2025年高考数学一轮复习-第1课时-函数的概念及其表示-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第1课时-函数的概念及其表示-专项训练【含解析】，共10页。试卷主要包含了 [2024·锦州模拟]等内容，欢迎下载使用。

1. [2024·修水段考改编]下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）.
A. fx=xx2+1x2+1，gt=tB. fx=x，gx=x2
C. fx=1，gx=x+10D. fx=x，gx=x2x
2. [2024·重庆联考]设集合M={x|y=ln1−x21+x2}，N={y|y=1−x21+x2}，则M∩N=（ ）.
A. −1,1B. −1,0C. (0,1]D. 0,1
3. [2024·河北模拟]若函数fx=lg9x−34,x>1,1x2+2x+3,x≤1,则ff352=（ ）.
A. 517B. 175C. 417D. 174
4. [2024·河北测评]已知函数y=fx的定义域为[0,4]，则函数y=fx+1x−1+x−20的定义域为（ ）.
A. (1,5]B. 1,2∪2,5C. 1,2∪(2,3]D. (1,3]
5. 已知函数fx+1=ln x2，则fx=（ ）.
A. lnx+12B. 2lnx−1C. 2ln x−1D. lnx2−1
6. 若函数fx对于任意实数x，x≠0,都有2fx−f1x=2x+1,则f12=（ ）.
A. 3B. 4C. 83D. 43
7. [2024·河南联考]已知定义在R上的函数fx对任意的实数x，y都有fx+y=fx+fy，则fln 2025+fln12025=（ ）.
A. 2025B. −2025C. 0D. 1
8. [2024·南昌模拟]为了预防某种病毒，某学校需要通过喷洒药物对教室进行全面消毒，出于对学生身体健康的考虑，相关部门规定：当教室的空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，学生方可进入教室.已知从喷洒药物开始，教室内部的药物浓度y（单位：毫克/立方米）与时间t（单位：分钟）之间的关系为y=0.1t,0≤t≤1012t10−a,t>10,函数的图象大致如图所示.如果早上7：30就有学生进入教室，那么开始喷洒药物的时间最迟是（ ）.
A. 7：00B. 6：40C. 6：30D. 6：00
综合提升练
9. [2024·锦州模拟]（多选题）若存在函数fx对任意x∈R都有fgx=x，则函数gx不可能为（ ）.
A. gx=cs xB. gx=−x2,x≥0,x2,x<0
C. gx=x3−xD. gx=ex−e−x
10. （多选题）若函数y=fx满足f1x=−fx，则称函数y=fx为“C函数”.下列四个函数中是“C函数”的为（ ）.
A. fx=ln xB. fx=2x
C. fx=x−1xD. fx=x,01
11. [2024·济宁模拟]已知a∈R，函数fx=lg2x2−3,x>2, 3x+a,x≤2,ff5=2，则a_______.
12. [2024·昆明模拟]（双空题）已知函数fx=x2+x,−2≤x≤c, 12x,c应用情境练
13. [2024·苏州模拟]高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为“高斯函数”.例如，[−2.1]=−3,[3.1]=3.若函数fx=2x+52x+1，则函数y=[fx]的值域为______
.
14. 映射由德国数学家戴德金在1887年提出，曾被称为“基础数学中最为美妙的灵魂”，在计算机科学、数学以及生活的方方面面都有重要的应用.例如，在新高考中，不同选考科目的原始分要利用赋分规则，映射到相应的赋分区间内，转换成对应的赋分后再计入总分.某省选考科目的赋分规则如表所示：
等级原始分占比赋分区间
若小华选考政治的原始分为82，对应等级为A，且等级A的原始分区间为[81,87]，则小华的政治成绩对应的赋分约为_______.（结果按四舍五入取整数）
创新拓展练
15. [2024·河北模拟]函数y=2−sin x1−cs x的值域为______.
