2025年高考数学一轮复习-9.1-直线的方程-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-9.1-直线的方程-专项训练【含解析】，共11页。试卷主要包含了 象限， 下列说法正确的是， [2024·辽源联考]等内容，欢迎下载使用。

1. [2024·开封模拟]已知直线l的一个方向向量为2,−1，且经过点A1,0，则直线l的方程为（ ）.
A. x−y−1=0B. x+y−1=0C. x−2y−1=0D. x+2y−1=0
2. 直线23x−6y−25=0的倾斜角是（ ）.
A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘
3. （改编）已知直线过A−1,2，B3,m两点，且倾斜角为135∘ ，则2m=（ ）.
A. −2B. 1C. 14D. −4
4. （原创）已知直线y=xcs θ−8θ∈R的斜率为k，则直线k+2x+k−4y−5=0一定不经过第（ ）象限.
A. 一B. 二C. 三D. 四
5. 下列说法正确的是（ ）.
A. 倾斜角为2π3的直线只有1条
B. 任意直线的一般式方程ax+by+c=0都可以化为斜截式
C. 过x1,y1，x2,y2两点的直线方程为y−y1y2−y1=x−x1x2−x1
D. 经过点1,1且在x轴和y轴上的截距都相等的直线方程为x+y−2=0或y=x
6. 设点A2,−3，B−3,−2，若直线l（l不垂直于x轴）过点P1,1且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）.
A. (−∞,−4]∪[34,+∞)B. (−∞ ,−14]∪[34,+∞)
C. [−4,34]D. [−34,4]
7. [2024·金昌模拟]已知直线l1：x−2y−2=0的倾斜角为θ ，直线l2的倾斜角为2θ ，且直线l2在y轴上的截距为3，则直线l2的一般式方程为（ ）.
A. x+y−3=0B. 4x−3y+9=0C. 3x−4y+3=0D. 2x+y−3=0
8. [2024·南阳模拟]若直线a，b，c的斜率分别为2，1，−2，倾斜角分别为α ，β ，γ ，则（ ）.
A. α>β>γB. γ>α>βC. γ>β>αD. α>γ>β
综合提升练
9. [2024·辽源联考]（多选题）下列四个说法正确的是（ ）.
A. 直线y=x+2在y轴上的截距为−2
B. 经过定点A0,2的直线都可以用方程y=kx+2表示
C. 直线2x+my+6=0m∈R过定点−3,0
D. 已知直线3x+4y+9=0与直线6x+my+24=0平行，则平行线间的距离是35
10. （多选题）已知直线xsin α+ycs α+1=0α∈R，则下列说法正确的是（ ）.
A. 直线的倾斜角是π−α
B. 无论α 如何变化，直线不过原点
C. 直线的斜率一定存在
D. 当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
11. [2024·北京统考]如图，矩形ABCD的边AB与x轴重合，C2,2，D−1,2.从原点O射出的光线OP经BC反射到CD上，再经CD反射到AD上的点Q处.若直线OP的斜率为12，则点Q的纵坐标为________.
12. 已知直线l：kx−y+1+2k=0，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为________
应用情境练
13. （双空题）莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线.后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线.已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A−1,0，B3,0，C0,2，则△ABC的垂心坐标为________,△ABC的欧拉线方程为________
14. [2024·深圳模拟]已知直线l：m+2x−2m+1⋅y−3=0m∈R，直线l分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点.
（1）证明：直线l过定点.
（2）已知点P−1,−2，当PA⋅PB的值最小时，求实数m的值.
创新拓展练
15. [2024·淄博联考]已知A0,4，B0,−4，C4,0，E0,2，F0,−2，一束光线从点F出发射到BC上的点D经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则直线FD斜率的取值范围是________
16. [2024·南通模拟]已知一条动直线3m+1x+m−1y−6m−2=0，直线l过动直线的定点P，且直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点.
（1）是否存在直线l满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
（2）当PA+32PB取得最小值时，求直线l的方程.
