2025年高考数学一轮复习-第4课时-幂函数与指、对数式的运算-专项训练【含解析】

展开

这是一份2025年高考数学一轮复习-第4课时-幂函数与指、对数式的运算-专项训练【含解析】，共33页。

【典例分析】
设，则的大小关系是（）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.已知，则a，b，c的大小关系为（）
A．a>b>cB．b>a>cC．c>a>bD．a>c>b
2.若，则a，b，c，d的大小关系为（）
A．a3.的大小关系是（）
A. B. C. D.
【题型二】临界值比较：选取适当的常数临界值（难点）
【典例分析】
已知，则a，b，c的大小关系为（）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.已知，，，则大小关系为（）
A．B．C．D．
2.已知，则a，b，c的大小关系为（）
A．B．C．D．
3.若，则的大小关系是（）
A．B．
C．D．
【题型三】差比法与商比法
【典例分析】
已知实数满足，则的关系是（）
A．B．
C．D．
【变式演练】
1.已知，，，则（）
A．B．C．D．
2.已知，则（）
A．B．C．D．
3.已知，则2，，的大小关系是（）
A．B．
C．D．
【题型四】利用对数运算分离常数比大小
【典例分析】
已知m＝lg4ππ，n＝lg4ee，p＝e，则m，n，p的大小关系是（其中e为自然对数的底数）（）
A．p＜n＜mB．m＜n＜pC．n＜m＜pD．n＜p＜m
【变式演练】
1.､､的大小关系为（）
A．
B．
C．
D．
2.已知，若，则，，的大小关系为（）
A．B．
C．D．
3.已知，，，则（）
A．B．C．D．
【题型五】构造函数：lnx/x型函数
【典例分析】
设，，，则，，的大小关系为（）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.已知a=3ln2π，b=2ln3π，c=3lnπ2，则下列选项正确的是（）
A．a>b>cB．c>a>bC．c>b>aD．b>c>a
2.以下四个数中，最大的是（）
A．B．C．D．
3.下列命题为真命题的个数是( )
①ln3<3ln2； ②lnπ<πe； ③215<15； ④3eln2<42
A．1B．2C．3D．4
【题型六】构造函数综合
【典例分析】
已知实数a、b，满足，，则关于a、b下列判断正确的是（）
A．a＜b＜2B．b＜a＜2C．2＜a＜bD．2＜b＜a
【变式演练】
1.若（），则（）
A．B．
C．D．
2.已知，则与的大小关系是（）
A．B．
C．D．不确定
3.已知，，，则大小关系为（）
A．B．C．D．
【题型七】放缩（难点）
【典例分析】
若，，，则、、的大小关系是（）
A．B．
C．D．
【变式演练】
1.设，则的大小关系是（）
A．B．
C．D．
2.设a=lg43，b=lg52，c=lg85，则（）
A．a3.已知，，，，则下列大小关系正确的为（）
A．B．C．D．
【题型八】函数奇偶性和单调性等综合
【典例分析】
已知为R上的奇函数，，若在区间上单调递减.若，，，则a，b，c的大小关系为（）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.已知函数，若，则的大小关系是（）
A．B．
C．D．
2.已知函数满足，且当时，成立，若，，，则，，的大小关系是（）
A．B．C．D．
3.已知，，当时，为增函数．设，，，则、、的大小关系是（）
A．B．
C．D．
【题型九】三角函数值比较大小
【典例分析】
三个数，，的大小关系是（）
A．B．
C．D．
【变式演练】
1.已知，则的大小关系为（）
A．B．C．D．
2.设，若，则与的大小关系为（）
A．B．C．D．以上均不对
3.，，的大小关系是（）
A．B．
C．D．
【题型十】数值逼近
【典例分析】
已知，则a，b，c的大小关系为（）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.设，，，则a，b，c的大小关系为（）
