2025版高考数学全程一轮复习学案第二章函数第十节函数模型及其应用

这是一份2025版高考数学全程一轮复习学案第二章函数第十节函数模型及其应用，共4页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。

1.指数、对数、幂函数性质比较
2.常见的函数模型
【常用结论】
1．函数f(x)＝xa+bx(a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]上单调递减，在区间[ab，＋∞)上单调递增．
2．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量越来越大，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)幂函数增长比直线增长更快．( )
(2)不存在x0，使ax0(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>1)的增长速度．( )
(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.( )
2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
则对x，y最适合的拟合函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝lg2x
3．(教材改编)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少要经过________个“半衰期”．
4．(易错)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝lg2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )
A．f(x)＞g(x)＞h(x)B．g(x)＞f(x)＞h(x)
C．g(x)＞h(x)＞f(x)D．f(x)＞h(x)＞g(x)
5．(易错)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________．
第十节 函数模型及其应用
必备知识
1．递增 递增 y轴 x轴
夯实基础
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝lg2x，可知D满足题意．故选D.
答案：D
3．解析：设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为(12)n，由(12)n<11 000，得n≥10.所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．
答案：10
4．解析：在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)＞f(x)＞h(x)．故选B.
答案：B
5．解析：设原来的生产总值为a，平均增长率为x，
则a(1＋p)(1＋q)＝a(1＋x)2，
解得1＋x＝p+1q+1，
即x＝p+1q+1－1.
答案：p+1q+1－1
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝lgax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调________
单调________
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与________平行
随x的增大逐渐表现为与________平行
随n值变化而各有不同
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00