9.1-直线的方程-专项训练【解析版】
基础巩固练
1. [2024·开封模拟]已知直线l的一个方向向量为2,−1，且经过点A1,0，则直线l的方程为（ D ）.
A. x−y−1=0B. x+y−1=0C. x−2y−1=0D. x+2y−1=0
[解析]因为直线l 的一个方向向量为2,−1，所以直线l 的斜率k=−12=−12.又直线l 经过点A1,0，所以直线l 的方程为y−0=−12x−1，即x+2y−1=0.故选D.
2. 直线23x−6y−25=0的倾斜角是（ A ）.
A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘
[解析]设直线的倾斜角为α ，则直线的斜率k=tan α=236=33.
因为0∘≤α<180∘ ，所以α=30∘ .故选A.
3. （改编）已知直线过A−1,2，B3,m两点，且倾斜角为135∘ ，则2m=（ C ）.
A. −2B. 1C. 14D. −4
[解析]因为直线过A−1,2，B3,m两点，且倾斜角为135∘ ，
所以2−m−1−3=tan 135∘ ，解得m=−2,所以2m=2−2=14.故选C.
4. （原创）已知直线y=xcs θ−8θ∈R的斜率为k，则直线k+2x+k−4y−5=0一定不经过第（ B ）象限.
A. 一B. 二C. 三D. 四
[解析]因为−1≤cs θ≤1，所以直线y=xcs θ−8 的斜率k 的取值范围为[−1,1]，
所以1≤k+2≤3，−5≤k−4≤−3，
所以−k+2k−4>0，5k−4<0,所以直线k+2x+k−4y−5=0 一定不经过第二象限.故选B.
5. 下列说法正确的是（ D ）.
A. 倾斜角为2π3的直线只有1条
B. 任意直线的一般式方程ax+by+c=0都可以化为斜截式
C. 过x1,y1，x2,y2两点的直线方程为y−y1y2−y1=x−x1x2−x1
D. 经过点1,1且在x轴和y轴上的截距都相等的直线方程为x+y−2=0或y=x
[解析]对于A，倾斜角为2π3 的直线有无数条，故A 错误；
对于B，形如2x+1=0 的直线不能化为斜截式，故B 错误；
对于C，当x1≠x2，y1≠y2时，过x1,y1，x2,y2两点的直线方程为y−y1y2−y1=x−x1x2−x1，故C 错误；
对于D，经过点1,1 且在x 轴和y 轴上的截距都相等的直线方程为x+y−2=0 或y=x，故D 正确.故选D.
6. 设点A2,−3，B−3,−2，若直线l（l不垂直于x轴）过点P1,1且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ A ）.
A. (−∞,−4]∪[34,+∞)B. (−∞ ,−14]∪[34,+∞)
C. [−4,34]D. [−34,4]
[解析]如图所示，依题意，kPA=−3−12−1=−4,kPB=−2−1−3−1=34，
若直线l 过点P1,1 且与线段AB 相交，则k≥34 或k≤−4.故选A.
7. [2024·金昌模拟]已知直线l1：x−2y−2=0的倾斜角为θ ，直线l2的倾斜角为2θ ，且直线l2在y轴上的截距为3，则直线l2的一般式方程为（ B ）.
A. x+y−3=0B. 4x−3y+9=0C. 3x−4y+3=0D. 2x+y−3=0
[解析]因为直线l1：x−2y−2=0 的倾斜角为θ ，斜率为12，所以tan θ=12.
因为直线l2 的倾斜角为2θ ，所以直线l2 的斜率为tan 2θ=2tan θ1−tan2θ=43.
又直线l2 在y 轴上的截距为3，所以直线l2 的方程为y=43x+3，即4x−3y+9=0.故选B.
8. [2024·南阳模拟]若直线a，b，c的斜率分别为2，1，−2，倾斜角分别为α ，β ，γ ，则（ B ）.
A. α>β>γB. γ>α>βC. γ>β>αD. α>γ>β
[解析]由于k=tan x,x∈[0,π),x≠π2，
由正切函数图象的性质可知，当x∈(0,π2)时，k=tan x为增函数，且k>0，
由2>1，可知π2>α>β>0.
