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2025年高考数学一轮复习-第1章-第1节-集合集合及其运算-专项训练【含解析】
展开这是一份2025年高考数学一轮复习-第1章-第1节-集合集合及其运算-专项训练【含解析】，共6页。
1. 已知集合A={0,1,2}，则集合B={x,y|x≥y,x∈A,y∈A}中元素的个数是（ ）.
A. 1B. 3C. 6D. 9
2. 已知集合A={x|1x<1},B={x|lg3x≤1}，全集U=R，则∁UA∩B=（ ）.
A. {x|1≤x≤3}B. {x|0
A. {x|x≥2}B. {x|x≥1}C. {x|1
A. M∩N=⌀B. M=NC. M⊆ND. N⊆M
5. 已知集合A={x|x2−1≤0}，B={x|x−2a≥0}，且A∪B=B，则实数a的取值范围是（ ）.
A. (−∞,−2]B. [−2,+∞)C. [−12,+∞)D. (−∞ ,−12]
6. （改编）已知集合A={x|x2−x−6≤0},B={x|x−4x+1≤0}，则A∪B=（ ）.
A. {x|−1
C. {x|−2≤x≤4}D. {x|−2≤x≤−1}
7. 设集合A={2,3,a2−2a−3}，B={0,3}，C={2,a}.若B⊆A，A∩C={2}，则a=（ ）.
A. −3B. −1C. 1D. 3
8. 若全集U=R,集合A={0,1,2,3,4,5},B={x|x<3},则图中阴影部分表示的集合为（ ）.
A. {3,4,5}B. {0,1,2}C. {0,1,2,3}D. {4,5}
综合提升练
9. （多选题）已知集合A={x|ax2+2x+a=0}，且集合A有且仅有2个子集，则a的取值可能为（ ）.
A. −2B. −1C. 0D. 1
10. （多选题）已知全集U=R，函数y=lnx−2的定义域为集合M，集合N={x|x2−2x>0}，则下列结论错误的是（ ）.
A. M∩N=NB. M∩∁UN=⌀C. M∪N=UD. M=∁UN
11.已知集合A={-2,0,2,4},B={x||x-3|≤m},若A∩B=A,则m的最小值为 .
12. 当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合M={x|ax2−1=0，a>0}，N={−12,12,1}，若M与N“相交”，则a=_________.
应用情境练
13. 已知集合A=x32−x∈Z，x∈Z，则集合A中的元素个数为__________.
14. 给出下列四个命题：
①{x,y|x=1或y=2}={1,2}；
②{x|x=3k+1，k∈Z}={x∣x=3k−2，k∈Z}；
③由英文单词“apple”中的所有字母组成的集合有15个真子集；
④设2024∈{x，x2，x2}，则满足条件的所有x组成的集合的真子集的个数为3.
其中所有的真命题是_________.（填序号）
创新拓展练
15. 设集合S={a0,a1,a2,a3,a4}，在S上定义运算∗：ai∗aj=ak，其中k=i−j，i,j=0,1,2,3,4.那么满足条件ai∗aj∗a2=a1ai,aj∈S的有序数对i,j（当i≠j时，i,j,j,i为两个不同的有序数对）共有_________个.
16. 含有有限个元素的数集，定义“交替和”：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减加各数.例如，集合{4,6,9}的“交替和”是9−6+4=7,集合{5}的“交替和”是5.若集合M={1,2,3,4,5,6}，试求集合M的所有非空子集的“交替和”的总和.
第1章-第1节-集合集合及其运算-专项训练（解析版）
基础巩固练
1. 已知集合A={0,1,2}，则集合B={x,y|x≥y,x∈A,y∈A}中元素的个数是（ C ）.
A. 1B. 3C. 6D. 9
[解析]当x=0 时，y=0；当x=1 时，y=0或y=1；当x=2 时，y=0或y=1 或y=2.
