2025年高考数学一轮复习-9.6.2-直线和双曲线-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-9.6.2-直线和双曲线-专项训练【含解析】，共11页。试卷主要包含了 若等轴双曲线C， 已知双曲线M，设双曲线C等内容，欢迎下载使用。
1. 已知等轴双曲线C的焦距为12，则C的实轴长为（ ）.
A. 32B. 62C. 122D. 6
2. “mn0的焦距为4，则C的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）.
A. 1B. 2C. 2D. 12
7. 已知双曲线M：x24−y2b2=1的左、右焦点分别为F1，F2，记F1F2=2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P.若PF1=c+4，则双曲线的离心率为（ ）.
A. 3+1B. 3+12C. 3+22D. 3+32
8.(2024·九省适应性测试)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过坐标原点的直线与C的左、右支分别交于A,B两点,|F1B|=2|F1A|,F2A·F2B=4a2,则C的离心率为( ).
A.2B.2C.5D.7
综合提升练
9. （多选题）已知双曲线E：x2a2−y24=1a>0经过点P22,2，则（ ）.
A. E的实轴长为2B. E的焦距为42
C. E的离心率为2D. E的渐近线方程是y=±12x
10. （多选题）已知F1,F2是椭圆x2a12+y2b12=1a1>b1>0和双曲线x2a22−y2b22=1a2>b2>0的公共焦点，椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,P是他们的一个公共点，且∠F1PF2=π3，则以下结论正确的是（ ）.
A. a12−b12=a22−b22B. b12=3b22
C. 14e12+14e22=1D. e12+e22的最小值为1+32
11. [2024·湖北模拟]（双空题）已知Px0,y0是双曲线E：x24−y2=1上一点，F1，F2分别是双曲线E的左、右焦点，△PF1F2的周长为12+25，则cs∠F1PF2=________，△PF1F2的面积为__________,
12. 已知F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的两个焦点，双曲线C的离心率为5，点Px0,y0在C上，若PF1⋅PF20的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若P为双曲线C右支上的一点，F为C的左焦点，则PF与点P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为________
14. 已知双曲线x2a2−y2b2=1a>1,b>0的焦距为2c，直线l过点a,0和0,b，且点1,0到直线l的距离与点−1,0到直线l的距离之和s≥45c，则双曲线离心率e的取值范围为________
创新拓展练
15. （改编）已知椭圆和双曲线有相同的焦点（在x轴上）F1，F2，它们的离心率分别为e1，e2，若P为它们的一个交点，且∠F1PF2=π2，则当4e12+e22取得最小值时，双曲线的渐近线方程为________
16. 已知双曲线C：x2a2−y2=1a>0的左顶点为A，右焦点为F，动点B在双曲线C上.当BF⊥AF时，BF=5−22AF.
（1）求双曲线C的方程.
（2）设P为双曲线上一点，点M，N在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若P恰为线段MN的中点，试判断△MON(O为坐标原点)的面积是否为定值.若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由.
直线和双曲线-专项训练【解析版】
基础巩固练
1. 已知等轴双曲线C的焦距为12，则C的实轴长为（ B ）.
A. 32B. 62C. 122D. 6
[解析]因为2c=12，所以c=6.因为a=b，所以2a2=c2=36，所以a=32，故双曲线C 的实轴长为62.故选B.
2. “mn0 时，ab=2，则离心率e=1+b2a2=52.
综上所述，双曲线的离心率为52 或5.故选D.
5. 已知双曲线x2−y224=1的两个焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点.若PF1=43PF2，则△F1PF2的面积为（ B ）.
A. 23B. 24C. 25D. 26
[解析]由双曲线的定义可得PF1−PF2=13PF2=2a=2，
解得PF2=6，故PF1=8.
因为F1F2=2c=10，则F1F22=PF12+PF22,所以△F1PF2 为直角三角形，
因此S△F1PF2=12PF1PF2=24.故选B.
6. 若等轴双曲线C：x2−y2=a2a>0的焦距为4，则C的一个焦点到一条渐近线的距离为（ B ）.