当x∈(π2,π)时，k=tan x为增函数，且k<0，
因为−2<0，所以γ>π2，所以γ>α>β .故选B.
综合提升练
9. [2024·辽源联考]（多选题）下列四个说法正确的是（ CD ）.
A. 直线y=x+2在y轴上的截距为−2
B. 经过定点A0,2的直线都可以用方程y=kx+2表示
C. 直线2x+my+6=0m∈R过定点−3,0
D. 已知直线3x+4y+9=0与直线6x+my+24=0平行，则平行线间的距离是35
[解析]对于A，直线y=x+2 在y 轴上的截距为2，故A 错误；
对于B，经过定点A0,2 且垂直于x 轴的直线的方程为x=0，故B 错误；
对于C，对于直线方程2x+my+6=0m∈R，由2x+6=0, y=0 可得x=−3, y=0, 所以直线2x+my+6=0m∈R 过定点−3,0，故C 正确；
对于D，若直线3x+4y+9=0 与直线6x+my+24=0 平行，则63=m4≠249，解得m=8，故两直线方程分别为3x+4y+9=0，3x+4y+12=0，则两平行直线间的距离d=12−932+42=35，故D 正确.
故选CD.
10. （多选题）已知直线xsin α+ycs α+1=0α∈R，则下列说法正确的是（ BD ）.
A. 直线的倾斜角是π−α
B. 无论α 如何变化，直线不过原点
C. 直线的斜率一定存在
D. 当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
[解析]直线倾斜角的取值范围为[0,π)，而π−α∈R，故A 错误；
当x=y=0 时，xsin α+ycs α+1=1≠0，所以直线必不过原点，故B 正确；
当α=π2 时，直线斜率不存在，故C 错误；
当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为
S=121−sin α⋅1−cs α=1sin 2α≥1，故D 正确.故选BD.
11. [2024·北京统考]如图，矩形ABCD的边AB与x轴重合，C2,2，D−1,2.从原点O射出的光线OP经BC反射到CD上，再经CD反射到AD上的点Q处.若直线OP的斜率为12，则点Q的纵坐标为32 .
[解析]若直线OP 的斜率为12，矩形ABCD 的边AB 与x 轴重合，C2,2，D−1,2，则P2,1 为BC 的中点，
所以反射光线经过DC 与y 轴的交点坐标为0,2.
设Q−1,t，则2−t0−−1=12，解得t=32，
所以点Q 的纵坐标为32.
12. 已知直线l：kx−y+1+2k=0，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为−1 或−12 .
[解析]因为直线l 在两坐标轴上的截距相等，所以k≠0.
在kx−y+1+2k=0 中，令x=0，得y=1+2k，令y=0，得x=−2−1k.
依题意可得1+2k=−2−1k，即2k2+3k+1=0，
解得k=−12 或k=−1.
应用情境练
13. （双空题）莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线.后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线.已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A−1,0，B3,0，C0,2，则△ABC的垂心坐标为(0，32),△ABC的欧拉线方程为5x+4y−6=0 .
[解析]由A−1,0,B3,0,C0,2，可知AB 边上的高所在直线为x=0.
又kBC=2−00−3=−23，所以BC 边上的高所在直线的斜率为32，
所以BC 边上的高所在直线为y−0=32x+1，即3x−2y+3=0，
所以x=0,3x−2y+3=0⇒x=0,y=32, 所以△ABC 的垂心坐标为(0，32).
由重心坐标公式可得△ABC 的重心坐标为(−1+3+03，0+0+23)=(23，23)，
所以△ABC 的欧拉线方程为y−3223−32=x−023−0，化简得5x+4y−6=0.
14. [2024·深圳模拟]已知直线l：m+2x−2m+1⋅y−3=0m∈R，直线l分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点.
（1）证明：直线l过定点.
（2）已知点P−1,−2，当PA⋅PB的值最小时，求实数m的值.
