长为1，A1PA1C1=λ0≤λ≤1，则A1P=λA1C1，
连接B1D 并以D 为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A1,0,0,C0,1,0,O(12,12,0)，则A1C1=AC=−1,1,0,A1P=−λ,λ,0，又A11,0,1，所以P1−λ,λ,1，所以OP=(12−λ ,λ−12,1).
在正方体ABCD−A1B1C1D1 中，体对角线B1D⊥ 平面A1BC1，
所以DB1=1,1,1 是平面A1BC1 的一个法向量，
所以sin θ=|cs⟨OP,DB1⟩|
=12−λ+λ−12+13×12−λ2+λ−122+1
=16λ−122+3，
所以当λ=12 时，sin θ 取得最大值，最大值为33，当λ=0 或λ=1 时，sin θ 取得最小值，最小值为23,所以sin θ∈[23,33].故选C.
8. 已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60∘ ，E为AB的中点（如图1），将△ADE沿直线DE翻折至△A'DE处（如图2），连接A'B，A'C，若四棱锥A'−EBCD的体积为43，F为A'D的中点，则F到直线BC的距离为（ A ）.
A. 312B. 232C. 314D. 234
[解析]连接BD（图略），因为四边形ABCD 为菱形，且∠A=60∘ ，所以△ABD 为等边三角形，
因为E 为AB 的中点，所以DE⊥AB，所以DE⊥EB,DE⊥A'E.
因为EB∩A'E=E，EB⊂ 平面A'EB,A'E⊂ 平面A'EB，所以DE⊥ 平面A'EB.
因为菱形ABCD 的边长为4，所以AB=AD=CD=BC=4,DE=23,AE=BE=2，
所以直角梯形BCDE 的面积为12×2+4×23=63，
设四棱锥A'−EBCD 的高为ℎ，则13×63ℎ=43，得ℎ=2，
所以ℎ=A'E，所以A'E⊥ 平面BCDE，
所以以E 为原点，ED,EB,EA'所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系（图略），则B0,2,0,C23,4,0,A'0,0,2,F3,0,1,所以BC=23,2,0，
所以令c=BCBC=(32,12,0),a=FB=−3,2,−1,
所以a=3+4+1=22,a⋅c=−32+1=−12，
所以点F 到直线BC 的距离d=a2−a⋅c2=8−14=312.
故选A.
综合提升练
9. （多选题）已知在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为侧面BCC1B1（不含边界）内的动点，Q为线段A1C上的动点，若直线A1P与A1B1的夹角为45∘ ，则下列说法正确的是（ AC ）.
A. 线段A1P的长度为2
B. 33A1Q+PQ的最小值为2
C. 对任意点P，总存在点Q，使得D1Q⊥CP
D. 存在点P，使得直线A1P与平面ADD1A1所成的角为60∘
[解析]建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，根据题意，可得D0,0,0，A1,0,0，B1,1,0，C0,1,0，D10,0,1，A11,0,1，B11,1,1，C10,1,1，
设点Px1,1,z1，Qx2,y2,z2，由直线A1P 与A1B1 的夹角为45∘ ，得A1P=x1−1,1,z1−1，A1B1=0,1,0，
故cs 45∘=A1P⋅A1B1A1PA1B1，解得x1−12+z1−12=1.
Q为线段A1C 上的动点，则有A1Q=λA1C0≤λ≤1，解得Q1−λ,λ,1−λ.