故集合B={0,0，1,0，1,1，2,0，2,1，2,2}，即集合B 中有6个元素.故选C.
2. 已知集合A={x|1x<1},B={x|lg3x≤1}，全集U=R，则∁UA∩B=（ C ）.
A. {x|1≤x≤3}B. {x|0
由lg3x≤1，解得0
A. {x|x≥2}B. {x|x≥1}C. {x|1
故A={x|x≤−4 或x≥1}.
又B={y|y≥0}，所以A∩B={x|x≥1}.故选B.
4. 已知集合M={x| x=n2+1,n∈Z}，N={y|y=m+12,n∈Z，则M，N两集合之间的关系为（ D ）.
A. M∩N=⌀B. M=NC. M⊆ND. N⊆M
[解析]由题意知，对于集合M，当n 为偶数时，设n=2k(k∈Z)，则x=k+1(k∈Z)，当n 为奇数时，设n=2k−1(k∈Z)，则x=k+12(k∈Z)，所以N⊆M.故选D.
5. 已知集合A={x|x2−1≤0}，B={x|x−2a≥0}，且A∪B=B，则实数a的取值范围是（ D ）.
A. (−∞,−2]B. [−2,+∞)C. [−12,+∞)D. (−∞ ,−12]
[解析]A={xx2−1≤0}={x−1≤x≤1}，B={xx−2a≥0}={xx≥2a}.
因为A∪B=B，所以A⊆B，故2a≤−1，解得a≤−12.故选D.
6. （改编）已知集合A={x|x2−x−6≤0},B={x|x−4x+1≤0}，则A∪B=（ C ）.
A. {x|−1
C. {x|−2≤x≤4}D. {x|−2≤x≤−1}
[解析]不等式x2−x−6≤0 的解集为{x|−2≤x≤3}，
不等式x−4x+1≤0 的解集为{x|−1
7. 设集合A={2,3,a2−2a−3}，B={0,3}，C={2,a}.若B⊆A，A∩C={2}，则a=（ B ）.
A. −3B. −1C. 1D. 3
[解析]因为B⊆A，所以a2−2a−3=0，解得a=−1 或a=3.
若a=−1，则A={2,3,0}，C={2,−1}，此时A∩C={2}，符合题意；
若a=3，则A={2,3,0}，C={2,3}，此时A∩C={2,3}，不符合题意.
故选B.
8. 若全集U=R,集合A={0,1,2,3,4,5},B={x|x<3},则图中阴影部分表示的集合为（ A ）.
A. {3,4,5}B. {0,1,2}C. {0,1,2,3}D. {4,5}
[解析]∁RB={x|x≥3},由Venn 图可知,阴影部分表示 A∩∁RB={3,4,5}.故选A.
综合提升练
9. （多选题）已知集合A={x|ax2+2x+a=0}，且集合A有且仅有2个子集，则a的取值可能为（ BCD ）.
A. −2B. −1C. 0D. 1
[解析]因为集合A 有且仅有2个子集，所以集合A 中仅有一个元素.
当a=0 时，2x=0，即x=0，所以A={0}，满足要求；
当a≠0 时，因为集合A 中有且仅有一个元素，所以一元二次方程ax2+2x+a=0 的根的判别式Δ=4−4a2=0，所以a=±1，此时A={1} 或A={−1}，满足要求.故选BCD.
10. （多选题）已知全集U=R，函数y=lnx−2的定义域为集合M，集合N={x|x2−2x>0}，则下列结论错误的是（ ACD ）.
A. M∩N=NB. M∩∁UN=⌀C. M∪N=UD. M=∁UN
[解析]等式x2−2x>0，得xx−2>0，解得x<0 或x>2，即N={x|x<0 或x>2}，显然M∩N=M，故A 错误；∁UN={x∣0≤x≤2}，M∩∁UN=⌀ ，故B 正确；显然M∪N=N，故C 错误；由B 可知，D错误.故选ACD.
