2025版高考数学全程一轮复习学案第一章集合与常用逻辑用语不等式第五节二次函数与一元二次方程不等式

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二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【常用结论】
1．分式不等式的解法
(1)fxgx>0⇔f(x)g(x)>0.
(2)fxgx≥0⇔fxgx≥0，gx≠0.
2．绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪a，+∞；|x|0)的解集为(－a，a)．
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．
3．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定．
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔a=b=0，c>0或a>0，Δ<0，
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔a=b=0，c<0或a<0，Δ<0.
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( )
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )
(3)不等式ax2＋bx＋c≥0在R上恒成立的条件是a>0且Δ＝b2－4ac≤0.( )
(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．( )
2．(教材改编)已知集合A＝{x|x2－16≤0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A∪B＝( )
A．[－4，1)∪3，4
B．[－4，4]
C．(－∞，1)∪3，+∞
D．R
3．(教材改编)已知关于x的不等式x2－ax－b<0的解集是(2，3)，则a＋b的值是________．
4．(易错)不等式1x5．(易错)要使函数y＝mx2＋mx＋m－1的值恒为负值，则m的取值范围为________．
第五节 二次函数与一元二次方程、不等式
必备知识
{x|xx2}
夯实基础
1．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．解析：A＝[－4，4]，B＝(－∞，1)∪3，+∞，∴A∪B＝R.故选D.
答案：D
3．解析：若关于x的不等式x2－ax－b<0的解集是(2，3)，则2，3是方程x2－ax－b＝0的根，故a＝5，b＝－6，故a＋b＝－1.
答案：－1
4．解析：1x－x<0，即1-x2x<0，
即x(1－x2)<0，即x(x－1)(x＋1)>0，
所以x>0，x-1x+1>0或x<0，x-1x+1<0，
解得x>1或－1所以不等式的解集为(－1，0)∪1，+∞．
答案：(－1，0)∪1，+∞
5．解析：函数y＝mx2＋mx＋m－1的值恒为负值，即不等式mx2＋mx＋m－1<0对一切实数x恒成立．
当m＝0时，－1<0恒成立；
当m≠0时，要使其恒成立，
则有m<0，Δ=m2-4mm-1<0，解得m<0.
综上，m的取值范围为(－∞，0].
答案：(－∞，0]判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
________
xx≠-b2a
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1∅
∅