2025年高考数学一轮复习-10.3-变量的相关性与一元线性回归模型-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-10.3-变量的相关性与一元线性回归模型-专项训练【含解析】，共20页。

【基础落实练】
1.(5分)(2024·烟台模拟)两个变量x与y之间的经验回归方程( )
A.表示x与y之间的函数关系
B.表示x与y之间的不确定关系
C.反映x与y之间的真实关系
D.是反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合
2.(5分)下图是某地区2001年至2021年环境保护建设投资额(单位:万元)的折线图.根据该折线图判断,下列结论正确的是( )
A.为预测该地2026年的环境保护建设投资额,应用2001年至2021年的数据建立回归模型更可靠
B.为预测该地2026年的环境保护建设投资额,应用2010年至2021年的数据建立回归模型更可靠
C.投资额与年份负相关
D.投资额与年份的相关系数r<0
3.(5分)某单位为了了解办公楼用电量y(kW·h)与气温x(℃)之间的关系,随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温,并制作了对照表:
由表中数据得到经验回归方程=-2x+,当气温为-4℃时,预测用电量为( )
A.68 kW·hB.52 kW·h
C.12 kW·hD.28 kW·h
4.(5分)(2024·福州模拟)为研究变量x,y的相关关系,收集得到下面五个样本点(x,y):
若由最小二乘法求得y关于x的经验回归方程为=-1.8x+,则据此计算残差为0的样本点是( )
A.(5,9)B.(6.5,8)C.(7,6)D.(8,4)
5.(5分)(多选题)(2023·济南模拟)某同学将收集到的六对数据制作成散点图,得到其经验回归方程为l1:=0.68x+,计算其相关系数为r1,决定系数为R12.经过分析确定点F为“离群点”,把它去掉后,再利用剩下的五对数据计算得到经验回归方程为l2:=x+0.68,相关系数为r2,决定系数为R22.下列结论正确的是( )
A.r2>r1>0B.R12>R22
C.0<<0.68D.>0.68
6.(5分)(多选题)(2023·福州模拟)为研究混凝土的抗震强度y与抗压强度x的关系,某研究部门得到下表的样本数据:
若y与x线性相关,且经验回归方程为=0.1x+9.1,则下列说法正确的是( )
A.a=24
B.y与x正相关
C.y与x的相关系数为负数
D.若x=220,则y=31.1
7.(5分)(多选题)某芯片研发单位用在“A芯片”上的研发费用占本单位总研发费用的百分比y如表所示.已知y=40%,于是分别用p=30%和p=40%得到了两条经验回归方程:=x+,=x+,对应的相关系数分别为r1,r2,百分比y对应的方差分别为s12,s22,则下列结论正确的是( )
(附:=∑i=1nxiyi-nx y∑i=1nxi2-nx2,=y-x)
A.r1>r2B.s12>s22C.>D.>
8.(5分)两个线性相关变量x与y的统计数据如表:
其经验回归方程是=x+40,则相应点(9,11)的残差为________.
9.(10分)(2020·全国Ⅱ卷节选)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得∑i=120xi=60,∑i=120yi=1 200,∑i=120(xi-x)2=80, ∑i=120(yi-y)2 =9 000,∑i=120(xi-x)(yi-y)=800.
(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);
(2)求样本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01).
附:相关系数r=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2∑i=1n(yi-y)2,2≈1.414.
【能力提升练】
10.(5分)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A,B两个变量的线性相关性做了试验,并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m,如表:
则哪位同学的试验结果体现的A,B两变量有更强的线性相关性( )
A.甲B.乙C.丙D.丁
11.(5分)(多选题)(2023·唐山模拟)某制衣品牌为使成衣尺寸更精准,选择了10名志愿者,对其身高(单位:cm)和臂展(单位:cm)进行了测量,这10名志愿者身高和臂展的折线图如图所示.已知这10名志愿者身高的均值为176 cm,根据这10名志愿者的数据求得臂展u关于身高v的经验回归方程为=1.2v-34,则下列结论正确的是( )
A.这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B.这10名志愿者的身高和臂展呈负相关
C.这10名志愿者臂展的均值为176.2 cm
D.根据经验回归方程可估计身高为160 cm的人的臂展为158 cm
12.(5分)(多选题)针对某疾病,各地医疗机构采取了各种有针对性的治疗方法,取得了不错的成效,某地开始使用中西医结合方法后,每周治愈的患者人数如表所示,由表格可得y关于x的经验回归方程为=6x2+,则下列说法正确的是( )
A.=4
B.=-8
C.此回归模型第4周的残差为5
D.估计第6周治愈人数为220
13.(5分)(2024·太原模拟)某产品的广告费投入与销售额的统计数据如表所示:
根据上表建立经验回归方程,预测当广告费投入6万元时,销售额为__________万元.