A．B．C．D．
2. 设，，．则（）
A. B. C. D.
【课后练习】
1.若，，，则
A．B．
C．D．
2.设，，，则，，的大小关系是（）
A．B．
C．D．
3.已知，，，则、、的大小关系是（）
A．B．C．D．
4.已知，则的大小关系为（）
A．B．C．D．
5.已知，，，则、、的大小关系是（）
A．B．C．D．
6.若，则（）
A．B．C．D．
7.已知，，，则，，的大小关系是（）
A．B．C．D．
8.若正实数a，b，c满足，，，则正实数之间的大小关系为（）
A．B．C．D．
9.已知，，，，则的大小关系为（）
A．B．
C．D．
10.已知，，，其中是自然对数的底数，则，，的大小关系是（）
A．B．C．D．
11.已知,,,，则,,,的大小关系为（）
A．B．
C．D．
12.已知当，，时，，则以下判断正确的是
A．B．
C．D．与的大小关系不确定
已知定义在上的函数的导函数是连续不断的，若方程无解，且，，设，则的大小关系是________
第4课时-幂函数与指、对数式的运算-专项训练（解析版）
【题型一】临界值比较：0、1临界
【典例分析】
设，则的大小关系是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据对数函数的单调性和对数的运算可得到，；根据指数函数的单调性得到，从而可得出答案.
【详解】
因为，所以；
因为，所以；
又，所以.故选：B.
【变式演练】
1.已知，则a，b，c的大小关系为（）
A．a>b>cB．b>a>cC．c>a>bD．a>c>b
【答案】A
【分析】
利用指数函数及对数函数的性质即得.
【详解】∵，，，
∴.故选：A.
2.若，则a，b，c，d的大小关系为（）
A．a【答案】C
【分析】
根据指数函数、对数函数的性质计算可得；
解：，，即，；
因为，所以，即，即，又，所以，即，即，故选：C
3.的大小关系是（）
A. B. C. D.
【答案】A
试题分析：，而，对于
所以，故选A
【题型二】临界值比较：选取适当的常数临界值（难点）
【典例分析】
已知，则a，b，c的大小关系为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
首先求出、，即可判断，再利用作差法判断，即可得到，再判断，即可得解；
【详解】
解：由，所以，可知，又由，有，又由，有，可得，即，故有.故选：B
【变式演练】
1.已知，，，则大小关系为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据幂函数在上是增函数，对数函数在上是增函数可得答案.
【详解】
，，，
因为，所以，即，
因为，，
，所以，所以，即，
所以.故选：A.
2.已知，则a，b，c的大小关系为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用等中间值区分各个数值的大小．
【详解】
∵ ， ∴ ，∵ ，，
∴ ，，故，所以．故选：A．
3.若，则的大小关系是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据指数函数和幂函数的单调性分别比较和的大小，即可比较，再根据，即可得出答案.
【详解】
解：因为函数是减函数，所以，又函数在上是增函数，
所以，所以，即，，所以.故选：B.
【题型三】差比法与商比法
【典例分析】
已知实数满足，则的关系是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
利用幂函数的性质知，利用对数的运算性质及作差法可得，再构造，根据指数的性质判断其符号，即可知的大小.
【详解】
；
，；
，；
，
∴，综上，.故选：C
【变式演练】
1.已知，，，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
应用作商法，由对数的运算性质、基本不等式可得可知b、c的大小，再结合指对数的性质可知a、c的大小.
【详解】
，即，
∵，∴综上，.故选：B
2.已知，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，又，，
所以，即
3.已知，则2，，的大小关系是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
先将指数式化为对数式，再根据对数函数单调性以及运算法则比较大小，确定选项.
【详解】
，，∴；
又∴ ，∴.故选：D.
【题型四】利用对数运算分离常数比大小
【典例分析】
已知m＝lg4ππ，n＝lg4ee，p＝e，则m，n，p的大小关系是（其中e为自然对数的底数）（）
A．p＜n＜mB．m＜n＜pC．n＜m＜pD．n＜p＜m
【答案】C
【分析】
根据已知条件，应用对数函数的单调性、对数的换底公式，可比较m，n，的大小关系，再由指数的性质有p＝e，即知m，n，p的大小关系.
【详解】
由题意得，m＝lg4ππ，，
∵lg4＞lgπ＞lge＞0，则lg4+lg4＞lg4+lgπ＞lg4+lge，∴，
∴，而p＝e，∴n＜m＜p．故选：C．
【变式演练】
1.､､的大小关系为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
应用对数的运算性质可得、、，进而比较大小关系.
