2025年高考数学一轮复习-9.1-两个计数原理、排列与组合-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-9.1-两个计数原理、排列与组合-专项训练【含解析】，共14页。
A. 21 种B. 315 种C. 143 种D. 153 种
2. 北京大兴国际机场是一座跨地域、超大型的国际航空综合交通枢纽，目前建有4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道，如图所示.若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上4条跑道中不同的2条跑道同时起飞，则不同的安排方法种数为( )
A. 16 B. 12 C. 9 D. 8
3. 某大厦一层有A ，B ，C ，D 四部电梯，现有3人在同一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有( )
A. 12 种B. 24 种C. 18 种D. 36 种
4. 宋代学者聂崇义编撰的《三礼图集注》中描述的周王城，“匠人营国，方九里，旁三门，国中九经九纬…… ”，意思是周王城为正方形，边长为九里，每边都有左中右三个门，城内纵横各有九条路…… ，依据此种描述，画出如图所示的周王城的平面图，则图中所有矩形的个数为( )
A. 3025 B. 2025 C. 1225 D. 2525
5. [湖北武汉模拟]某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人，后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则调整方法共有( )
A. 150 种B. 300 种C. 450 种D. 225 种
6. [吉林通化期末]（多选）甲、乙、丙、丁、戊五个人并排站在一起拍照，下列说法错误的是( )
A. 若甲站正中间，则共有24种排法
B. 若甲、乙相邻，则共有36种排法
C. 若甲不站两端，则共有48种排法
D. 若甲、乙、丙各不相邻，则共有12种排法
7. [四川成都模拟]将3名医护人员，6名志愿者分成3个小组，分别安排到甲、乙、丙三个社区进行相关工作，每个小组由1名医护人员和2名志愿者组成，则不同的安排方案共有( )
A. 90 种B. 540 种C. 1620 种D. 3240 种
8. 甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数为( )
A. 90 B. 120 C. 210 D. 216
9. [福建龙岩模拟]从集合M={1,2,3,4,5,6,7,8,9} 中分别取2个不同的数作为对数的底数与真数，一共可得到 个不同的对数值.
10. [福建厦门模拟]将6名同学分成两个学习小组，每组至少两人，则不同的分组方法共有 种.
11. [山东聊城模拟]有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有 种.（用数字作答）
[B级 综合运用]
12. [上海高三模拟]4张卡片的正、反面分别写有数字1 ，2 ；1 ，3 ；4 ，5 ；6 ，7 .将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为( )
A. 288 B. 336 C. 368 D. 412
13. 元宵节是中国传统节日，放烟花、吃汤圆、观花灯是常见的元宵节民俗活动.某社区计划举办元宵节找花灯活动，准备在3个不同的地方悬挂5盏不同的花灯，其中2盏是人物灯.现要求这3个地方都有灯（同一地方的花灯不考虑位置的差别），且人物灯不能挂在同一个地方，则不同的悬挂方法种数为( )
A. 114 B. 92 C. 72 D. 42
14. [四川名校联考]某学校开展“学雷锋践初心”志愿活动.现有6名男同学和4名女同学，分配到4个“学雷锋”志愿服务站参加志愿活动，若每个志愿服务站至少有男、女同学各1名，则不同的分配方案种数为( )
A. 65 B. 1560 C. 25920 D. 37440
15. [浙江杭州四中模拟]如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a ,b ,c .若a ,b ,c 成等差数列，则不同的分珠计数法共有( )
A. 20 种B. 32 种C. 54 种D. 72 种
16. （多选）中国古代中“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节课，则下列说法正确的是( )
A. 某学生从中选3门学习，共有20种选法
B. “礼”和“射”不相邻，共有400种排法
C. “乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有504种排法
D. “书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有108种排法
17. [湖北武汉模拟]（多选）某人设计一项单人游戏，规则如下：如图所示，先将一棋子放在正方形ABCD （边长为2个单位）的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为ii=1,2,…,6 ，则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去.某人抛掷n 次骰子后棋子恰好又回到点A 处，则( )
A. 若n=2 时，则共有3种不同走法B. 若n=2 时，则共有5种不同走法
C. 若n=3 时，则共有25种不同走法D. 若n=3 时，则共有27种不同走法
18. 《医院分级管理办法》将医院按其功能、任务不同划分为三个等级：一级医院、二级医院、三级医院.某地有9个医院，其中3个一级医院，4个二级医院，2个三级医院，现在要从中抽出4个医院进行药品抽检，则抽出的医院中至少有2个一级医院的抽法种数为 .