14.(10分)(2024·漳州模拟)2022年11月17日,由工业和信息化部、安徽省人民政府共同主办的第十七届“中国芯”集成电路产业促进大会在合肥成功举办.此次大会以“强芯固基以质为本”为主题,旨在培育壮大我国集成电路产业,夯实产业基础、营造良好产业生态.某芯片研发单位用在“A芯片”上的研发费用占本单位总研发费用的百分比y(%)如表所示.
(1)根据表中的数据,作出相应的折线图;并结合相关数据,计算相关系数r,并推断y与t线性相关程度;(已知:0.8≤r≤1,则认为y与t线性相关很强;0.3≤r<0.8,则认为y与t线性相关一般;r<0.3,则认为y与t线性相关较弱)
(2)求出y与t的经验回归方程(保留一位小数);
(3)请判断,若2024年用在“A芯片”上的研发费用不低于295万元,则该单位2024年芯片研发的总费用预算为500万元是否符合研发要求?
附:相关数据:∑i=17yi=259,7≈2.65,∑i=17yi-y2≈25.34,∑i=17ti-tyi-y=132.
相关计算公式:相关系数r=∑i=1nti-tyi-y∑i=1nti-t2∑i=1nyi-y2;
在经验回归方程=x+中,=∑i=1nti-tyi-y∑i=1nti-t2,=y-t.
15.(10分)(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据:
并计算得∑i=110xi2=0.038,∑i=110yi2=1.615 8,∑i=110xiyi=0.247 4.
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
附:相关系数r=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2∑i=1n(yi-y)2,1.896≈1.377.
10.3-变量的相关性与一元线性回归模型-专项训练【解析版】
(时间:45分钟 分值:90分)
【基础落实练】
1.(5分)(2024·烟台模拟)两个变量x与y之间的经验回归方程( )
A.表示x与y之间的函数关系
B.表示x与y之间的不确定关系
C.反映x与y之间的真实关系
D.是反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合
【解析】选D.根据经验回归方程的定义,可得两个变量x与y之间的经验回归方程是反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合.
2.(5分)下图是某地区2001年至2021年环境保护建设投资额(单位:万元)的折线图.根据该折线图判断,下列结论正确的是( )
A.为预测该地2026年的环境保护建设投资额,应用2001年至2021年的数据建立回归模型更可靠
B.为预测该地2026年的环境保护建设投资额,应用2010年至2021年的数据建立回归模型更可靠
C.投资额与年份负相关
D.投资额与年份的相关系数r<0
【解析】选B.因为2009年之前与2010年之后投资额变化较大,故为预测该地2026年的环境保护建设投资额,应用2010年至2021年的数据建立回归模型更可靠,所以A错误,B正确;随年份的增长,投资额总体上在增长,所以投资额与年份正相关,r>0,故C,D错误.
3.(5分)某单位为了了解办公楼用电量y(kW·h)与气温x(℃)之间的关系,随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温,并制作了对照表:
由表中数据得到经验回归方程=-2x+,当气温为-4℃时,预测用电量为( )
A.68 kW·hB.52 kW·h
C.12 kW·hD.28 kW·h
【解析】选A.由题干表格可知x=10,y=40,
根据经验回归直线必过(x,y)得=40+20=60,所以经验回归方程为=-2x+60,
因此当x=-4时,=68.