16. [2024·广西检测]已知火箭起飞质量x（单位：kg）是箭体质量M(M≠1,单位：kg)和燃料质量m（单位：kg）之和.在发射阶段不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：km/s）和x之间的关系为v=aln x+bln M，其中a,b为常数，且当燃料质量为0 kg时，火箭的最大速度为0 km/s.已知某火箭的箭体质量为M kg，当燃料质量为e2−1M kg时，该火箭的最大速度为4 km/s.
（1）求该火箭的最大速度v与起飞质量x之间的函数关系式.
（2）“第一宇宙速度”是指物体在环绕地球做匀速圆周运动时所需达到的速度，也称“航天器最小发射速度”.请问当燃料质量至少是箭体质量的多少倍时，该火箭的最大速度可达到7.9 km/s（“第一宇宙速度”）？
第1课时-函数的概念及其表示-专项训练【解析版】
基础巩固练
1. [2024·修水段考改编]下列各组函数中，表示同一个函数的是（ A ）.
A. fx=xx2+1x2+1，gt=tB. fx=x，gx=x2
C. fx=1，gx=x+10D. fx=x，gx=x2x
[解析]对于A，函数fx=xx2+1x2+1=x 的定义域为R，函数gt=t 的定义域为R，定义域相同，对应关系相同，所以是同一个函数；
对于B，函数fx=x 和gx=x2=∣x∣=x,x≥0, −x,x<0 的定义域都是R，但对应关系不相同，所以不是同一个函数；
对于C，函数fx=1 的定义域为R，函数gx=x+10 的定义域为−∞,−1∪−1,+∞，定义域不相同，所以不是同一个函数；
对于D，函数fx=x 的定义域为R，gx=x2x的定义域为−∞,0∪0,+∞，定义域不相同，所以不是同一个函数.故选A.
2. [2024·重庆联考]设集合M={x|y=ln1−x21+x2}，N={y|y=1−x21+x2}，则M∩N=（ A ）.
A. −1,1B. −1,0C. (0,1]D. 0,1
[解析]∵M={x|y=ln1−x21+x2}={x|1−x21+x2>0}=−1,1，N={y|y=1−x21+x2}={y|y=−1+x2−21+x2=−1+21+x2}=(−1,1]，
∴M∩N=−1,1.故选A.
3. [2024·河北模拟]若函数fx=lg9x−34,x>1,1x2+2x+3,x≤1,则ff352=（ C ）.
A. 517B. 175C. 417D. 174
[解析]因为352>1，所以f352=lg9352−34=54−34=12，所以ff352=f12=114+1+3=417.故选C.
4. [2024·河北测评]已知函数y=fx的定义域为[0,4]，则函数y=fx+1x−1+x−20的定义域为（ C ）.
A. (1,5]B. 1,2∪2,5C. 1,2∪(2,3]D. (1,3]
[解析]因为函数y=fx 的定义域为[0,4]，且函数y=fx+1x−1+x−20 有意义，所以0≤x+1≤4x−1>0x−2≠0,解得15. 已知函数fx+1=ln x2，则fx=（ C ）.
A. lnx+12B. 2lnx−1C. 2ln x−1D. lnx2−1
[解析]对于fx+1=ln x2，令t=x+1t≠1，则x=t−1，所以ft=lnt−12=2ln t−1，因此fx=2ln x−1.故选C.
6. 若函数fx对于任意实数x，x≠0,都有2fx−f1x=2x+1,则f12=（ A ）.
A. 3B. 4C. 83D. 43
[解析]∵fx 对于任意实数x 都有2fx−f1x=2x+1，
∴ 2fx−f1x=2x+12f1x−fx=2x+1，
2f1x−fx=2x+1，解得fx=43x+23x+1，
∴f12=3.故选A.
7. [2024·河南联考]已知定义在R上的函数fx对任意的实数x，y都有fx+y=fx+fy，则fln 2025+fln12025=（ C ）.
A. 2025B. −2025C. 0D. 1
[解析]因为fx+y=fx+fy，所以f0+0=f0+f0=2f0，即f0=0，
所以fln 2025+fln12025=fln 2025−ln 2025=f0=0.
故选C.