19. 将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同的盒子中的3个，并且这3个盒子中球的颜色齐全的不同放法共有 种.
20. [甘肃兰州模拟]如图，某花坛中有5个区域，现有4种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，则符合条件的种植方案有 种.
2025年高考数学一轮复习-9.1-两个计数原理、排列与组合-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的2本书，则不同的选法有( C )
A. 21 种B. 315 种C. 143 种D. 153 种
[解析]选C.选出不属于同一学科的2本书，可分三类：第一类：语文、数学各1本，共有9×7=63 （种）；第二类：语文、英语各1本，共有9×5=45 （种）；第三类：数学、英语各1本，共有7×5=35 （种），因此共有63+45+35=143 （种）不同选法.
2. 北京大兴国际机场是一座跨地域、超大型的国际航空综合交通枢纽，目前建有4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道，如图所示.若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上4条跑道中不同的2条跑道同时起飞，则不同的安排方法种数为( B )
A. 16 B. 12 C. 9 D. 8
[解析]选B.有A42=12 （种）不同的安排方法.故选B.
3. 某大厦一层有A ，B ，C ，D 四部电梯，现有3人在同一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有( D )
A. 12 种B. 24 种C. 18 种D. 36 种
[解析]选D.元素相邻利用“捆绑法”，先从3人中选择2人坐同一电梯有C32=3 （种）选法，再将2个“元素”安排坐四部电梯有A42=12 （种）安排方法，则不同的乘坐方式有3×12=36 （种）.故选D.
4. 宋代学者聂崇义编撰的《三礼图集注》中描述的周王城，“匠人营国，方九里，旁三门，国中九经九纬…… ”，意思是周王城为正方形，边长为九里，每边都有左中右三个门，城内纵横各有九条路…… ，依据此种描述，画出如图所示的周王城的平面图，则图中所有矩形的个数为( A )
A. 3025 B. 2025 C. 1225 D. 2525
[解析]选A.要想组成一个矩形，需要找出两条横边、两条纵边，根据分步乘法计数原理，依题意，所有矩形的个数为C112⋅C112=3025 .
5. [湖北武汉模拟]某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人，后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则调整方法共有( C )
A. 150 种B. 300 种C. 450 种D. 225 种
[解析]选C.先从后排6人中抽出两名同学，有C62 种方法，然后与前排4人排列，有A66 种排法，因为其他同学的相对顺序不变，则前排4人不需再排，所以共有C62⋅A66A44=450 （种）调整方法.故选C.
6. [吉林通化期末]（多选）甲、乙、丙、丁、戊五个人并排站在一起拍照，下列说法错误的是( BC )
A. 若甲站正中间，则共有24种排法
B. 若甲、乙相邻，则共有36种排法
C. 若甲不站两端，则共有48种排法
D. 若甲、乙、丙各不相邻，则共有12种排法
[解析]选BC.若甲站在正中间，有A44=24 （种）排法，A正确；若甲、乙两人相邻站在一起，共有A22A44=48 （种）排法，B错误；若甲不站两端，则共有C31A44=72 （种）排法，C错误；若甲、乙、丙各不相邻，则共有A22A33=12 （种）排法，D正确.故选BC.
7. [四川成都模拟]将3名医护人员，6名志愿者分成3个小组，分别安排到甲、乙、丙三个社区进行相关工作，每个小组由1名医护人员和2名志愿者组成，则不同的安排方案共有( B )
A. 90 种B. 540 种C. 1620 种D. 3240 种
[解析]选B.第一步，医护人员的安排方案有A33=6 （种）；第二步，志愿者的安排方案有C62⋅C42⋅C22=90 （种），所以不同的安排方案共有90×6=540 （种），故选B.
8. 甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数为( C )
A. 90 B. 120 C. 210 D. 216
[解析]选C.由题意得可分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一级台阶上，共有C63A33=120 （种）站法；第二类，有2人站在同一级台阶上，剩余1人独自站在一级台阶上，共有C32C62A22=90 （种）站法.综上，不同的站法种数是120+90=210 .故选C.
9. [福建龙岩模拟]从集合M={1,2,3,4,5,6,7,8,9} 中分别取2个不同的数作为对数的底数与真数，一共可得到53个不同的对数值.
[解析]①当取的两个数中有一个是1时，则1只能作真数，此时lga1=0 ，a=2 或3或4或5或6或7或8或9 ；
②所取的两个数不含有1时，即从2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 中任取两个，分别作为底数与真数，有A82=56 （个）对数，
但是其中lg23=lg49 ，lg32=lg94 ，lg24=lg39 ，lg42=lg93 .
