2025版高考数学全程一轮复习学案第五章平面向量与复数第二节平面向量基本定理及坐标表示

这是一份2025版高考数学全程一轮复习学案第五章平面向量与复数第二节平面向量基本定理及坐标表示，共4页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。

1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个__________向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝________．
若e1，e2________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
把一个向量分解为两个________的向量，叫做把向量作正交分解．
2．平面向量的坐标运算
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝______，a－b＝________，λa＝________．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝________，|AB|＝________．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.
a∥b⇔________．
【常用结论】
(1)若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
(2)已知点P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为x1+x22，y1+y22.
(3)已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G(x1+x2+x33，y1+y2+y33)．
夯 实 基 础
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面向量的基底确定后，平面内的任何一个向量都可以用这组基底唯一表示．( )
(2)若两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( )
(3)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( )
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成x1x2＝y1y2.( )
2．(教材改编)已知a＝(3，6)，b＝(x，y)，若a＋3b＝0，则b＝( )
A．(1，2) B．(－1，－2)
C．(－1，2) D．(1，－2)
3．(教材改编)下列向量组中，能作为它们所在平面内所有向量的一个基底{a，b}的是( )
A．a＝(1，2)，b＝(0，0)
B．a＝(1，－2)，b＝(3，5)
C．a＝(3，2)，b＝(9，6)
D．a＝(－34，12)，b＝(3，－2)
4．(易错)已知两点A(－1，3)，B(3，0)，则与向量AB同向的单位向量是( )
A．(45，－35) B．(45，35)
C．(34，－45) D．(34，45)
5．(易错)已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(1，0)，(0，1)，(2，1)，则其第四个顶点的坐标为________．
第二节 平面向量基本定理及坐标表示
必备知识
1．不共线 λ1e1＋λ2e2 不共线 互相垂直
2．(x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1)
(x2－x1，y2－y1) x2-x12+y2-y12
3．x1y2－x2y1＝0
夯实基础
1．答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．解析：由a＋3b＝(3，6)＋3(x，y)＝0得x＝－1，y＝－2.故选B.
答案：B
3．解析：根据平面向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底．故选B.
答案：B
4．解析：因为两点A(－1，3)，B(3，0)，所以AB＝(4，－3)，
所以ABAB＝132+42×(4，－3)＝(45，－35)，
所以与向量AB同向的单位向量为(45，－35)．故选A.
答案：A
5．解析：设A(1，0)，B(0，1)，C(2，1)，第四个顶点D(x，y)，
由题意，该平行四边形四个顶点的顺序不确定，讨论如下：
①若平行四边形为ABCD，则AB＝DC.
因为AB＝(－1，1)，DC＝(2－x，1－y)，
所以2-x=-1，1-y=1，解得x=3，y=0，即D(3，0)．
②若平行四边形为ABDC，则AB＝CD.因为AB＝(－1，1)，CD＝(x－2，y－1)，
所以x-2=-1，y-1=1，
解得x=1，y=2，即D(1，2)．
③若平行四边形为ACBD，则AC＝DB.
因为AC＝(1，1)，DB＝(－x，1－y)，
所以-x=1，1-y=1，解得x=-1，y=0，即D(－1，0)．
答案：(3，0)或(1，2)或(－1，0)