A. 1B. 2C. 2D. 12
[解析]由题意可知，双曲线C 的方程为x2a2−y2a2=1a>0，
∴ 渐近线的方程为y=±x.
又2c=4，则c=2，∴a=b=2，则C 的一个焦点到一条渐近线的距离d=2.故选B.
7. 已知双曲线M：x24−y2b2=1的左、右焦点分别为F1，F2，记F1F2=2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P.若PF1=c+4，则双曲线的离心率为（ A ）.
A. 3+1B. 3+12C. 3+22D. 3+32
[解析]如图，由题意可得，PF1⊥PF2，a=2.
因为点P 在第一象限，PF1=c+4，
且PF1−PF2=2a=4，所以PF2=c.
在Rt△F1PF2 中，由勾股定理可得PF12+PF22=F1F22，即c+42+c2=4c2，整理可得c2−4c−8=0，解得c=2+23 或c=2−23（舍去）,所以e=ca=3+1.故选A.
8.(2024·九省适应性测试)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过坐标原点的直线与C的左、右支分别交于A,B两点,|F1B|=2|F1A|,F2A·F2B=4a2,则C的离心率为( D ).
A.2B.2C.5D.7
[解析]
如图,设双曲线的半焦距长为c,离心率为e,由双曲线的对称性可知|F1A|=|F2B|,|F1B|=|F2A|,则四边形AF1BF2为平行四边形,
令|F1A|=|F2B|=m,则|F1B|=|F2A|=2m,
由双曲线的定义可知|F2A|-|F1A|=2a,故2m-m=2a,即m=2a,
即|F1A|=|F2B|=m=2a,|F1B|=|F2A|=4a,
F2A·F2B=|F2A|·|F2B|cs∠AF2B=4a·2acs∠AF2B=4a2,
则cs∠AF2B=12,即∠AF2B=π3,故∠F2BF1=2π3,
则cs∠F2BF1=|F1B|2+|F2B|2-|F1F2|22|F1B|·|F2B|=(4a)2+(2a)2-(2c)22·4a·2a=-12,
即20a2-4c216a2=-12,即2016-4e216=-12,则e2=7,由e>1,得e=7.
故选D.
综合提升练
9. （多选题）已知双曲线E：x2a2−y24=1a>0经过点P22,2，则（ BC ）.
A. E的实轴长为2B. E的焦距为42
C. E的离心率为2D. E的渐近线方程是y=±12x
[解析]由题意得222a2−224=1，解得a=2，即双曲线E 的方程为x24−y24=1,所以双曲线E 的实轴长为4，焦距为42，离心率为222=2，渐近线的方程是y=±x.故B，C正确，A，D错误.故选BC.
10. （多选题）已知F1,F2是椭圆x2a12+y2b12=1a1>b1>0和双曲线x2a22−y2b22=1a2>b2>0的公共焦点，椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,P是他们的一个公共点，且∠F1PF2=π3，则以下结论正确的是（ BD ）.
A. a12−b12=a22−b22B. b12=3b22
C. 14e12+14e22=1D. e12+e22的最小值为1+32
[解析]由题意可得a12−b12=a22+b22=c2，故A 错误；
不妨设P 是第一象限的点，PF1=m，PF2=n，
由椭圆和双曲线的定义可得m+n=2a1，m−n=2a2，
解得m=a1+a2，n=a1−a2，
因为∠F1PF2=π3，
在△F1PF2 中，由余弦定理可得cs∠F1PF2=PF12+PF22−F1F222PF1⋅PF2=m2+n2−4c22mn=12，
化简为a12+3a22=4c2，所以b12−3b22=a12−c2−3c2−3a22=0，故B 正确；
由a12+3a22=4c2，可得a12c2+3a22c2=4，则1e12+3e22=4，即14e12+34e22=1，故C 错误；
由e12+e22=141e12+3e22e12+e22=141+3+e22e12+3e12e22≥144+23=1+32，当且仅当e22e12=3e12e22,即e22=3e12 时，等号成立，即e12+e22 的最小值为1+32，故D 正确.故选BD.