综上可知，共可以得到56+1−4=53 （个）不同的对数值.
10. [福建厦门模拟]将6名同学分成两个学习小组，每组至少两人，则不同的分组方法共有25种.
[解析]由题知，6人分为两组共有两种分法：①一组2人，一组4人，这种分法数为C64C22=15 ；②两组均为3人，这种分法数为C63C332！=10 ，所以由分类加法计数原理可得共有15+10=25 （种）分法.
11. [山东聊城模拟]有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有36种.（用数字作答）
[解析]先考虑相声、跳舞相邻的情况，只需将相声、跳舞这两个节目进行捆绑，形成一个“大元素”，然后再将这个“大元素”与其他三个节目进行排序，共有A22A44=48 （种）排法.接下来考虑相声节目与小品、跳舞都相邻的情形，需将相声与小品、跳舞这三个节目进行捆绑，其中相声节目位于中间，然后将这个“大元素”与其他两个节目进行排序，此时共有A22A33=12 （种）排法.综上所述，由间接法可知，共有48−12=36 （种）不同的排法.
[B级 综合运用]
12. [上海高三模拟]4张卡片的正、反面分别写有数字1 ，2 ；1 ，3 ；4 ，5 ；6 ，7 .将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为( B )
A. 288 B. 336 C. 368 D. 412
[解析]选B.当四位数不出现1时，排法有C21×C21×A44=96 （种）；当四位数出现一个1时，排法有2×C21×C21×A44=192 （种）；当四位数出现两个1时，排法有C21×C21×A42=48 （种）；所以不同的四位数的个数共有96+192+48=336 .故选B.
13. 元宵节是中国传统节日，放烟花、吃汤圆、观花灯是常见的元宵节民俗活动.某社区计划举办元宵节找花灯活动，准备在3个不同的地方悬挂5盏不同的花灯，其中2盏是人物灯.现要求这3个地方都有灯（同一地方的花灯不考虑位置的差别），且人物灯不能挂在同一个地方，则不同的悬挂方法种数为( A )
A. 114 B. 92 C. 72 D. 42
[解析]选A.由题意得，3个地方的花灯的数量分布应该是1，1 ，3 或者1 ，2 ，2 两种情况，第一种情况1 ，1 ，3 ，若两个1均为人物灯，则有A33 种方法，若两个1只有一个为人物灯，则有C21C32A33 种方法，即第一种情况共有A33+C21C32A33=42 （种）方法；第二种情况1 ，2 ，2 ，若1为人物灯，则有C21C31A33 种方法，若1不是人物灯，则有C31C21A33 种方法，即第二种情况共有C21C31A33+C31C21A33=72 （种）方法.由分类加法计数原理可得，满足条件的不同悬挂方法共有42+72=114 （种）.故选A.
14. [四川名校联考]某学校开展“学雷锋践初心”志愿活动.现有6名男同学和4名女同学，分配到4个“学雷锋”志愿服务站参加志愿活动，若每个志愿服务站至少有男、女同学各1名，则不同的分配方案种数为( D )
A. 65 B. 1560 C. 25920 D. 37440
[解析]选D.由题意得分配方案可分为两类：
第一类，1组3个男生，其余3组每组1个男生，
不同的分配方案有C63C31C21C11A33×A44×A44=11520 （种）；
第二类，有2组每组2个男生，其余2组每组1个男生，不同的分配方案有C62C42C21C11A22A22×A44×A44=25920 （种）.
所以不同的分配方案共有11520+25920=37440 （种）.故选D.
15. [浙江杭州四中模拟]如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a ,b ,c .若a ,b ,c 成等差数列，则不同的分珠计数法共有( B )
A. 20 种B. 32 种C. 54 种D. 72 种
[解析]选B.根据题意，a ，b ，c 的取值范围都是7~14中的8个整数，故公差d 的范围是−3 到3的整数，
①当公差d=0 时，从8个整数中选择一个共有8种，
②当公差d=±1 时，b 不取7和14，有2×6=12 （种），
③当公差d=±2 时，b 不取7 ，8 ，13 ，14 ，有2×4=8 （种），
④当公差d=±3 时，b 只能取10或11，有2×2=4 （种），
综上，共有8+12+8+4=32 （种），故选B.