对于A，有A1P=x1−12+z1−12+1=2，故A 正确；
对于B，过点Q 作平面ABCD 的垂线，垂足为R，
因为sin∠ACA1=AA1A1C=33，所以33A1Q=1−QR，
故求33A1Q+PQ 的最小值等价于求PQ−QR+1 的最小值，
因为QR=1−λ ，QP=1−λ−x12+λ−12+1−λ−z12，
所以QP2=1−λ−x12+λ−12+1−λ−z12≥λ−12=QR2，
则PQ−QR+1≥1，当且仅当x1=z1=1−λ 时，等号成立，结合x1−12+z1−12=1，可得此时λ=22，故B 错误；
对于C，若D1Q⊥CP，D1Q=1−λ,λ,−λ，CP=x1,0,z1，
则D1Q⋅CP=x11−λ−z1λ=0，又x1−12+z1−12=1，
所以当λ=1 时，D1Q⋅CP=−z=0,此时点P 与点B 重合，当点Q 与点C 重合时，P1Q⊥CP,当λ≠1 时，[λ2λ−12+1]z12+2λλ−1−2z1+1=0，则Δ=[2λλ−1−2]2−4[λ2λ−12+1]=−8λλ−1，
当0≤λ<1 时，Δ=−8λλ−1≥0，故对任意点P，总存在点Q 使得D1Q⊥CP，故C 正确；
对于D，易知平面ADD1A1 的一个法向量为n=0,1,0，若直线A1P 与平面ADD1A1 所成的角为60∘ ，
即直线A1P 与平面ADD1A1 的法向量所成的角为30∘ ，则cs 30∘=A1P⋅nA1Pn,解得32=12，矛盾，故D 错误.故选AC.
10. （多选题）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=1,AB=AD=3,E是侧面AA1D1D的中心，F是底面ABCD的中心，点M在线段AD上运动.以A为原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，则（ ABD ）.
A. n=1,0,3是平面A1BC的一个法向量
B. 直线EF//平面C1D1DC
C. 异面直线EF与A1C垂直
D. 存在点M，使得直线A1M与平面A1BC所成的角为π4
[解析]由题意可得A0,0,0,B3,0,0,C3,3,0,D0,3,0，A10,0,1,B13,0,1,C13,3,1,D10,3,1.
因为E 是侧面AA1D1D 的中心，F是底面ABCD 的中心，所以E(0,32,12),F(32,32,0).
对于A，因为BA1=−3,0,1,BC=0,3,0，n=1,0,3，
所以n⋅BA1=−3+3=0，n⋅BC=0，
所以n⊥BA1，n⊥BC，所以n=1,0,3 是平面A1BC 的一个法向量，所以A 正确；
对于B，因为AD⊥ 平面C1D1DC，
所以AD=0,3,0 是平面C1D1DC 的一个法向量，
因为EF=(32,0,−12)，所以AD⋅EF=0，所以AD⊥EF，
因为EF⊄ 平面C1D1DC，所以直线EF// 平面C1D1DC，所以B 正确；
对于C，因为EF⋅A1C=(32,0,−12)⋅3,3,−1=2≠0，所以EF 与A1C 不垂直，所以异面直线EF 与A1C 不垂直，所以C 错误；
对于D，设M0,m,00≤m≤3，则A1M=0,m,−1，由A 可知n=1,0,3 是平面A1BC 的一个法向量，设直线A1M 与平面A1BC 所成的角为θ ，则sin θ=|cs⟨A1M,n⟩=A1M⋅nA1Mn=−32m2+1|=32m2+1，
若直线A1M 与平面A1BC 所成的角为π4，则32m2+1=22，解得m=22∈[0,3]，
所以存在点M，使得直线A1M 与平面A1BC 所成的角为π4，所以D 正确.故选ABD.
11. （双空题）如图，这个多面体是由底面为ABCD的长方体被平行四边形AEC1F所截得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1，则BF的长为26 ，点C到平面AEC1F的距离为43311 .
[解析]如图，建立空间直角坐标系，则B2,4,0,A2,0,0,C0,4,0,E2,4,1,C10,4,3，设F0,0,a，
由题意可知，四边形AEC1F 为平行四边形，则AF=EC1，即−2,0,a=−2,0,2，则a=2，即F0,0,2，
所以BF=−2,−4,2，所以BF=−22+−42+22=26，即BF 的长为26.
设平面AEC1F 的一个法向量为n=x,y,z，
因为AE=0,4,1，AF=−2,0,2，
所以n⋅AE→=4y+z=0,n⋅AF→=−2x+2z=0,
令y=−1，则x=z=4，即n=4,−1,4，
因为CC1=0,0,3，所以点C 到平面AEC1F 的距离d=CC1⋅nn=1233=43311.