4.(5分)(2024·福州模拟)为研究变量x,y的相关关系,收集得到下面五个样本点(x,y):
若由最小二乘法求得y关于x的经验回归方程为=-1.8x+,则据此计算残差为0的样本点是( )
A.(5,9)B.(6.5,8)C.(7,6)D.(8,4)
【解析】选C.由题意可知,x=5+6.5+7+8+8.55=7,y=9+8+6+4+35=6,所以经验回归方程的样本中心点为(7,6),所以6=-1.8×7+,解得=18.6,所以=-1.8x+18.6,在收集的5个样本点中,(7,6)一点在=-1.8x+18.6上,故计算残差为0的样本点是(7,6).
5.(5分)(多选题)(2023·济南模拟)某同学将收集到的六对数据制作成散点图,得到其经验回归方程为l1:=0.68x+,计算其相关系数为r1,决定系数为R12.经过分析确定点F为“离群点”,把它去掉后,再利用剩下的五对数据计算得到经验回归方程为l2:=x+0.68,相关系数为r2,决定系数为R22.下列结论正确的是( )
A.r2>r1>0B.R12>R22
C.0<<0.68D.>0.68
【解析】选AC.由题图可知两变量呈正相关,故r1>0,r2>0,去掉“离群点”后,相关性更强,所以r16.(5分)(多选题)(2023·福州模拟)为研究混凝土的抗震强度y与抗压强度x的关系,某研究部门得到下表的样本数据:
若y与x线性相关,且经验回归方程为=0.1x+9.1,则下列说法正确的是( )
A.a=24
B.y与x正相关
C.y与x的相关系数为负数
D.若x=220,则y=31.1
【解析】选AB.依题意,x=140+150+170+180+1955=167,y=23+a+26+28+285=a+1055,
由a+1055=0.1×167+9.1,解得a=24,故A正确;
因为经验回归方程=0.1x+9.1中x的系数为正,所以y与x正相关,且相关系数为正数,故B正确,C错误;
当x=220时,y的值约为31.1,故D错误.
7.(5分)(多选题)某芯片研发单位用在“A芯片”上的研发费用占本单位总研发费用的百分比y如表所示.已知y=40%,于是分别用p=30%和p=40%得到了两条经验回归方程:=x+,=x+,对应的相关系数分别为r1,r2,百分比y对应的方差分别为s12,s22,则下列结论正确的是( )
(附:=∑i=1nxiyi-nx y∑i=1nxi2-nx2,=y-x)
A.r1>r2B.s12>s22C.>D.>
【解析】选ABC.p=30%时,q=60%,变量x,y呈线性正相关,故r1>r2,故A正确;
方差反映数据的稳定性,显然p=40%时更稳定,故此时方差更小,即s12>s22,故B正确;由于=∑i=1nxiyi-nx y∑i=1nxi2-nx2,当p=30%时,
∑i=15xiyi=1×20%+2×30%+3×40%+4×50%+5×60%=700%,
当p=40%时,∑i=15xiyi=1×20%+2×40%+3×40%+4×50%+5×50%=670%,
所以>,故C正确;
因为=y-x,>,所以<,故D错误.
8.(5分)两个线性相关变量x与y的统计数据如表:
其经验回归方程是=x+40,则相应点(9,11)的残差为________.
【解析】因为x=15×(9+9.5+10+10.5+11)=10,y=15×(11+10+8+6+5)=8,
所以8=10+40,解得=-3.2,
所以=-3.2x+40,当x=9时,=11.2,
所以残差为11-11.2=-0.2.
答案:-0.2
9.(10分)(2020·全国Ⅱ卷节选)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得∑i=120xi=60,∑i=120yi=1 200,∑i=120(xi-x)2=80, ∑i=120(yi-y)2 =9 000,∑i=120(xi-x)(yi-y)=800.
(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);
(2)求样本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01).
附:相关系数r=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2∑i=1n(yi-y)2,2≈1.414.
【解析】(1)样区这种野生动物数量的平均数为120∑i=120yi=120×1 200=60,地块数为200,该地区这种野生动物数量的估计值为200×60=12 000.
(2)样本(xi,yi)的相关系数r=∑i=120(xi-x)(yi-y)∑i=120(xi-x)2∑i=120(yi-y)2=80080×9 000=223≈0.94.