【详解】
，，
，∵，
∴，故选：C.
2.已知，若，则，，的大小关系为（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
先化简，
再根据的大小关系，利用对数函数的单调性即可得到其大小关系．
【详解】
因为，
函数在和上均单调递减，
又，所以而,
所以，即，可知最小．
由于，所以比较真数
与的大小关系.当时，，所以,
即. 综上,．
故选：D．
3.已知，，，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
把c用对数表示，根据式子结构，转化为比较的大小，分别与1和比较即可.
【详解】
，，由得，.
因为，所以，，即.
下面比较a、b的大小关系：
（其中），，所以
所以所以.故选：C.
【题型五】构造函数：lnx/x型函数
【典例分析】
设，，，则，，的大小关系为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
设，利用导数判断单调性，利用对数化简，，，再根据单调性即可比较，，的大小关系.
【详解】设，则，
当，，单调递增，当，，单调递减，
因为，，，所以最大，
又因为，，所以，所以，故选：B.
【变式演练】
1.已知a=3ln2π，b=2ln3π，c=3lnπ2，则下列选项正确的是（）
A．a>b>cB．c>a>bC．c>b>aD．b>c>a
【答案】D对a,b,c同除6π，转化为ln22,ln33,lnππ之间的比较，构造函数fx=lnxx，利用导数研究函数的单调性，得到答案.
【详解】a6π=ln22,b6π=ln33,c6π=lnππ ∵6π>0，∴a，b，c的大小比较可以转化为ln22,ln33,lnππ的大小比较．
设fx=lnxx ，则f'x=1−lnxx2，当x=e时，f'x=0，当x>e时，f'x<0，当00
∴fx在e,+∞上单调递减，∵e<3<π<4 ∴ln33>lnππ>ln44=ln22，∴b>c>a，故选：D．
2.以下四个数中，最大的是（）
A．B．C．D．
【答案】B【详解】由题意，令，则，所以时，，∴在上递减，
又由，∴，则，
即，故选：B．
3.下列命题为真命题的个数是( )
①ln3<3ln2； ②lnπ<πe； ③215<15； ④3eln2<42
A．1B．2C．3D．4
【答案】C本题首先可以构造函数f(x)=lnxx，然后通过导数计算出函数f(x)=lnxx的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数f(x)=lnxx的单调性即可比较出大小。
【详解】构造函数f(x)=lnxx，导数为f'(x)=1−lnxx2，
当00，f(x)递增，x>e时，f'(x)<0，f(x)递减，可得当x=e时f(x)取得最大值1e。
ln3<3ln2⇔2ln3<3ln2⇔ln33lnπ<πe⇔lnππ由f163eln2<42⇔ln88<22e<1e，由f(x)的最大值为1e，故④正确，综上所述，故选C。
【题型六】构造函数综合
【典例分析】
已知实数a、b，满足，，则关于a、b下列判断正确的是（）
A．a＜b＜2B．b＜a＜2C．2＜a＜bD．2＜b＜a
【答案】D
【分析】
先根据判断a接近2，进一步对a进行放缩，，进而通过对数运算性质和基本不等式可以判断a>2；
根据b的结构，构造函数，得出函数的单调性和零点，进而得到a,b的大小关系，最后再判断b和2的大小关系，最终得到答案.
【详解】
.
构造函数：，易知函数是R上的减函数，且，由，可知：，又，∴，则a>b.
又∵，∴a>b>2.故选：D.
【变式演练】
1.若（），则（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】
由，可得，
令，则在上单调递增，且，，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
2.已知，则与的大小关系是（）
A．B．
C．D．不确定
【答案】C
【分析】
令，结合题意可知，进而有，再利用对数函数的单调性和运算性质即可求解
【详解】
令，则当时，，当时，；
由，得考虑到得，
由，得，即故选：C
3.已知，，，则大小关系为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据幂函数在上是增函数，对数函数在上是增函数可得答案.
【详解】
，，，
因为，所以，即，
因为，，
，所以，所以，即，
所以.故选：A.
【题型七】放缩（难点）
【典例分析】
若，，，则、、的大小关系是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据对数函数的性质可得，，然后利用对数的运算化为同底并结合对数函数的单调性，可比较出的大小关系，分别与中间值比较，得出，分别与中间值比较，得出，综合即可选出答案.