12. [2024·江苏模拟]如图，在三棱锥A−BCD中，已知CB=CD=5,BD=2，O为BD的中点，AO⊥ 平面BCD，AO=2，E为AC的中点.若点F在BC上，满足BF=14BC，则二面角F−DE−C的正弦值是23913 .
[解析]如图，连接CO，
∵BC=CD,BO=OD，∴CO⊥BD，
∴OA，BD，OC两两互相垂直，
以O 为坐标原点，OB,OC,OA所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A0,0,2,B1,0,0,C0,2,0,D−1,0,0，∵E为AC 的中点，∴E0,1,1，DE=1,1,1,
设平面DEC 的一个法向量为n1=x,y,z,
∵DC=1,2,0,∴ n1⋅DC→=0,n1⋅DE→=0,
∴x+2y=0, x+y+z=0,
令y=1，解得x=−2,z=1，∴n1=−2,1,1，
设平面DEF 的一个法向量为n2=x1,y1,z1,
∵DF=DB+BF=DB+14BC=(74,12,0),
∴ n2⋅DF→=0,n2⋅DE→=0,，∴74x1+12y1=0, x1+y1+z1=0,
令y1=−7，解得x1=2,z1=5，
∴n2=2,−7,5，设二面角F−DE−C 的大小为θ ,则cs θ=−66×78=113，∴sin θ=1213=23913.
应用情境练
13. 钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报时的建筑.中国古代一般建于城市的中心地带，在现代城市中，也常常可以看见附有钟楼的建筑.某建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面（四棱柱看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上），在整点时刻（在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点），已知在3点时和9点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则正面在2点时和右侧面在8点时，两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为14 .
[解析]如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1 中，E,F分别为侧面ABB1A1 和侧面BCC1B1 的中心，G为BB1 的中点，EN为2点钟时针，FM为8点钟时针，则∠NEG=30∘ ，∠MFG=30∘ ，设正四棱柱的底面边长为a，侧棱长为b，以D 为原点，以DA,DC,DD1的方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，则E(a,a2,b2)，N(a,a,b2+36a)，F(a2,a,b2)，M(a,a,b2−36a)，EN=(0,a2,36a)，FM=(a2,0,−36a)，所以|cs⟨EN,FM⟩|=EN⋅FMEN⋅FM=112a2a24+336a2×a24+336a2=14，所以当正面在2点时和右侧面在8点时，相邻两钟钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为14.
14.(2024·九省适应性测试)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,O为AC与BD的交点,AA1=2,∠C1CB=∠C1CD,∠C1CO=45°.
(1)证明:C1O⊥平面ABCD.
(2)求二面角B-AA1-D的正弦值.
[解析] (1)如图,
连接BC1,DC1,
因为底面ABCD是边长为2的正方形,所以BC=DC,
又因为∠C1CB=∠C1CD,CC1=CC1,
所以△C1CB≌△C1CD,所以BC1=DC1,
因为O为线段BD的中点,所以C1O⊥BD,
在△C1CO中,CC1=2,CO=12AC=2,∠C1CO=45°,
所以cs∠C1CO=22=C1C2+OC2-C1O22·C1C·OC,解得C1O=2,
则C1C2=OC2+C1O2,即C1O⊥OC,
又OC∩BD=O,OC⊂平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
所以C1O⊥平面ABCD.
(2)
建立如图所示的空间直角坐标系,
则B(0,2,0),D(0,-2,0),A(2,0,0),C(-2,0,0),C1(0,0,2),
则AA1=CC1=(2,0,2),AB=(-2,2,0),AD=(-2,-2,0),
设平面BAA1的一个法向量为m=(x1,y1,z1),平面DAA1的一个法向量为n=(x2,y2,z2),
则AA1·m=0,AB·m=0⇒2x1+2z1=0,-2x1+2y1=0⇒令x1=1,则m=(1,1,-1),
AA1·n=0,AD·m=0⇒2x2+2z2=0,-2x2-2y2=0⇒令x2=1,则n=(1,-1,-1),
设二面角B-AA1-D大小为θ,
则cs θ=m·n|m|·|n|=13×3=13,得sin θ=1-cs2θ=223,
所以二面角B-AA1-D的正弦值为223.