[解析]（1）已知直线l：m+2x−2m+1y−3=0m∈R，
则x−2ym+2x−y−3=0，
由x−2y=0,2x−y−3=0, 解得x=2,y=1, 即直线l 过定点2,1.
（2）设直线l 的方程为xa+yb=1,a>0,b>0，则Aa,0,B0,b，
又直线l 过定点2,1，所以2a+1b=1.
又点P−1,−2，所以PA⋅PB=a+1,2⋅1,b+2=a+2b+5=2a+1b⋅a+2b+5=9+4ba+ab≥9+24ba⋅ab=13，
当且仅当4ba=ab，即a=4,b=2时取等号，
所以直线l 的方程为x+2y−4=0，
所以直线l 过点4,0，即4m+2−3=0，
解得m=−54.
创新拓展练
15. [2024·淄博联考]已知A0,4，B0,−4，C4,0，E0,2，F0,−2，一束光线从点F出发射到BC上的点D经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则直线FD斜率的取值范围是(−14,0).
[解析]由题意可知,直线BC 的方程为y=x−4，直线AC 的方程为y=−x+4，如图所示.
设F0,−2 关于直线BC 的对称点为Pa,b，则b+2a=−1,b−22=a2−4,
解得a=2,b=−4, 故P2,−4.
同理,可求得P2,−4 关于直线AC 的对称点为M8,2,
连接MA,ME,ME交AC 于点N，
而直线MN 的方程为y=2,联立y=2,y=−x+4, 得点N 的坐标为2,2，
连接PA,PN，分别交BC 于点H,G,
则直线PA 的方程为y=−4x+4，与直线BC 的方程y=x−4 联立，
解得点H 的坐标为(85，−125),
直线PN 的方程为x=2,和直线BC 的方程y=x−4 联立，解得点G 的坐标为2,−2.
连接FG,FH,则H,G之间即动点D 的运动范围，
而kFG=0,kFH=−125−−285−0=−14,
故直线FD 斜率的取值范围是(−14,0).
16. [2024·南通模拟]已知一条动直线3m+1x+m−1y−6m−2=0，直线l过动直线的定点P，且直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点.
（1）是否存在直线l满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
（2）当PA+32PB取得最小值时，求直线l的方程.
[解析]（1）已知3m+1x+m−1y−6m−2=0，即3x+y−6m+3x−y−2=0，
由3x+y−6=0,3x−y−2=0, 解得x=43,y=2, 故动直线过定点P(43,2).
设直线l 的方程为xa+yb=1a>0,b>0，
将P(43,2)代入直线l 的方程得43a+2b=1. ①
由Aa,0，B0,b，△AOB的周长为12，面积为6，
得a+b+a2+b2=12,12ab=6,
令a+b=t，则a2+b2=t2−24，
所以t+t2−24=12，即t−12=−t2−24，
化简得24t=168，解得t=7，
所以a+b=7,ab=12, 解得a=3,b=4 或a=4,b=3.
其中a=3,b=4 不满足①，a=4,b=3满足①.
所以存在直线l，且直线l 的方程为x4+y3=1，即3x+4y−12=0 满足条件.
（2）由（1）可知直线l 过定点P(43,2)，直线l 与x 轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，所以直线l 的倾斜角α∈(π2,π)，
所以PA=2sin α，PB=−43cs α，
所以PA+32PB=2sin α−32⋅43cs α=2sin α−2cs α=2⋅cs α−sin αsin αcs α，
令t=cs α−sin α=2csα+π4，
因为α∈(π2,π)，所以α+π4∈(3π4,5π4)，所以csα+π4∈[−1,−22)，
所以t=2csα+π4∈[−2,−1)，
则PA+32PB=2⋅t1−t22=41t−tt∈[−2,−1).
因为y=1t−t 在[−2,−1) 上为减函数，
所以y=41t−t 在[−2,−1) 上为增函数，
所以当t=−2，即α=3π4 时，PA+32PB取得最小值，最小值为41−2+2=42，
此时直线l 的方程为y−2=tan3π4⋅x−43，即3x+3y−10=0.