2025版高考数学全程一轮复习学案第三章一元函数的导数及其应用第三节导数与函数的极值最值

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2.函数的最值反映的是函数整体的性质
(1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)一般地，求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的________；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值________比较，其中最大的一个是________，最小的一个是________．
【常用结论】
1．有极值的函数一定不是单调函数．
2．如果函数f(x)在(a，b)上只有一个极值，那么这个极值就是相应的最值．
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.( )
(2)导数等于0的点一定是函数的极值点．( )
(3)函数的极大值不一定比极小值大．( )
(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( )
2．(教材改编)函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点、一个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
3．(教材改编)函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为________．
4．(易错)函数f(x)＝m2x3－2mx2＋x在x＝13处取得极大值，则实数m的值为( )
A．1或3 B．3
C．1 D．0
5．(易错)若函数f(x)＝13x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，则m＝________．
第三节 导数与函数的极值、最值
必备知识
1．小 f′(x)<0 f′(x)>0 大 f′(x)>0 f′(x)<0
2．(1)连续不断 (2)①极值 ②f(a)，f(b) 最大值 最小值
夯实基础
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．解析：由题图可知极大值点有两个，极小值点有两个，故选C.
答案：C
3．解析：因为f′(x)＝1x－1＝1-xx，
当x∈(0，1)时，f′(x)>0，
当x∈(1，e]时，f′(x)<0，
所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln 1－1＝－1.
答案：－1
4．解析：f′(x)＝3m2x2－4mx＋1，由题意得f′(13)＝13m2－43m＋1＝0，解得m＝1或m＝3.当m＝1时，f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1.令f′(x)>0，解得x>1或x<13；令f′(x)<0，解得130，解得x>13或x<19，令f′(x)<0，解得19答案：C
5．解析：∵f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，
令f′(x)＝0得x＝－2或x＝2.
∵0≤x≤3，∴x＝2，
当0∴函数f(x)在区间(0，2)上单调递减；
当20，
∴函数f(x)在区间(2，3)上单调递增．
又f(0)＝m，f(3)＝m－3，
∵m>m－3，
∴x＝0时，f(x)在[0，3]上取得最大值f(0)＝m.
∴m＝4.
答案：4取得极值的条件
极值
极值点
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都________
f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值
f′(a)＝0
在点x＝a附近的左侧______，右侧______
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都________
f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值
b叫做函数y＝f(x)的极大值点
f′(b)＝0
在点x＝b附近的左侧______，右侧______