16. （多选）中国古代中“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节课，则下列说法正确的是( AC )
A. 某学生从中选3门学习，共有20种选法
B. “礼”和“射”不相邻，共有400种排法
C. “乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有504种排法
D. “书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有108种排法
[解析]选AC.对于A，某学生从中选3门学习，共有C63=20 （种）选法，故A正确；对于B，“礼”和“射”不相邻，则有A44A52=480 （种）排法，故B错误；对于C，①若“数”排在第一节，则排法有A55=120 （种），②若“数”不排在第一节，也不排在最后一节，则排法有C41C41A44=384 （种），所以共有120+384=504 （种）排法，故C正确；对于D，①若“书”排在第一节，且“射”和“御”相邻，则有4A22A33=48 （种）排法，②若“书”排在第二节，且“射”和“御”相邻，则有3A22A33=36 （种）排法，③若“书”排在第三节，且“射”和“御”相邻，则有3A22A33=36 （种）排法，所以共有48+36+36=120 （种）排法，故D错误.故选AC.
17. [湖北武汉模拟]（多选）某人设计一项单人游戏，规则如下：如图所示，先将一棋子放在正方形ABCD （边长为2个单位）的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为ii=1,2,…,6 ，则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去.某人抛掷n 次骰子后棋子恰好又回到点A 处，则( BD )
A. 若n=2 时，则共有3种不同走法B. 若n=2 时，则共有5种不同走法
C. 若n=3 时，则共有25种不同走法D. 若n=3 时，则共有27种不同走法
[解析]选BD.由题意知正方形ABCD （边长为2个单位）的周长是8.
当n=2 时，两次骰子的点数之和是8，共有2,6 ，3,5 ，4,43 种组合，抛掷骰子是有序的，所以共5种结果，所以当n=2 时，共有5种不同走法，故A错误，B 正确；
若n=3 时，三次骰子的点数之和是8或16，共有1,2,5 ，1,3,4 ，1,1,6 ，2,2,4 ，2,3,3 ，4,6,6 ，5,5,67 种组合，
前2种组合1,2,5 ，1,3,4 ，每种情况可以排列出A33=6 （种）结果，共有2A33=2×6=12 （种）结果，
其中1,1,6 ，2,2,4 ，2,3,3 ，4,6,6 ，5,5,6 各有3种结果，共有5×3=15 （种）结果，根据分类加法计数原理知共有12+15=27 （种）结果，所以当n=3 时，共有27种不同走法，故C错误，D正确.故选BD.
18. 《医院分级管理办法》将医院按其功能、任务不同划分为三个等级：一级医院、二级医院、三级医院.某地有9个医院，其中3个一级医院，4个二级医院，2个三级医院，现在要从中抽出4个医院进行药品抽检，则抽出的医院中至少有2个一级医院的抽法种数为51.
[解析]方法一：恰有2个一级医院，有C32C62=45 （种）抽法；恰有3个一级医院，有C33C61=6 （种）抽法.所以抽出的医院中至少有2个一级医院的抽法种数为45+6=51 .
方法二：从9个医院里抽出4个医院进行药品抽检，共有C94=126 （种）抽法，抽出的医院中至少有2个一级医院的对立事件是抽出的医院中至多有1个一级医院，则恰有0个一级医院，有C30C64=15 （种）抽法；恰有1个一级医院，有C31C63=60 （种）抽法，所以抽出的医院中至少有2个一级医院的抽法种数为126−15−60=51 .
19. 将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同的盒子中的3个，并且这3个盒子中球的颜色齐全的不同放法共有720种.
[解析]先从4个盒子中选3个盒子，有C43 种方法.为了保证3个盒子中球的颜色齐全，在4个相同的白球所产生的3个空中插入2块板，有C32 种方法；在5个相同的黑球所产生的4个空中插入2块板，有C42 种方法；在6个相同的红球所产生的5个空中插入2块板，有C52 种方法.由分步乘法计数原理可得不同的放法共有C43C32C42C52=720 （种）.
20. [甘肃兰州模拟]如图，某花坛中有5个区域，现有4种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，则符合条件的种植方案有72种.
[解析]如图，假设5个区域分别为1，2 ，3 ，4 ，5 ，分2种情况讨论：
①当选用3种颜色的花卉时，2 ，4 同色且3 ，5 同色，共有种植方案C43⋅A33=24 （种）；
②当4种不同颜色的花卉全选时，即2 ，4 或3 ，5 用同一种颜色，共有种植方案C21A44=48 （种），
则不同的种植方案共有24+48=72 （种）.