【详解】
解：由题意，，，，即，，
，而，所以，
，而，即，
又，，而，则，即，
同理，，，而，则，即，
综上得：，
【变式演练】
1.设，则的大小关系是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
分别求出a、b、c的范围，即可得到答案.
【详解】
，即，
，即，
.所以.故选：C
2.设a=lg43，b=lg52，c=lg85，则（）
A．a【答案】B【详解】
即a>c>b
3.已知，，，，则下列大小关系正确的为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
利用指数函数、对数函数的性质进行比较即可．
【详解】
。。
∴a＞d＞b＞c，故选：D
【题型八】函数奇偶性和单调性等综合
【典例分析】
已知为R上的奇函数，，若在区间上单调递减.若，，，则a，b，c的大小关系为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
判断为偶函数，且在上为增函数，又，根据单调性即可判断.
【详解】
定义域为R，为奇函数，
，所以为偶函数，
又在区间上单调递减，故在上为增函数，
又，，所以，故选：B.
【变式演练】
1.已知函数，若，则的大小关系是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根据指数函数的单调性及对数函数的单调性确定，再由函数的单调性即可求解.
【详解】
因为，，，所以
由知，函数在上单调递增，所以故选：A
2.已知函数满足，且当时，成立，若，，，则，，的大小关系是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
构造函数，利用奇函数的定义得函数是偶函数，再利用导数研究函数的单调性，结合，再利用单调性比较大小得结论.
【详解】
解：因为函数满足，即，且在上是连续函数，所以函数是奇函数，
不妨令，则，所以是偶函数，
则，因为当时，成立，
所以在上单调递减，
又因为在上是连续函数，且是偶函数，所以在上单调递增，
则，，，
因为，，，所以，所以，故选：D.
3.已知，，当时，为增函数．设，，，则、、的大小关系是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
分析得出，利用函数在上的单调性可得出、、的大小关系.
【详解】
，．当时，为增函数，
所以，，因此，．故选：D.
【题型九】三角函数值比较大小
【典例分析】
三个数，，的大小关系是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
诱导公式化余弦为正弦，然后由正弦函数的单调性比较大小．
【详解】
，．∵，，，∴．又∵在上是增函数，∴．故选：C．
【变式演练】
1.已知，则的大小关系为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据比较b，c的大小关系，构造函数比较a，b的大小关系，即可得解.
【详解】，所以，构造函数，
，，所以，
，必有，，所以所以，
即所以单调递减，
所以即，所以故选：A
2.设，若，则与的大小关系为（）
A．B．C．D．以上均不对
【答案】D
【分析】
设，，由题意，利用诱导公式可得，而，，可得，或，分类讨论即可求解．
【详解】
解：设，，
因为，，所以，，，
又因为，所以，而，，
因此，或，
所以（1）当时，，
，因此，
（2）当时，，，
因此：①当时，，则，
②当时，，则，
③当时，，则．
故选：D．
3.，，的大小关系是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
利用三角函数函数值的正负和正弦函数在上的单调性判断即可.
【详解】
因为,所以,可得,
因为,所以,可得,
因为,
又因为,
由正弦函数在上的单调性知,，
即.故选:A
【题型十】数值逼近
【典例分析】
已知，则a，b，c的大小关系为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
首先设，利用导数得到，从而得到，设，利用导数得到，从而得到和，即可得到答案.
【详解】
设，，令，解得.，，为减函数，
，，为增函数.所以，即，当且仅当时取等号.
所以.故，即.设，，令，解得.，，为增函数，，，为减函数.
所以，即，当且仅当时取等号.所以.
所以，又因为，所以.又因为，所以，即，综上.故选：B
【变式演练】
1.设，，，则a，b，c的大小关系为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
对于a，b的比较，构造函数，通过研究函数的单调性来进行比较，对于a，c或b，c的比较通过作差法来进行比较
【详解】
，故；，故；
，
令，（），则
因为，所以，，，故恒成立，在上单调递增，所以，故综上：故选：C
2. 设，，．则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】,
所以;
下面比较与的大小关系.