创新拓展练
15. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1的内切球的表面积为π ，P是棱BB1上一动点，当直线C1D与平面A1C1P的夹角最大时，四面体D−A1C1P的体积为14 .
[解析]以B1 为原点，B1A1,B1C1,B1B所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
∵ 正方体ABCD−A1B1C1D1 的内切球的表面积为π ，∴ 内切球半径r=12，∴ 正方体的棱长为1，
∴A11,0,0，C10,1,0，D1,1,1，
设P0,0,t，t∈[0,1]，
∴C1D=1,0,1,C1A1=1,−1,0，A1P=−1,0,t，
设平面A1C1P 的一个法向量为n=x,y,z，
则n⋅C1A1=x−y=0,
n⋅A1P=−x+tz=0,取n=t,t,1,
∴ 直线C1D 与平面A1C1P 的夹角的正弦值为|cs⟨C1D,n⟩|=C1D⋅nC1Dn=t+12×2t2+1=22⋅t+122t2+1，
令t+1=u，∵t∈[0,1]，∴u∈[1,2]，
∴22⋅t+122t2+1=22⋅u22u2−4u+3=22⋅12−4u+3u2，
令v=1u，∵u∈[1,2],∴v∈[12,1]，
∴22⋅12−4u+3u2=22⋅13v2−4v+2=22⋅13v−232+23,v∈[12,1]，
∴ 当v=23，即1t+1=23，即t=12 时，直线C1D 与平面A1C1P 的夹角的正弦值取得最大值，此时直线C1D 与平面A1C1P 的夹角也最大，
∴ 当直线C1D 与平面A1C1P 的夹角最大时，P为棱BB1 的中点，
此时平面A1C1P 的一个法向量为n=(12,12,1)，又C1D=1,0,1，
∴ 点D 到平面A1C1P 的距离为C1D|cs⟨C1D,n⟩|=C1D⋅nn=3232=62，
此时A1P=C1P=52，A1C1=2，则△A1C1P 的面积为12×2×54−12=64，
∴ 此时四面体D−A1C1P 的体积为13×64×62=14.
16. [2024·青岛模拟]如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径AB=4，母线PH=22，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形.
（1）设平面POH∩ 平面PBC=l，证明：l//BC.
（2）设D为OH的中点，N是线段CD上的一点，当MN与平面PAB所成的角最大时，求MN的长.
[解析]（1）∵ 四边形OBCH 为正方形，∴BC//OH，
∵BC⊄ 平面POH，OH⊂ 平面POH，∴BC//平面POH.
∵BC⊂ 平面PBC，平面POH∩ 平面PBC=l，∴l//BC.
（2）∵ 圆锥的母线长为22，AB=4，∴OB=2，OP=2，
以O 为原点，OD所在的直线为x 轴，OB所在的直线为y 轴，OP所在的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则O0,0,0，D1,0,0，C2,2,0，M0,1,1，
设DN=λDC=λ,2λ,00≤λ≤1，则ON=OD+DN=1+λ,2λ,0，
MN=ON−OM=1+λ,2λ−1,−1，
又OD=1,0,0 为平面PAB 的一个法向量，
设MN 与平面PAB 所成的角为θ ，
则sin θ=1+λ,2λ−1,−1⋅1,0,01+λ2+2λ−12+1=1+λ5λ2−2λ+3，
令1+λ=t，则t∈[1,2]，
则sin θ=t5t2−12t+10=15−12t+101t2
=1101t−352+75，
∴ 当1t=35，即λ=23 时，sin θ 最大，即θ 最大，此时MN=(53,13,−1)，∴MN=532+132+−12=353.