8. [2024·南昌模拟]为了预防某种病毒，某学校需要通过喷洒药物对教室进行全面消毒，出于对学生身体健康的考虑，相关部门规定：当教室的空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，学生方可进入教室.已知从喷洒药物开始，教室内部的药物浓度y（单位：毫克/立方米）与时间t（单位：分钟）之间的关系为y=0.1t,0≤t≤1012t10−a,t>10,函数的图象大致如图所示.如果早上7：30就有学生进入教室，那么开始喷洒药物的时间最迟是（ A ）.
A. 7：00B. 6：40C. 6：30D. 6：00
[解析]根据函数的图象，可得函数的图象过点10,1，
由函数图象连续，可得121−a=1，解得a=1，
所以y=0.1t,0≤t≤1012t10−1,t>10,令y≤0.25，可得0.1t≤0.25 或12t10−1≤0.25，解得0≤t≤2.5 或t≥30，
所以如果7：30就有学生进入教室，那么开始喷洒药物的时间最迟是7：00.故选A.
综合提升练
9. [2024·锦州模拟]（多选题）若存在函数fx对任意x∈R都有fgx=x，则函数gx不可能为（ AC ）.
A. gx=cs xB. gx=−x2,x≥0,x2,x<0
C. gx=x3−xD. gx=ex−e−x
[解析]对于A，y=x是奇函数，gx=cs x是偶函数，则fg−x=fgx=x，矛盾，故A 不满足条件；
对于B，因为gx=−x2,x≥0, x2,x<0, 所以fx=−x,x<0, −x,x≥0, 故B 满足条件；
对于C，分别取x=0 和x=1，可得f0=0，f0=1，矛盾，故C 不满足条件；
对于D，gx=ex−e−x，则fex−e−x=x，y=ex−e−x单调递增，且g−x=e−x−ex=−gx，即gx 为奇函数，值域为R，故D 满足条件.故选AC.
10. （多选题）若函数y=fx满足f1x=−fx，则称函数y=fx为“C函数”.下列四个函数中是“C函数”的为（ ACD ）.
A. fx=ln xB. fx=2x
C. fx=x−1xD. fx=x,01
[解析]对∀x∈0,+∞，f1x=ln 1x=−ln x=−fx，故A 满足条件.
取x=2，则f12=212=2≠−4=−f2，故B 不满足条件.
对∀x≠0，f1x=1x−x=−fx，故C 满足条件.fx=x,01,当01，则f1x=−1x−1=−x=−fx；当x=1 时，f1=0=−f11；当x>1 时，0<1x<1，则f1x=1x=−−x−1=−fx.所以对任意的x>0，f1x=−fx，故D 满足条件.故选ACD.
11. [2024·济宁模拟]已知a∈R，函数fx=lg2x2−3,x>2, 3x+a,x≤2,ff5=2，则a=−1 .
[解析]因为5>2，所以f5=lg25−3=1≤2，
所以ff5=f1=3+a=2，解得a=−1.
12. [2024·昆明模拟]（双空题）已知函数fx=x2+x,−2≤x≤c, 12x,c[解析]若c=0，则fx=x2+x,−2≤x≤012x,0当−2≤x≤0 时，fx=x2+x=x+122−14∈[−14,2];
当0故fx 的值域为[−14,+∞).
若fx 的值域为[−14,2]，作出fx 的图象如图所示，
则当x=−2 时，fx=x2+x=2，
当x=−12 时，fx=x2+x=−14，所以需满足0≤c≤1，又因为需满足12c≤2，即c≥14，所以参数c 的取值范围是14≤c≤1，即c 的取值范围是[14,1].
应用情境练
13. [2024·苏州模拟]高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为“高斯函数”.例如，[−2.1]=−3,[3.1]=3.若函数fx=2x+52x+1，则函数y=[fx]的值域为{1,2,3,4} .
[解析]fx=2x+52x+1=1+42x+1.
∵2x>0,∴1+2x>1,0<12x+1<1，
则1<1+42x+1<5，即1当1当2≤fx<3 时，[fx]=2；
当3≤fx<4 时，[fx]=3；
当4≤fx<5 时，[fx]=4.