记,则,，
由于
所以当0所以在上单调递增，
所以,即,即;
令,则,,
由于，在x>0时,,
所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b综上，,
故选：B.
【课后练习】
1.若，，，则
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
首先根据对数的性质将、变形，再根据对数函数的性质判断可得；
【详解】
解：，
因为在定义域上单调递减，所以，所以，即故选：A
2.设，，，则，，的大小关系是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
利用对数函数的性质及放缩法有、，可比较，的大小，再由并构造，根据其单调性即可确定，的大小.
【详解】
由题意，，，∴，
由，则，而在上递增，∴，故，即，
∴.故选：C
3.已知，，，则、、的大小关系是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据对数的运算法则及性质比较与的大小，利用作商法比较的大小.
【详解】
由,因为，故，所以，
因为，故，所以
因为，故，因为，故，
所以，所以，故，故选：A
4.已知，则的大小关系为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
对给定的幂或对数变形，借助幂函数和对数函数单调性并结合“媒介”数即可判断作答.
【详解】
依题意，，函数在上单调递增，而，于是得，即，
函数在单调递增，并且有，
则，
于是得，即，则，
又函数在单调递增，且，则有，
所以.故选：C
5.已知，，，则、、的大小关系是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据对数的运算法则及性质比较与的大小，利用作商法比较的大小.
【详解】
由,因为，故，所以，
因为，故，所以
因为，故，因为，故，
所以，所以，故，故选：A
6.若，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
设，利用作差法结合的单调性即可得到答案.
【详解】
设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
故选：B.
7.已知，，，则，，的大小关系是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用对数函数及运算性质有、，即可比较，，的大小.
【详解】
，又，，
.故选：A.
8.若正实数a，b，c满足，，，则正实数之间的大小关系为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据题意可知，正实数分别是方程，和在内的根，再根据零点的存在定理，分别可求出正实数的取值范围，由此即可得到结果.
【详解】
∵与的图象在只有一个交点，∴在只有一个根，设为a．
令，∵，，，
∴．
∵与的图象在只有一个交点，∴在只有一个根，设为b．
令，∵，，
∴，∴．∵与的图象在只有一个交点，
∴在只有一个根，设为c．
令，∵，，，
∴．∴．故选：A.
9.已知，，，，则的大小关系为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
由已知构造函数，可得的图象关于直线对称.再求导，运用导函数的正负研究函数的单调性，最后由角的范围得出三角函数的范围可得选项.
【详解】
由题可设，因为，所以的图象关于直线对称.
因为，当时，，所以，，，所以，所以在上单调递增，
由对称性可知在上单调递减.因为，所以，所以；
又，，由对称性可知，且，因为，所以，
又在上单调递减，所以，所以，
故选：A.
10.已知，，，其中是自然对数的底数，则，，的大小关系是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由题意得，，，然后构造函数并利用导数研究其单调性，最后利用其单调性即可比较大小.
【详解】
对，，两边都取自然对数得
，，，
令，得，设，
得，∴在递减，∴，
∴，∴在递减，
又，，，∴，
∴.
故选A.
11.已知,,,，则,,,的大小关系为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
用辅助角公式及正弦函数的单调性,化简,并比较与1的大小；用二倍角正弦公式化简,用指数函数的单调性运用中间值比较法比较,的大小.
【详解】
.
,所以
因为,所以，,
因为,所以,即
而,所以有.
故选：A
12.已知当，，时，，则以下判断正确的是
A．B．
C．D．与的大小关系不确定
【答案】C
【分析】
由函数的增减性及导数的应用得：设，求得可得为增函数，又，，时，根据条件得，即可得结果．
【详解】
解：设，则，
即为增函数，又，，，，
即，所以，所以．故选：C．
13.已知定义在上的函数的导函数是连续不断的，若方程无解，且，，设，则的大小关系是________.
【答案】
【分析】
根据题意判断出是单调函数，得出是定值，令，则，结合是单调递增函数判断出的大小关系.
【详解】
由于定义在上的函数的导函数是连续不断的，方程无解，所以或恒成立，所以是单调函数.依题意，，由于是上的单调函数，所以为定值，令，则，所以是增函数，又因为，所以.