11.已知集合A={-2,0,2,4},B={x||x-3|≤m},若A∩B=A,则m的最小值为 5 .
[解析] 由A∩B=A,得A⊆B,
由|x-3|≤m,得-m+3≤x≤m+3,
故4≤m+3,-2≥-m+3,即m≥1,m≥5,解得m≥5,
故m的最小值为5.
12. 当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合M={x|ax2−1=0，a>0}，N={−12,12,1}，若M与N“相交”，则a=1.
[解析]由题意得，M={−1a,1a}，若1a=12，则M={−12,12}，此时M⊆N，不符合题意；
若1a=1，则M={−1,1}，符合题意.
应用情境练
13. 已知集合A=x32−x∈Z，x∈Z，则集合A中的元素个数为4.
[解析]因为32−x∈Z，且x∈Z，所以2−x 的取值有−3，−1,1,3，所以x 的值分别为5,3,1，−1，故集合A 中的元素个数为4.
14. 给出下列四个命题：
①{x,y|x=1或y=2}={1,2}；
②{x|x=3k+1，k∈Z}={x∣x=3k−2，k∈Z}；
③由英文单词“apple”中的所有字母组成的集合有15个真子集；
④设2024∈{x，x2，x2}，则满足条件的所有x组成的集合的真子集的个数为3.
其中所有的真命题是②③④.（填序号）
[解析]①中左边的集合表示横坐标为1或纵坐标为2的所有点组成的集合，即x=1 和y=2 两直线上所有点的集合，右边的集合中仅有1和2两个元素，左、右集合的元素属性不同.
②中3k+1,3k−2(k∈Z)都表示被3除余1的数，故左、右集合表示同一个集合.
③中集合有4个元素，其真子集的个数为24−1=15.
④中x=−2024 或x=−2024，满足条件的所有x 组成的集合为{−2024，−2024}，其真子集的个数为22−1=3.故②③④为真命题.
创新拓展练
15. 设集合S={a0,a1,a2,a3,a4}，在S上定义运算∗：ai∗aj=ak，其中k=i−j，i,j=0,1,2,3,4.那么满足条件ai∗aj∗a2=a1ai,aj∈S的有序数对i,j（当i≠j时，i,j,j,i为两个不同的有序数对）共有12个.
[解析]由ai∗aj∗a2=a1ai,aj∈S，ai∗aj=ak，其中k=i−j，i,j=0,1,2,3,4，可得1= i−j−2，即i−j=1 或i−j=3.
当i−j=1 时，i,j可取1,0,2,1,3,2,4,3；
当i−j=−1 时，i,j可取0,1,1,2,2,3,3,4；
当i−j=3 时，i,j可取3,0,4,1；
当i−j=−3 时，i,j可取0,3,1,4.
故有序数对i,j 共有12个.
16. 含有有限个元素的数集，定义“交替和”：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减加各数.例如，集合{4,6,9}的“交替和”是9−6+4=7,集合{5}的“交替和”是5.若集合M={1,2,3,4,5,6}，试求集合M的所有非空子集的“交替和”的总和.
[解析]集合{1} 的所有非空子集的“交替和”的总和S1=1；集合{1,2} 的所有非空子集的“交替和”的总和S2=1+2+2−1=4；集合{1,2,3} 的所有非空子集的“交替和”的总和S3=1+2+3+2−1+3−2+3−1+3−2+1=12；集合{1,2,3,4} 的所有非空子集的“交替和”的总和S4=1+2+3+4+2−1+3−2+4−3+3−1+4−2+4−1+3−2+1+4−3+2+4−2+1+4−3+1+4−3+2−1=32.由此总结规律，集合{1,2,3,⋯ ,n}(n∈Z)的所有非空子集的“交替和”的总和Sn=n⋅2n−1，所以集合M 的非空子集的“交替和”的总和S6=6×25=192
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