11. [2024·湖北模拟]（双空题）已知Px0,y0是双曲线E：x24−y2=1上一点，F1，F2分别是双曲线E的左、右焦点，△PF1F2的周长为12+25，则cs∠F1PF2=1516 ，△PF1F2的面积为31 .
[解析]在双曲线E 中，a=2，b=1，则c=a2+b2=5，
根据对称性，不妨设点P 在双曲线E 的右支上，如图，则PF1−PF2=2a=4.
因为F1F2=2c=25，△PF1F2的周长为12+25，所以PF1+PF2=12，
所以PF1=8，PF2=4.
在△PF1F2 中，cs∠F1PF2=PF12+PF22−F1F222PF1PF2=1516，
则sin∠F1PF2=1−cs2∠F1PF2=1−15162=3116，
所以S△PF1F2=12PF1PF2sin∠F1PF2=12×8×4×3116=31.
12. 已知F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的两个焦点，双曲线C的离心率为5，点Px0,y0在C上，若PF1⋅PF21,b>0的焦距为2c，直线l过点a,0和0,b，且点1,0到直线l的距离与点−1,0到直线l的距离之和s≥45c，则双曲线离心率e的取值范围为[52,5].
[解析]设直线l 的方程为xa+yb=1，即bx+ay−ab=0.
由点到直线的距离公式，且a>1，得点1,0 到直线l 的距离d1=ba−1a2+b2，点−1,0 到直线l 的距离d2=ba+1a2+b2，
所以s=d1+d2=2aba2+b2=2abc.
由s≥45c，得2abc≥45c，即5ac2−a2≥2c2，
因为e=ca，所以5e2−1≥2e2，所以25e2−1≥4e4，
即4e4−25e2+25≤0，所以54≤e2≤5e>1，所以52≤e≤5，
即e 的取值范围为[52,5].
创新拓展练
15. （改编）已知椭圆和双曲线有相同的焦点（在x轴上）F1，F2，它们的离心率分别为e1，e2，若P为它们的一个交点，且∠F1PF2=π2，则当4e12+e22取得最小值时，双曲线的渐近线方程为y=±22x .
[解析]设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，虚半轴长为b2,椭圆与双曲线的焦距为2c，则由∠F1PF2=π2,可得PF12+PF22=4c2，
∴PF1+PF22−2PF1PF2=4c2，PF1−PF22+2PF1PF2=4c2，
∴2a12−2PF1PF2=4c2， ①
2a22+2PF1PF2=4c2. ②
将①②两式相加得4a12+4a22=8c2，即1e12+1e22=2，
∴4e12+e22=121e12+1e224e12+e22=125+e22e12+4e12e22≥125+2e22e12⋅4e12e22=92，当且仅当e22e12=4e12e22，即e1=32,e2=62时取等号.由e2=62=1+b22a22，可得b2a2=22，
∴ 双曲线的渐近线方程为y=±22x.
16. 已知双曲线C：x2a2−y2=1a>0的左顶点为A，右焦点为F，动点B在双曲线C上.当BF⊥AF时，BF=5−22AF.
（1）求双曲线C的方程.
（2）设P为双曲线上一点，点M，N在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若P恰为线段MN的中点，试判断△MON(O为坐标原点)的面积是否为定值.若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由.
[解析]（1）由题意，得Fc,0，当BF⊥AF 时,B(c,±b2a)，
则由BF=5−22AF，可得b2a=5−22a+c，
∴2c2−5−2ac−5a2=0，即2e2−5−2e−5=0，
又e=ca>1，∴e=52（负值舍去），∴c2=54a2=a2+b2，
解得a2=4b2=4，
∴ 双曲线C 的方程为x24−y2=1.
（2）由（1）可知双曲线C 的渐近线方程为y=±12x.
设M2m,m，N2n,−n，其中m>0，n>0.
∵P 为线段MN 的中点，∴P(m+n,m−n2)，
将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得m+n24−m−n24=1，解得mn=1.
设∠MON=2θ ，则tan θ=12.
又tan θ=sin θcs θ=12，sin2θ+cs2θ=1，0