2025版高考数学全程一轮复习学案第八章解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系

这是一份2025版高考数学全程一轮复习学案第八章解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系，共5页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。

1.直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
2.圆与圆的位置关系
已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r12，
C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r22，
则圆心距d＝|C1C2|＝ x1-x22+y1-y22.
则两圆C1，C2有以下位置关系：
【常用结论】
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．直线被圆截得的弦长的求法
(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2-d2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝1+k2·xM+xN2-4xM·xN.
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．( )
(2)在圆中最长的弦是直径．( )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交．( )
(4)联立两相交圆的方程，并消去二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在直线的方程．( )
2．(教材改编)直线l：3x－y－6＝0被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦AB的长为( )
A．102 B．10
C．265 D．2265
3．(教材改编)圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆(x－1)2＋(y－4)2＝16的位置关系是( )
A．外切 B．内切
C．相交 D．相离
4．(易错)过点P(2，4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为( )
A．3x＋4y－4＝0
B．4x－3y＋4＝0
C．x＝2或4x－3y＋4＝0
D．y＝4或3x＋4y－4＝0
5．(易错)若半径为r，圆心为(0，1)的圆和定圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切，则r＝________．
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识
1．< > ＝ ＝ > <
2．d>r1＋r2 0≤d<|r1－r2| |r1－r2|d＝|r1－r2| d＝r1＋r2
夯实基础
1．答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．解析：由已知可知圆C的圆心为(1，2)，半径r＝5，圆心到直线的距离为d＝3×1-2-632+12＝102.
∴|AB|＝2r2-d2＝2 52-1022＝10.故选B.
答案：B
3．解析：由题意知，圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0的标准方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝1，
所以圆心为(－2，2)，半径为1，
圆(x－1)2＋(y－4)2＝16的圆心为(1，4)，半径为4，
所以两圆的圆心距为：9+4＝13，又两圆半径之和为5，半径之差为3，3<13<5，所以两圆相交，故选C.
答案：C
4．解析：当斜率不存在时，x＝2与圆相切；
当斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，则k-1+4-2kk2+1＝1，解得k＝43，则切线方程为4x－3y＋4＝0.故切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
答案：C
5．解析：由题意，定圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心为A(1，2)，半径R＝1，
半径为r的圆的圆心为B(0，1)，
所以|AB|＝1-02+2-12＝2，
因为两圆相切，
所以|AB|＝|R－r|或|AB|＝|R＋r|.
即|1－r|＝2或|1＋r|＝2，
解得r＝1±2或r＝－1±2，
因为r>0，所以r＝2＋1或r＝2－1.
答案：2＋1或2－1位置关系
几何法
代数法
相交
d________r
Δ________0
相切
d________r
Δ________0
相离
d________r
Δ________0
位置关系
外离
内含
相交
内切
外切
圆心距与半径的关系
________
________
________
________
________
图示
公切线条数
4
0
2
1
3