【能力提升练】
10.(5分)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A,B两个变量的线性相关性做了试验,并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m,如表:
则哪位同学的试验结果体现的A,B两变量有更强的线性相关性( )
A.甲B.乙C.丙D.丁
【解析】选D.|r|越接近1,m越小,线性相关性越强.
11.(5分)(多选题)(2023·唐山模拟)某制衣品牌为使成衣尺寸更精准,选择了10名志愿者,对其身高(单位:cm)和臂展(单位:cm)进行了测量,这10名志愿者身高和臂展的折线图如图所示.已知这10名志愿者身高的均值为176 cm,根据这10名志愿者的数据求得臂展u关于身高v的经验回归方程为=1.2v-34,则下列结论正确的是( )
A.这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B.这10名志愿者的身高和臂展呈负相关
C.这10名志愿者臂展的均值为176.2 cm
D.根据经验回归方程可估计身高为160 cm的人的臂展为158 cm
【解析】选AD.对于选项A,因为这10名志愿者臂展的最大值大于身高的最大值,而臂展的最小值小于身高的最小值,所以这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差,故A正确;
对于选项B,因为1.2>0,所以这10名志愿者的身高和臂展呈正相关关系,故B错误;
对于选项C,因为这10名志愿者身高的均值为176 cm,所以这10名志愿者臂展的均值为1.2×176-34=177.2(cm),故C错误;
对于选项D,若一个人的身高为160 cm,则由经验回归方程=1.2-34,可得这个人的臂展的估计值为158 cm,故D正确.
12.(5分)(多选题)针对某疾病,各地医疗机构采取了各种有针对性的治疗方法,取得了不错的成效,某地开始使用中西医结合方法后,每周治愈的患者人数如表所示,由表格可得y关于x的经验回归方程为=6x2+,则下列说法正确的是( )
A.=4
B.=-8
C.此回归模型第4周的残差为5
D.估计第6周治愈人数为220
【解析】选BC.设t=x2,则=6t+,
由已知得t=15×(1+4+9+16+25)=11,y=15×(2+17+36+93+142)=58,
所以=58-6×11=-8,故A错误,B正确;
在=6x2-8中,令x=4,得4=6×42-8=88,
所以此回归模型第4周的残差为y4-4=93-88=5,故C正确;
在=6x2-8中,令x=6,得6=6×62-8=208,故D错误.
13.(5分)(2024·太原模拟)某产品的广告费投入与销售额的统计数据如表所示:
根据上表建立经验回归方程,预测当广告费投入6万元时,销售额为__________万元.
【解析】因为x=4+2+3+54=3.5,y=49+26+39+544=42,∑i=14xi-xyi-y=(4-3.5)×(49-42)
+(2-3.5)×(26-42)+(3-3.5)×(39-42)+(5-3.5)×(54-42)=47,
∑i=14xi-x2=(4-3.5)2+(2-3.5)2+(3-3.5)2+(5-3.5)2=5,
所以=∑i=14xi-xyi-y∑i=14xi-x2=475=9.4,
因为数据的样本中心点在经验回归直线上,
所以=42-9.4×3.5=9.1,
所以经验回归方程为=9.4x+9.1,当x=6时,=9.4×6+9.1=65.5,所以广告费投入6万元时,销售额为65.5万元.
答案:65.5
14.(10分)(2024·漳州模拟)2022年11月17日,由工业和信息化部、安徽省人民政府共同主办的第十七届“中国芯”集成电路产业促进大会在合肥成功举办.此次大会以“强芯固基以质为本”为主题,旨在培育壮大我国集成电路产业,夯实产业基础、营造良好产业生态.某芯片研发单位用在“A芯片”上的研发费用占本单位总研发费用的百分比y(%)如表所示.
(1)根据表中的数据,作出相应的折线图;并结合相关数据,计算相关系数r,并推断y与t线性相关程度;(已知:0.8≤r≤1,则认为y与t线性相关很强;0.3≤r<0.8,则认为y与t线性相关一般;r<0.3,则认为y与t线性相关较弱)
(2)求出y与t的经验回归方程(保留一位小数);
(3)请判断,若2024年用在“A芯片”上的研发费用不低于295万元,则该单位2024年芯片研发的总费用预算为500万元是否符合研发要求?