综上所述，函数y=[fx] 的值域为{1,2,3,4}.
14. 映射由德国数学家戴德金在1887年提出，曾被称为“基础数学中最为美妙的灵魂”，在计算机科学、数学以及生活的方方面面都有重要的应用.例如，在新高考中，不同选考科目的原始分要利用赋分规则，映射到相应的赋分区间内，转换成对应的赋分后再计入总分.某省选考科目的赋分规则如表所示：
等级原始分占比赋分区间
若小华选考政治的原始分为82，对应等级为A，且等级A的原始分区间为[81,87]，则小华的政治成绩对应的赋分约为93.（结果按四舍五入取整数）
[解析]等级A 赋分区间为[91,100]，原始分区间为[81,87]，
根据赋分公式，得87−8282−81=100−TT−91，解得T=92.5≈93.
创新拓展练
15. [2024·河北模拟]函数y=2−sin x1−cs x的值域为[34,+∞).
[解析]函数y=2−sin x1−cs x 的几何意义是在平面直角坐标系内定点A1,2 与动点Mcs x,sin xx≠2kπ,k∈Z 连线的斜率，易知动点M 在以点0,0 为圆心，1为半径的圆( 不包含点1,0) 上.
显然直线AM 的斜率存在，设直线AM 的斜率为k，则直线AM 的方程为y−2=kx−1，即kx−y+2−k=0，
则2−kk2+1≤1，解得k≥34，所以y=2−sin x1−cs x 的值域为[34,+∞).
16. [2024·广西检测]已知火箭起飞质量x（单位：kg）是箭体质量M(M≠1,单位：kg)和燃料质量m（单位：kg）之和.在发射阶段不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：km/s）和x之间的关系为v=aln x+bln M，其中a,b为常数，且当燃料质量为0 kg时，火箭的最大速度为0 km/s.已知某火箭的箭体质量为M kg，当燃料质量为e2−1M kg时，该火箭的最大速度为4 km/s.
（1）求该火箭的最大速度v与起飞质量x之间的函数关系式.
（2）“第一宇宙速度”是指物体在环绕地球做匀速圆周运动时所需达到的速度，也称“航天器最小发射速度”.请问当燃料质量至少是箭体质量的多少倍时，该火箭的最大速度可达到7.9 km/s（“第一宇宙速度”）？
[解析]（1）因为火箭的最大速度v（单位：km/s）和x 之间的关系为v=aln x+bln M，
且当m=0 时，x=m+M=M,v=0;当m=e2−1M 时，x=m+M=e2M,v=4.所以0=aln M+bln M, 4=alne2M+bln M, 解得a=2, b=−2,
所以v=2ln x−2ln M.
（2）设m=kM，且k>0，则x=m+M=k+1M，又v=2ln x−2ln M，所以当v=7.9 时，可得7.9=2lnk+1⋅M−2ln M，
即3.95=lnk+1MM=lnk+1，解得k=e3.95−1，
故当燃料质量至少是箭体质量的e3.95−1 倍时，该火箭的最大速度可达到7.9 km/s.
A
3%
[91,100]
B+
7%
[81,90]
B
16%
[71,80]
C+
24%
[61,70]
C
24%
[51,60]
D+
16%
[41,50]
D
7%
[31,40]
E
3%
[21,30]
转换成对应赋分T的公式：Y2−YY−Y1=T2−TT−T1.
其中，Y1，Y2分别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；T1，T2分别表示原始分对应等级的赋分区间下限和上限
A
3%
[91,100]
B+
7%
[81,90]
B
16%
[71,80]
C+
24%
[61,70]
C
24%
[51,60]
D+
16%
[41,50]
D
7%
[31,40]
E
3%
[21,30]
转换成对应赋分T的公式：Y2−YY−Y1=T2−TT−T1.
其中，Y1，Y2分别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；T1，T2分别表示原始分对应等级的赋分区间下限和上限