附:相关数据:∑i=17yi=259,7≈2.65,∑i=17yi-y2≈25.34,∑i=17ti-tyi-y=132.
相关计算公式:相关系数r=∑i=1nti-tyi-y∑i=1nti-t2∑i=1nyi-y2;
在经验回归方程=x+中,=∑i=1nti-tyi-y∑i=1nti-t2,=y-t.
【解析】(1)折线图如图:
由题意得:t=17×1+2+3+4+5+6+7=4,
所以∑i=17ti-t2=9+4+1+0+1+4+9=28,所以∑i=17ti-t2=27,
所以r=∑i=17ti-tyi-y∑i=17ti-t2∑i=17yi-y2≈13227×25.34≈0.98,
因为0.98>0.8,所以y与t线性相关很强.
(2)由题意得:=∑i=17ti-tyi-y∑i=17ti-t2=13228≈4.7,所以=y-t≈2597-4.7×4=18.2,
所以y关于t的经验回归方程为=4.7t+18.2.
(3)2024年对应的年份代码t=9,则当t=9时,=4.7×9+18.2=60.5,
所以预测2024年用在“A芯片”上的研发费用为500×60.5%=302.5(万元),
因为302.5>295,所以符合研发要求.
15.(10分)(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据:
并计算得∑i=110xi2=0.038,∑i=110yi2=1.615 8,∑i=110xiyi=0.247 4.
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
附:相关系数r=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2∑i=1n(yi-y)2,1.896≈1.377.
【解析】(1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的均值x=0.610=0.06,样本中10棵这种树木的材积量的均值y=3.910=0.39,据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06 m2,平均一棵的材积量为0.39 m3;
(2)r=∑i=110(xi-x)(yi-y)∑i=110(xi-x)2∑i=110(yi-y)2=∑i=110xiyi-10x y(∑i=110xi2-10x2)(∑i=110yi2-10y2)
=0.247 4-10×0.06×0.39(0.038-10×0.062)(1.615 8-10×0.392)=0.013 40.000 189 6≈0.013 40.013 77≈0.97,
则r≈0.97;
(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3,
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比,
可得,解得Y=1 209,
则该林区这种树木的总材积量估计为1 209 m3.
气温(℃)
18
13
10
-1
用电量(kW·h)
24
34
38
64
x
5
6.5
7
8
8.5
y
9
8
6
4
3
x
140
150
170
180
195
y
23
a
26
28
28
年份
2018
2019
2020
2021
2022
年份代码x
1
2
3
4
5
y
20%
p
40%
50%
q
x
9
9.5
10
10.5
11
y
11
10
8
6
5
项目
甲
乙
丙
丁
r
0.82
0.78
0.69
0.85
m
106
115
124
103
周数(x)
1
2
3
4
5
治愈人数(y)
2
17
36
93
142
广告费x/万元
4
2
3
5
销售额y/万元
49
26
39
54
年份
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
年份代码t
1
2
3
4
5
6
7
y(%)
20%
30%
32%
39%
42%
46%
50%
样本号i
1
2
3
4
5
根部横截面积xi
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
材积量yi
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
样本号i
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积xi
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量yi
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
气温(℃)
18
13
10
-1
用电量(kW·h)
24
34
38
64
x
5
6.5
7
8
8.5
y
9
8
6
4
3
x
140
150
170
180
195
y
23
a
26
28
28
年份
2018
2019
2020
2021
2022
年份代码x
1
2
3
4
5
y
20%
p
40%
50%
q
x
9
9.5
10
10.5
11
y
11
10
8
6
5
项目
甲
乙
丙
丁
r
0.82
0.78
0.69
0.85
m
106
115
124
103
周数(x)
1
2
3
4
5
治愈人数(y)
2
17
36
93
142
广告费x/万元
4
2
3
5
销售额y/万元
49
26
39
54
年份
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
年份代码t
1
2
3
4
5
6
7
y(%)
20%
30%
32%
39%
42%
46%
50%
样本号i
1
2
3
4
5
根部横截面积xi
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
材积量yi
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
样本号i
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积xi
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量yi
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9